Devoir surveillé — Loi binomiale et variables aléatoires discrètes

Un parking public est équipé d'une borne de recharge pour voitures électriques. Le gestionnaire modélise la recette journalière de la borne, en euros, par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

a. ($1$ pt) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.

b. ($1$ pt) Calculer $P(X⩾16)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

c. ($2$ pts) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat. En déduire la recette moyenne que le gestionnaire peut espérer sur $30$ jours.

a. ($2$ pts) Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=5$.

b. ($1$ pt) En déduire les valeurs des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)$.

c. ($1$ pt) Énoncer la formule de Pascal, puis l'utiliser pour calculer $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{3}\right)$ à partir de la ligne $n=5$ du triangle.

d. ($1$ pt) On considère un arbre représentant la répétition de $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Que compte le nombre $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)$ dans cet arbre ?

Une archère tire $4$ flèches sur une cible. À chaque tir, elle touche la cible avec la probabilité $\mathrm{0,7}$, et les résultats des tirs sont supposés indépendants. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis.

a. ($\mathrm{1,5}$ pt) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. ($1$ pt) Combien de chemins de l'arbre de probabilités réalisent l'événement $\{X=3\}$ ?

c. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer $P(X=4)$, puis $P(X=3)$.

d. ($1$ pt) En déduire $P(X⩾3)$.

e. ($1$ pt) Calculer la probabilité que l'archère touche la cible au moins une fois.

f. ($1$ pt) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.

On considère le script Python suivant :

triangle = [[1]]
for n in range(1, 9):
    ligne = [1]
    for k in range(1, n):
        ligne.append(triangle[n-1][k-1] + triangle[n-1][k])
    ligne.append(1)
    triangle.append(ligne)

Après son exécution, la liste triangle contient les lignes du triangle de Pascal, de la ligne $n=0$ à la ligne $n=8$.

a. ($1$ pt) Que représente le nombre triangle[n][k] ?

b. ($1$ pt) Que contient la liste triangle[4] après exécution du script ?

c. ($2$ pts) Un site web reçoit $8$ visites dans la journée. Chaque visite aboutit à un achat avec la probabilité $\mathrm{0,3}$, indépendamment des autres visites. À l'aide du script, écrire l'expression Python qui calcule la probabilité d'obtenir exactement $2$ achats, puis donner la valeur de cette probabilité arrondie au millième.