Devoir surveillé — Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

La calculatrice est autorisée uniquement pour la question 1.

1. Donner une valeur approchée au centième de chacun des nombres suivants.

   a. ${\mathrm{1,3}}^{\mathrm{2,4}}$

   b. ${\mathrm{0,9}}^{\mathrm{7,5}}$

   c. $2^{-\mathrm{1,5}}$

   d. ${\mathrm{1,005}}^{36}$

2. Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sans calculatrice, en utilisant les propriétés des exposants. Détailler les étapes.

   a. $5^{\mathrm{1,8}}\times 5^{\mathrm{1,2}}$

   b. ${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{4,5}}}{3^{\mathrm{2,5}}}}$

   c. ${\left(2^{\mathrm{0,5}}\right)}^6$

   d. $6^{\mathrm{2,7}}\times 6^{-\mathrm{2,7}}$

3. Soit $a$ un réel strictement positif et $x$ un réel. Simplifier l'écriture ${\displaystyle \frac{a^{2x+1}}{a^{2x-1}}}$.

Une entreprise achète une machine-outil d'une valeur de $200$ milliers d'euros. Chaque année, la valeur de la machine diminue de $10\mathrm{\%}$.

On note $C(x)$ la valeur de la machine, en milliers d'euros, au bout de $x$ années. La courbe représentative de la fonction $C$ sur l'intervalle $[0;12]$ est donnée ci-dessous.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0;12]$, $C(x)=200\times {\mathrm{0,9}}^x$.
2. Quelle est la valeur initiale de la machine ?
3. Donner le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;12]$, en justifiant à l'aide de la forme $k\times a^x$.
4. Calculer la valeur exacte de $C(4)$, puis interpréter le résultat.
5. Par lecture graphique, estimer au bout de combien d'années la valeur de la machine passe sous $100$ milliers d'euros. On fera apparaître les traits de lecture sur la figure.
6. Vérifier cette estimation par le calcul : calculer $C(6)$ et $C(7)$ (arrondir au centième) et conclure.

Une salle de sport ouvre avec $800$ abonnés. Le gérant vise une augmentation du nombre d'abonnés de $4\mathrm{\%}$ par an.

On modélise le nombre d'abonnés au bout de $x$ années par $N(x)=800\times {\mathrm{1,04}}^x$, où $x$ est un réel positif.

1. Justifier l'expression de $N(x)$.
2. Calculer $N(3)$, arrondir à l'unité, puis interpréter le résultat.
3. Calculer $N(\mathrm{2,5})$, arrondir à l'unité, puis interpréter le résultat.
4. Montrer que, pour tout réel $x\ge 0$, $N(x+1)=\mathrm{1,04}\times N(x)$. Interpréter cette égalité.
5. Le gérant veut savoir au bout de combien d'années entières le nombre d'abonnés dépassera $1000$. Recopier et compléter le script Python suivant pour qu'il affiche ce nombre d'années.

N = 800
x = 0
while N ... 1000:
    N = ... * N
    x = x + 1
print(x)

6. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Justifier par un encadrement (les deux calculs).

Le loyer d'un local commercial a augmenté de $15\mathrm{\%}$ en $3$ ans.

1. Le gérant affirme : « une hausse de $15\mathrm{\%}$ en $3$ ans, cela fait $5\mathrm{\%}$ par an ». A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
2. Calculer le coefficient multiplicateur moyen annuel (arrondir au dix-millième), puis en déduire le taux d'évolution moyen annuel (arrondir à $\mathrm{0,01}\mathrm{\%}$). Vérifier le résultat en élevant ce coefficient au cube. Rappel calculatrice : l'exposant $\frac{1}{3}$ se saisit entre parenthèses, par exemple 1.15^(1/3).
3. Si le loyer continuait d'augmenter chaque année à ce taux moyen, de quel pourcentage aurait-il augmenté au bout de $5$ ans ? Arrondir à $1\mathrm{\%}$.