Exercices — Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

La calculatrice sait calculer une puissance dont l'exposant n'est pas un nombre entier : on tape l'exposant entre parenthèses, par exemple 1.5^(2.5).

1. À la calculatrice, donner une valeur approchée au centième de chacun des nombres suivants.

   a. ${\mathrm{1,5}}^{\mathrm{2,5}}$

   b. $3^{\mathrm{1,7}}$

   c. ${\mathrm{0,8}}^{\mathrm{3,5}}$

   d. ${\mathrm{1,06}}^{12}$

   e. $2^{\mathrm{0,5}}$

   f. ${\mathrm{0,97}}^{20}$

2. Sans calculatrice. Pour les nombres a., b., c. et e., l'exposant est compris entre deux entiers consécutifs. Encadrer chacun de ces nombres par les deux puissances d'exposant entier voisines (que l'on calculera à la main), puis vérifier que les valeurs obtenues à la question 1 sont cohérentes avec ces encadrements.

3. Lucas tape $3^{\mathrm{1,7}}$ sur sa calculatrice, qui affiche $\mathrm{6,473}$. Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi ce résultat est plausible.

Pour tout nombre $a>0$ et tout réel $x$, on a $a^{-x}={\displaystyle \frac{1}{a^x}}$.

1. Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sous forme de fraction ou de nombre décimal.

   a. $2^{-3}$

   b. $5^{-2}$

   c. ${10}^{-4}$

   d. ${\mathrm{1,25}}^{-1}$

   e. ${\mathrm{0,2}}^{-1}$

   f. $2^{-1}$

2. Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme $a^{-x}$.

   a. ${\displaystyle \frac{1}{3^x}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,05}}^x}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{{10}^x}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{0,9}}^x}}$

3. Un capital placé sur un livret est modélisé par $C(x)=1500\times {\mathrm{1,04}}^x$, où $C(x)$ est le montant en euros et $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2026 ($x$ peut être négatif).

   a. Que représente concrètement $C(-2)$ ?

   b. Calculer $C(-2)$, arrondi au centime.

On rappelle que pour tout $a>0$, tous réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n$ :

Sans calculatrice, donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants en transformant leur écriture.

Dans tout l'exercice, $a$ désigne un nombre strictement positif et $x$, $y$ des nombres réels.

1. Simplifier chacune des expressions suivantes (le résultat ne doit plus contenir ni $x$ ni $y$).

   a. $a^{x+2}\times a^{1-x}$

   b. ${\displaystyle \frac{a^{3x}}{a^{3x-2}}}$

   c. ${\displaystyle \frac{a^x\times a^y}{a^{x+y}}}$

   d. ${\left(a^x\right)}^2\times a^{-2x}$

2. En remarquant que $\mathrm{1,21}={\mathrm{1,1}}^2$, montrer que pour tout réel $x$, ${\mathrm{1,21}}^x={\mathrm{1,1}}^{2x}$. De même, en remarquant que $\mathrm{0,25}=2^{-2}$, montrer que ${\mathrm{0,25}}^x=2^{-2x}$.

3. Une population de bactéries double tous les 3 mois, c'est-à-dire tous les trimestres.

   a. Exprimer le coefficient multiplicateur que subit cette population sur $x$ trimestres.

   b. Justifier que sur $1$ an, la population est multipliée par $16$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé sur l'intervalle $[-2;3]$ les courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ représentant, dans le désordre, les trois fonctions :

1. Associer chaque courbe à sa fonction. On justifiera à l'aide du sens de variation, de la rapidité de la croissance et, si besoin, de la valeur de la fonction en $x=1$.

2. Que valent $f(0)$, $g(0)$ et $h(0)$ ? Quelle propriété commune des trois courbes retrouve-t-on ?

3. Par lecture graphique : laquelle de ces trois fonctions dépasse la valeur $10$ la première lorsque $x$ augmente ? Donner une valeur approchée de l'abscisse à partir de laquelle cela se produit.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, donner son sens de variation en justifiant à l'aide du signe de $k$ et de la valeur de $a$.

   a. $f_1(x)=5\times {\mathrm{1,2}}^x$

   b. $f_2(x)=-3\times {\mathrm{1,4}}^x$

   c. $f_3(x)=\mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,8}}^x$

   d. $f_4(x)=-2\times {\mathrm{0,7}}^x$

   e. $f_5(x)=100\times {\mathrm{1,002}}^x$

   f. $f_6(x)=4\times 1^x$

2. Dresser le tableau de variations de $f_1$ puis de $f_4$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, en faisant figurer la valeur de la fonction en $0$.

3. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   a. Si $k<0$ et $0<a<1$, la fonction $x\mapsto k{a}^x$ est croissante.

   b. La courbe représentative de $x\mapsto k{a}^x$ passe toujours par le point $(0;1)$.

Après une injection, la masse de principe actif d'un médicament présente dans le sang d'un patient diminue de $20\mathrm{\%}$ par heure. Au moment de l'injection, cette masse est de $5$ grammes.

On note $f(x)$ la masse restante, en grammes, au bout de $x$ heures. La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0;10]$ est donnée ci-dessous.

1. Lire $f(0)$ sur le graphique. Que représente cette valeur ?

2. Justifier, à partir du contexte, que pour tout $x$ de $[0;10]$ : $f(x)=5\times {\mathrm{0,8}}^x$.

3. Donner le sens de variation de $f$ et le justifier à l'aide de l'expression de $f(x)$.

4. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=2$ (on donnera une valeur approchée de la solution, en s'aidant des pointillés).

5. Calculer $f(4)$, puis $f(\mathrm{4,5})$ (arrondir au centième). En déduire que la masse de principe actif passe sous la barre des $2$ grammes entre $4$ h et $4$ h $30$ après l'injection.

6. La masse de principe actif peut-elle s'annuler d'après ce modèle ? Justifier.

Deux boutiques en ligne, A et B, ouvrent le même mois. Les tableaux ci-dessous donnent leur chiffre d'affaires mensuel, en milliers d'euros, pour les quatre premiers mois ($x$ désigne le rang du mois, le mois d'ouverture correspondant à $x=0$).

Boutique A

Boutique B

1. Pour chaque boutique, calculer les quotients de deux valeurs consécutives du chiffre d'affaires (arrondir au millième si besoin).

2. Laquelle des deux boutiques connaît une évolution relative constante ? Justifier, et préciser comment évolue l'autre boutique.

3. Donner le taux d'évolution mensuel du chiffre d'affaires de cette boutique.

4. On modélise le chiffre d'affaires de la boutique A par une fonction $f$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Justifier que $f(x)=50\times {\mathrm{1,2}}^x$.

5. Calculer $f(6)$ puis $f(\mathrm{2,5})$ (arrondir au dixième).

6. Que représente concrètement $f(\mathrm{2,5})$ ? Expliquer pourquoi il est raisonnable, dans ce contexte, d'utiliser un modèle défini pour toutes les valeurs de $x$ et pas seulement pour les entiers.

À l'ouverture d'un contrat d'épargne, Lila place un capital de $2000$ €. Ce capital est revalorisé de $3\mathrm{\%}$ par an. On modélise sa valeur, en euros, par la fonction $C$ définie pour tout réel $x$ par $C(x)=2000\times {\mathrm{1,03}}^x$, où $x$ est le temps écoulé depuis l'ouverture, en années.

1. Justifier l'expression de $C(x)$ à partir du contexte.

2. Calculer $C(7)$ puis $C(\mathrm{2,5})$ (arrondir au centime).

3. Que représente concrètement $C(\mathrm{2,5})$ ? Quel est l'intérêt du modèle continu par rapport à un calcul année par année ?

4. Que pourrait représenter $C(-3)$ ? Calculer sa valeur (arrondir au centime).

5. Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il $2600$ € ? On répondra en construisant une table de valeurs de $C$ à la calculatrice et on donnera les deux calculs qui encadrent le seuil.

Lors de sa première diffusion, une émission de télévision rassemble $\mathrm{2,4}$ millions de téléspectateurs. Les semaines suivantes, son audience baisse de $15\mathrm{\%}$ par semaine. On modélise l'audience, en millions de téléspectateurs, par la fonction $A$ définie par $A(x)=\mathrm{2,4}\times {\mathrm{0,85}}^x$, où $x$ est le temps écoulé depuis la première diffusion, en semaines.

