Exercices — Loi binomiale et variables aléatoires discrètes

Lors d'une kermesse, un stand propose le jeu suivant : le joueur lance un dé équilibré à six faces.

• s'il obtient un $6$, le stand lui verse $4$ € ;
• s'il obtient un $5$, le stand lui verse $1$ € ;
• sinon, le joueur doit verser $2$ € au stand.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros : $X$ est négatif lorsque le joueur paie.

1. Justifier que les valeurs possibles de $X$ sont $-2$, $1$ et $4$, puis dresser la loi de probabilité de $X$ dans un tableau (probabilités en sixièmes).

2. Vérifier que la somme des probabilités de ce tableau est bien égale à $1$.

3. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat : ce jeu est-il favorable au joueur ?

Lors d'une fête, une association propose une loterie : le joueur fait tourner une roue équilibrée comportant dix secteurs identiques. Un secteur « gros lot » rapporte $10$ €, trois secteurs rapportent $2$ € et les six autres secteurs ne rapportent rien. Pour jouer, le joueur paie une mise de $\mathrm{2,50}$ €.

On note $B$ le gain brut du joueur (la somme que la roue lui rapporte) et $X$ son gain net, c'est-à-dire $X=B-\mathrm{2,50}$.

1. Dresser la loi de probabilité de $B$ dans un tableau.

2. En déduire la loi de probabilité de $X$, puis calculer $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. L'association souhaite rendre le jeu équitable, c'est-à-dire tel que l'espérance du gain net soit nulle. Elle remplace la mise par $m$ euros, sans changer les gains de la roue.

   a. Exprimer l'espérance du gain net en fonction de $m$.

   b. En déduire la valeur de $m$ qui rend le jeu équitable.

Pour chacune des quatre situations suivantes, indiquer si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, préciser le couple de paramètres $(n;p)$ et ce que compte $X$ ; si non, expliquer pourquoi.

a. Dans une production de composants électroniques en très grande quantité, $5\mathrm{\%}$ des composants sont défectueux. On prélève au hasard $12$ composants ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants. $X$ est le nombre de composants défectueux parmi les $12$ prélevés.

b. Une entreprise de services compte $20$ salariés, dont $8$ parlent anglais. Pour représenter l'entreprise à un salon international, le directeur tire au sort $3$ salariés, sans remise. $X$ est le nombre de salariés anglophones parmi les $3$ tirés.

c. D'après une étude, $30\mathrm{\%}$ des clients d'une enseigne utilisent son application mobile. Un enquêteur interroge au hasard et de façon indépendante $10$ clients. $X$ est le nombre de clients interrogés qui utilisent l'application.

d. En sortie de machine, un technicien contrôle les pièces une par une jusqu'à trouver une première pièce défectueuse, puis il arrête le contrôle. $X$ est le nombre de pièces qu'il a contrôlées.

Une chaîne de production fabrique des panneaux solaires. Chaque panneau est conforme avec une probabilité de $\mathrm{0,8}$. On prélève au hasard $3$ panneaux dans la production ; celle-ci est assez importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants.

Pour chaque panneau, on note $C$ l'événement « le panneau est conforme » et $\bar{C}$ l'événement contraire. On note $X$ le nombre de panneaux conformes parmi les $3$ prélevés. La situation est représentée par l'arbre complet ci-dessous.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Combien de chemins de l'arbre réalisent l'événement $\{X=2\}$ ? Les lister en notation $CC\bar{C}$, etc.

3. En déduire $P(X=2)$.

4. Calculer $P(X=3)$, puis $P(X⩾2)$. Interpréter ce dernier résultat.

1. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=6$. On rappellera la règle de construction : les bords de chaque ligne valent $1$, et chaque autre valeur est la somme des deux valeurs situées juste au-dessus.

2. En déduire la valeur des coefficients binomiaux suivants :

   a. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)$

   b. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{3}\right)$

   c. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)$

   d. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{6}\right)$

3. Que remarque-t-on en comparant $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{4}\right)$ ? Expliquer cette symétrie en raisonnant sur les chemins d'un arbre à $6$ épreuves.

Dans un arbre représentant $n$ épreuves de Bernoulli, on note $S$ un succès et $\bar{S}$ un échec.

1. Rappeler ce que compte le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$.

2. On considère tous les chemins comportant exactement $2$ succès parmi $4$ épreuves.

   a. Classer ces chemins en deux catégories selon le résultat de la $4^{\text{e}}$ épreuve (succès ou échec). Combien de chemins compte chaque catégorie ? On pourra les décrire à l'aide des trois premières épreuves.

   b. En déduire que $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)$, puis vérifier cette égalité à l'aide du triangle de Pascal.

