Devoir surveillé — Statistiques à deux variables : ajustements

Une boutique en ligne relève le nombre de commandes reçues chaque mois depuis son ouverture. Le tableau ci-dessous donne le nombre de commandes $y_i$ (en centaines) en fonction du rang du mois $x_i$.

Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage. (1,5 point)
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les coefficients exacts. (1,5 point)
3. Vérifier par le calcul que le point moyen $G$ appartient à cette droite. (1 point)
4. En supposant que cette tendance se poursuive, estimer le nombre de commandes que recevra la boutique au mois de rang $9$. Comment appelle-t-on ce type d'estimation ? Quelle réserve doit-on formuler sur ce résultat ? (2 points)

On considère la série statistique à deux variables donnée par le tableau suivant.

On propose deux droites pour ajuster ce nuage de points :

$$D_1:y=\mathrm{1,4}x+\mathrm{1,9}\text{et}{D}_2:y=x+2$$

1. Pour chacune des deux droites, calculer la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_i$ et les valeurs prédites par la droite. En déduire laquelle des deux droites réalise le meilleur ajustement du nuage. (2 points)
2. On donne le programme Python suivant, dans lequel les listes xs = [0, 1, 2, 3] et ys = [2, 3, 5, 6] ont été définies au préalable :

def S(a, b):
    s = 0
    for i in range(4):
        e = ys[i] - (a * xs[i] + b)
        s = s + e ** 2
    return s

Que renvoie l'appel S(1.4, 1.9) ? Justifier. (1 point)

3. On admet que $D_1$ est la droite des moindres carrés de ce nuage. La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen : vérifier que c'est bien le cas ici. (1 point)

En laboratoire, on filme la chute d'une bille lâchée sans vitesse initiale et on relève la distance parcourue $h$ (en mètres) en fonction du temps de chute $t$ (en secondes).

Le nuage de points $(t_i;h_i)$ est représenté ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi un ajustement affine du nuage $(t;h)$ n'est pas adapté. On pourra par exemple étudier les accroissements successifs de $h$, ou comparer $h$ lorsque $t$ double. (1,5 point)
2. On pose $u=t^2$. Recopier et compléter le tableau suivant. (1 point)

3. Vérifier que les quatre points $(u_i;h_i)$ sont exactement alignés sur une droite passant par l'origine du repère, et donner une équation de cette droite. (1,5 point)
4. En déduire l'expression de $h$ en fonction de $t$, puis estimer la distance parcourue par la bille après $6$ secondes de chute. Préciser la nature de cette estimation. (2 points)

En TP de biotechnologies, on suit l'évolution d'une population de bactéries dans une boîte de culture. Le tableau donne la population $N$ (en milliers de bactéries) en fonction du temps $t$ (en heures).

1. Justifier que le nuage de points $(t;N)$ ne peut pas être correctement ajusté par une droite. (1 point)
2. On pose $z=\log N$, où $\log$ désigne le logarithme décimal. Calculer les quatre valeurs de $z$, arrondies au centième, et vérifier que les valeurs obtenues sont exactement en progression arithmétique de raison $\mathrm{0,30}$. (1,5 point)
3. On adopte alors l'ajustement affine $z=\mathrm{0,30}t+\mathrm{0,70}$. En déduire l'expression de $N$ en fonction de $t$ sous la forme $N=k\times q^t$, en utilisant l'approximation ${10}^{\mathrm{0,30}}\approx 2$. Estimer alors la population de bactéries après $6$ heures de culture. (1,5 point)