1. Justifier l'expression de $A(x)$ à partir du contexte.

2. Donner le sens de variation de $A$ et le justifier.

3. Calculer $A(3)$ (arrondir au centième). Interpréter le résultat.

4. Estimer l'audience $10$ jours après la première diffusion. On expliquera pourquoi ce calcul revient à évaluer $A\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{10}{7}}\right)$, et on arrondira le résultat au centième de million.

5. La chaîne déprogrammera l'émission dès que l'audience passera sous le million de téléspectateurs. À l'aide d'une table de valeurs de $A$ (donner les deux calculs qui encadrent le seuil), déterminer au cours de quelle semaine cela se produira.

6. D'après ce modèle, l'audience peut-elle atteindre zéro téléspectateur ? Le modèle vous paraît-il pertinent sur le long terme ? Discuter.

Pour chaque situation : donner le coefficient multiplicateur global, calculer le coefficient multiplicateur moyen à l'aide d'une racine $n$-ième (à la calculatrice, on saisira l'exposant entre parenthèses, par exemple 1.44 ^ (1/2)), vérifier le résultat en l'élevant à la puissance $n$, puis conclure par un taux d'évolution moyen.

1. Le chiffre d'affaires d'une entreprise a augmenté de $44\mathrm{\%}$ en $2$ ans. Montrer que le taux d'évolution moyen annuel est de $+20\mathrm{\%}$.

2. Le prix d'un composant électronique a baissé de $19\mathrm{\%}$ en $2$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel.

3. La production d'une usine a été multipliée par $\mathrm{1,728}$ en $3$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel.

4. Vrai ou faux ? Justifier : « Une hausse de $50\mathrm{\%}$ en $5$ ans, c'est une hausse de $10\mathrm{\%}$ par an en moyenne. » Si l'affirmation est fausse, donner le taux d'évolution moyen annuel correct (arrondir au dixième de pour cent).

Les quatre situations sont indépendantes. À la calculatrice, on saisira les exposants fractionnaires entre parenthèses, par exemple 1.06 ^ (1/12).

1. Un livret d'épargne affiche un rendement de $+6\mathrm{\%}$ par an.

   a. Calculer le coefficient multiplicateur mensuel moyen équivalent (arrondir à ${10}^{-5}$), puis le taux mensuel moyen correspondant (arrondir au centième de pour cent).

   b. Vérifier le résultat en élevant ce coefficient à la puissance $12$.

2. La population d'une métropole a augmenté de $34\mathrm{\%}$ en $10$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel (arrondir au dixième de pour cent).

3. Une action en Bourse a perdu $36\mathrm{\%}$ de sa valeur en $4$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel (arrondir au dixième de pour cent).

4. Le prix d'un produit augmente de $2\mathrm{\%}$ par mois pendant un an.

   a. Calculer le taux d'évolution annuel correspondant (arrondir au dixième de pour cent).

   b. Un client affirme : « $2\mathrm{\%}$ par mois pendant $12$ mois, cela fait $24\mathrm{\%}$ sur l'année. » Expliquer pourquoi il se trompe.

On souhaite construire point par point la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2^x$. Deux points ont déjà été placés :

Pour obtenir un tracé plus précis, on intercale entre deux points déjà construits un troisième point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique des abscisses et pour ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées.

1. Vérifier que les points $A$ et $B$ sont bien sur la courbe de $f$.

2. Calculer la moyenne arithmétique $m$ des abscisses de $A$ et $B$, puis la moyenne géométrique $g$ de leurs ordonnées, c'est-à-dire $g=\sqrt{y_A\times y_B}$.

3. Vérifier que le point $M(m;g)$ est lui aussi sur la courbe de $f$.

4. On veut justifier que cette méthode fonctionne pour n'importe quels points de la courbe. Soient deux points $(x_A;2^{x_A})$ et $(x_B;2^{x_B})$ de la courbe. En utilisant les propriétés algébriques des puissances et le fait que la racine carrée correspond à l'exposant ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, montrer que

5. Compléter le script Python ci-dessous pour qu'il calcule et affiche les coordonnées du point intercalé entre deux points de coordonnées (xA, yA) et (xB, yB).

xA, yA = 1, 2
xB, yB = 5, 32
m = ...
g = ...
print(m, g)

6. Le point $C(9;512)$ est également sur la courbe de $f$. Quel point la méthode permet-elle d'intercaler entre $B$ et $C$ ? Vérifier qu'il est sur la courbe.