3. Écrire la formule générale de Pascal reliant $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$, $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k}\right)$. On rappelle la ligne $n=6$ du triangle de Pascal : $1$, $6$, $15$, $20$, $15$, $6$, $1$. Utiliser la formule pour compléter la ligne $n=7$, partiellement donnée dans le tableau ci-dessous (valeurs de $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{k}\right)$ pour $k$ allant de $0$ à $7$) :

   $k=0$	$k=1$	$k=2$	$k=3$	$k=4$	$k=5$	$k=6$	$k=7$
   $1$	$\dots$	$\dots$	$35$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$1$

4. Donner alors la valeur de $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{2}\right)$ et de $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{5}\right)$. Que remarque-t-on ?

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4;\mathrm{0,3})$.

1. Rappeler les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$.

2. Calculer les probabilités suivantes, en arrondissant au millième si besoin. Pour le d., on lira le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)$ dans le triangle de Pascal.

3. En déduire $P(X⩽1)$.

Une plateforme logistique constate que chaque commande expédiée est livrée en retard avec la probabilité $\mathrm{0,1}$, indépendamment des autres commandes. Un client passe $6$ commandes sur le site. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de commandes livrées en retard parmi ces $6$ commandes.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6;\mathrm{0,1})$.

2. Calculer $P(X=0)$, arrondie au millième.

3. En déduire la probabilité qu'au moins une commande soit livrée en retard, en précisant l'événement contraire utilisé.

4. Calculer $P(X=6)$ puis $P(X=5)$, et commenter en une phrase l'ordre de grandeur de ces deux probabilités.

5. Calculer la probabilité qu'au plus une commande soit livrée en retard, arrondie au millième.

Dans un atelier, chaque pièce produite présente un défaut avec la probabilité $\mathrm{0,25}$, indépendamment des autres pièces. Le responsable qualité prélève un échantillon de $8$ pièces. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

1. Donner la loi de probabilité suivie par $X$, en justifiant.

2. On donne la ligne $n=7$ du triangle de Pascal :

En utilisant la formule de Pascal, construire la ligne $n=8$ du triangle.

3. Calculer $P(X=2)$, arrondie au millième. On pourra utiliser ${\mathrm{0,75}}^6\approx \mathrm{0,178}$.

4. Calculer $P(X=0)$, arrondie au millième, puis en déduire la probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse dans l'échantillon.

1. Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale indiquée. Donner son espérance $E(X)$.

2. Un QCM comporte $40$ questions ; chaque question propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard. Quelle est l'espérance du nombre de bonnes réponses ?

3. Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;\mathrm{0,2})$ et son espérance vaut $E(X)=12$. Déterminer la valeur de $n$.

Dans un centre d'appels, chaque appel passé par un conseiller aboutit à une vente avec la probabilité $\mathrm{0,12}$. On suppose que les résultats des appels sont indépendants les uns des autres. Un conseiller passe $75$ appels par jour. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ventes réalisées par ce conseiller dans une journée.

1. Donner la loi de probabilité suivie par $X$, en justifiant.

2. Calculer $E(X)$ et interpréter concrètement ce résultat.

3. Chaque vente rapporte au conseiller une commission de $40$ €. Quelle recette moyenne journalière ce conseiller peut-il espérer en commissions ?

4. La direction souhaite que le nombre moyen de ventes par conseiller et par jour atteigne $12$, sans changer la probabilité de vente par appel. Combien d'appels chaque conseiller devrait-il passer par jour ?

On veut construire le triangle de Pascal en Python, sous la forme d'une liste de listes : la variable triangle contient une liste par ligne, et triangle[n][k] contient le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$. Chaque ligne commence et finit par $1$, et chaque terme intérieur est la somme des deux termes situés au-dessus de lui (formule de Pascal).

On considère le script incomplet suivant.

triangle = [[1]]
for n in range(1, 11):
    ligne = [1]
    for k in range(1, n):
        ligne.append(triangle[n-1][...] + triangle[n-1][...])
    ligne.append(...)
    triangle.append(ligne)
print(triangle[6])

1. Recopier et compléter les trois trous du script pour qu'il construise le triangle de Pascal ligne par ligne.

2. Qu'affiche l'instruction print(triangle[6]) après exécution du script ?

3. Quelle instruction faudrait-il écrire pour afficher le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{3}\right)$ ? Quelle valeur s'affiche alors ?

4. Quelle modification faut-il apporter au script pour construire le triangle jusqu'à la ligne $n=15$ ?

Un loueur de vélos demande une caution à chaque location. En fin de saison, il constate que certains vélos reviennent dégradés et qu'il retient alors une partie de la caution. On note $X$ la variable aléatoire égale au montant retenu sur la caution, en euros, pour une location prise au hasard. Le loueur a établi le tableau suivant, où une probabilité est manquante :

1. Déterminer $P(X=60)$. Justifier.

2. Calculer la probabilité que le loueur retienne au moins $60$ euros sur la caution.

3. Calculer l'espérance $E(X)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Le loueur traite environ $1200$ locations par an. Quel montant annuel moyen de retenues sur caution peut-il prévoir ?

Un site de vente en ligne envoie un questionnaire de satisfaction à ses clients. Chaque client laisse un avis avec la probabilité $\mathrm{0,3}$, indépendamment des autres. On interroge $10$ clients et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'avis laissés : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10;\mathrm{0,3})$.

Le diagramme en bâtons de la loi de $X$ est donné ci-dessous.

1. Lire sur le diagramme la valeur de $k$ la plus probable pour $X$.

2. Lire sur le diagramme une estimation de $P(X=3)$.

3. Calculer $P(X=0)$, arrondie au millième, et vérifier la cohérence du résultat avec le diagramme.

4. Calculer $E(X)$. Que remarque-t-on en comparant cette valeur à la position du bâton le plus haut ?

5. Le diagramme a été tracé avec le script Python ci-dessous, où les probabilités $P(X=k)$ sont fournies dans la liste probas. Recopier et compléter les deux trous de la ligne plt.bar.

import matplotlib.pyplot as plt

valeurs = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
probas = [0.028, 0.121, 0.233, 0.267, 0.200, 0.103,
          0.037, 0.009, 0.001, 0.000, 0.000]

plt.bar(..., ...)
plt.show()

Lors d'un entraînement, une joueuse de football tire une série de $5$ tirs au but. On admet qu'elle réussit chaque tir avec la probabilité $\mathrm{0,7}$ et que les tirs sont indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis dans la série.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Retrouver, à l'aide du triangle de Pascal, la ligne des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{k}\right)$ pour $k$ allant de $0$ à $5$.

3. Calculer $P(X=5)$ puis $P(X=4)$, arrondies au millième. En déduire $P(X⩾4)$.

4. Calculer la probabilité que la joueuse réussisse au moins un tir, arrondie au millième, en précisant l'événement contraire utilisé.

5. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

6. Après plusieurs semaines d'entraînement, la joueuse réussit désormais chaque tir avec la probabilité $\mathrm{0,8}$. Sans calculer la nouvelle loi de $X$, donner la nouvelle valeur de l'espérance et commenter en une phrase.

À la kermesse du lycée, un stand de basket propose le jeu suivant : le joueur paie $2$ € puis tente $3$ lancers francs. On admet qu'il réussit chaque lancer avec la probabilité $\mathrm{0,4}$ et que les lancers sont indépendants. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de paniers marqués : $N$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3;\mathrm{0,4})$.

Les lots dépendent du nombre de paniers :

• $0$ panier : le joueur ne gagne rien ;
• $1$ ou $2$ paniers : le joueur gagne un porte-clés d'une valeur de $1$ € ;
• $3$ paniers : le joueur gagne une peluche d'une valeur de $6$ €.

On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, c'est-à-dire la valeur du lot reçu diminuée de la mise de $2$ €.

1. Calculer la loi de probabilité de $N$ (on arrondira au millième si besoin).

2. Justifier que $G$ prend les valeurs $-2$, $-1$ et $4$, en précisant pour chacune les valeurs de $N$ correspondantes.

3. Dresser le tableau de la loi de probabilité de $G$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

4. Calculer $E(G)$ et interpréter ce résultat, d'abord du point de vue du joueur, puis du point de vue des organisateurs de la kermesse.

5. Pendant la kermesse, $250$ parties sont jouées à ce stand. Quel bénéfice moyen (mises encaissées diminuées de la valeur des lots distribués) les organisateurs peuvent-ils attendre ?

Lina cherche un stage. On admet que chaque candidature qu'elle envoie reçoit une réponse positive avec la probabilité $\mathrm{0,2}$, indépendamment des autres candidatures. Elle envoie $n$ candidatures, où $n$ est un entier naturel non nul, et on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de réponses positives reçues.

1. Quelle est la loi suivie par $X_n$ ? Justifier.

2. Montrer que $P(X_n⩾1)=1-{\mathrm{0,8}}^n$.

3. Calculer $P(X_{10}⩾1)$, arrondie au millième.

4. Lina veut être sûre à $99\mathrm{\%}$ au moins de recevoir au moins une réponse positive. Déterminer, à l'aide du logarithme décimal, le plus petit entier $n$ tel que $P(X_n⩾1)⩾\mathrm{0,99}$.

5. Lina envoie ce nombre de candidatures. Combien de réponses positives peut-elle espérer en moyenne ?

6. En une phrase : pourquoi l'hypothèse d'indépendance des réponses est-elle discutable dans cette situation ?