Une ville compte aujourd'hui $12000$ habitants. Sa population augmente de $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ par an. On modélise la population, en nombre d'habitants, par la fonction $P$ définie pour $x⩾0$ par

où $x$ est le nombre d'années écoulées à partir d'aujourd'hui.

La mairie souhaite savoir dans combien d'années la population dépassera $15000$ habitants. On considère pour cela le script Python incomplet suivant.

P = 12000
n = 0
while P ... 15000:
    P = ... * P
    n = n + 1
print(n)

1. Justifier l'expression de $P(x)$ à partir de l'énoncé.

2. Recopier et compléter les deux trous du script pour qu'il réponde à la question de la mairie.

3. Que compte la variable n au fil de l'exécution ?

4. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Justifier la réponse par un encadrement : calculer $P(9)$ et $P(10)$ (arrondir à l'unité).

5. La mairie s'intéresse maintenant au seuil de $18000$ habitants. Quelle ligne du script faut-il modifier ? Quelle valeur le script affiche-t-il alors ? Justifier de la même façon par les deux calculs qui encadrent le seuil.

Pour placer $500$ €, une banque propose deux offres :

• Offre A : le capital rapporte $40$ € d'intérêts fixes chaque année ;
• Offre B : le capital augmente de $6\mathrm{\%}$ chaque année (intérêts composés).

Pour $x⩾0$ (en années), on note $A(x)$ et $B(x)$ les capitaux, en euros, obtenus avec chaque offre au bout de $x$ années. Les deux courbes sont tracées ci-dessous sur l'intervalle $[0;20]$.

1. Justifier que $A(x)=500+40x$ et que $B(x)=500\times {\mathrm{1,06}}^x$.

2. Quelle est la nature de la croissance de chaque capital : linéaire ou exponentielle ?

3. Calculer $A(5)$ et $B(5)$ (arrondir au centime). Quelle offre est la plus avantageuse au bout de $5$ ans ?

4. Par lecture graphique, à partir de combien d'années le capital de l'offre B dépasse-t-il celui de l'offre A ?

5. Vérifier la lecture précédente par le calcul : comparer $A(10)$ et $B(10)$, puis $A(11)$ et $B(11)$ (arrondir au centime). Conclure en années entières.

6. Question d'ouverture : si on laisse le placement pendant de très nombreuses années, quelle offre finit forcément par l'emporter ? Expliquer pourquoi en comparant les deux types de croissance.

Entre 2020 et 2026, la fréquentation annuelle d'un parc d'attractions est passée de $\mathrm{1,2}$ million à $\mathrm{1,7}$ million de visiteurs.

1. Calculer le taux d'évolution global de la fréquentation entre 2020 et 2026, arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$.

2. Calculer le taux d'évolution moyen annuel sur cette période, arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$. On rappellera comment saisir le calcul à la calculatrice.

3. À partir de 2026, la direction du parc modélise la fréquentation, en millions de visiteurs, par

   $$V(x)=\mathrm{1,7}\times {\mathrm{1,06}}^x$$

   où $x$ est le nombre d'années écoulées après 2026.

   a. Justifier le choix de ce modèle à l'aide des questions précédentes.

   b. Quelle fréquentation ce modèle prévoit-il pour 2030 ? Arrondir au centième de million.

4. Montrer que pour tout $x⩾0$, $V(x+1)=\mathrm{1,06}\times V(x)$. Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.

5. Selon ce modèle, en quelle année la fréquentation annuelle dépassera-t-elle pour la première fois $\mathrm{2,5}$ millions de visiteurs ? On justifiera la réponse par les deux calculs qui encadrent le seuil.

6. Regard critique : donner deux raisons pour lesquelles ce modèle peut cesser d'être valable au bout de quelques années.