Exercices — Fonction inverse

1. Sans calculatrice, donner l'inverse de chacun des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme décimale ou sous forme de fraction, selon ce qui est le plus simple.

   a. $4$

   b. $-5$

   c. $\mathrm{0,5}$

   d. $-\mathrm{0,25}$

   e. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   f. $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

   g. ${10}^4$

   h. $\mathrm{0,001}$

2. Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant les inverses des nombres $100$, $10000$ et $1000000$. Commenter le résultat en une phrase : que se passe-t-il pour ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ lorsque $x$ devient très grand ?

3. Donner l'ordre de grandeur du nombre ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,0001}}}$. Commenter de même en une phrase : que se passe-t-il pour ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif ?

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres suivants.

   a. $5$

   b. $-2$

   c. $\mathrm{0,1}$

   d. ${\displaystyle \frac{3}{7}}$

2. Déterminer, s'il existe, l'antécédent par $f$ de chacun des nombres suivants. On résoudra à chaque fois l'équation ${\displaystyle \frac{1}{x}}=b$.

   a. $4$

   b. $-\mathrm{0,5}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{9}}$

3. Répondre en une phrase à chacune des deux questions suivantes : pourquoi le nombre $0$ n'a-t-il pas d'image par $f$ ? Pourquoi le nombre $0$ n'a-t-il pas d'antécédent par $f$ ?

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0[$ et strictement décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

1. Sans calculatrice, comparer les deux nombres proposés dans chaque cas, en justifiant par le sens de variation de la fonction inverse sur l'intervalle concerné.

   a. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,14}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,15}}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{-5}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{-4}}$

   c. l'inverse de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et l'inverse de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,9}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,1}}}$

2. Vrai ou faux, en justifiant : « si $a<b$, alors ${\displaystyle \frac{1}{a}}>{\displaystyle \frac{1}{b}}$ ». Si l'affirmation est fausse, on donnera un contre-exemple numérique et on précisera dans quels cas elle devient vraie.

La courbe ci-dessous est l'hyperbole représentant la fonction inverse $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Des pointillés de lecture sont tracés aux points d'abscisses $2$ et $-\mathrm{0,5}$.

1. Lire sur le graphique $f(2)$ et $f(-\mathrm{0,5})$.

2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=\mathrm{0,5}$.

3. La courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Justifier la réponse par un calcul.

4. Décrire en une phrase le comportement de la courbe lorsque $x$ devient très grand.

Une association loue une salle pour organiser une soirée. La location coûte $6000$ € au total, et ce montant est partagé équitablement entre les participants. Si $x$ désigne le nombre de participants, le prix payé par personne, en euros, est donné par :

1. Calculer le prix par personne dans chacun des cas suivants.

   a. $p(10)$

   b. $p(100)$

   c. $p(1000)$

   d. $p(6000)$

2. Que devient le prix par personne lorsque le nombre de participants devient très grand ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la soirée.

3. Compléter la phrase suivante : « lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif, $p(x)$ devient... ». Le modèle a-t-il un sens pour des valeurs de $x$ très petites ? Expliquer.

4. Quel nom donne-t-on à la droite dont la courbe de $p$ se rapproche lorsque $x$ devient très grand ? Préciser de quelle droite il s'agit.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse à l'aide du cours ou d'un calcul.

1. La courbe de la fonction inverse passe par l'origine du repère.

2. La courbe de la fonction inverse coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée très grande.

3. Pour $x>0$, le nombre ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ peut devenir inférieur à $\mathrm{0,000}01$.

4. L'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse.

5. Puisque ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ se rapproche de $0$ lorsque $x$ devient très grand, il existe un réel $x$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{x}}=0$.

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. Rappeler l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis calculer chacun des nombres dérivés suivants.

   a. $f^{\mathrm{\prime }}(1)$

   b. $f^{\mathrm{\prime }}(2)$

   c. $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$

   d. $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})$

2. Que remarque-t-on sur le signe de ces quatre nombres dérivés ? Qu'en déduit-on pour la tangente à $\mathcal{C}$ en chacun de ces points ?

3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

4. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente horizontale ? Justifier.

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. L'objectif de cet exercice est de retrouver l'expression de la dérivée de $f$ à l'aide du taux de variation, comme cela a été fait en classe de première pour les fonctions de référence.

Soit $a$ un réel non nul fixé, et $h$ un réel non nul tel que $a+h\mathrm{\ne }0$.

1. Rappeler la définition du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$.

2. Montrer que ce taux de variation vaut $-{\displaystyle \frac{1}{a(a+h)}}$. On commencera par réduire au même dénominateur la différence ${\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}$.

3. Que devient ce taux de variation lorsque $h$ se rapproche de $0$ ? En déduire l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

4. Application. Retrouver la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(3)$ à l'aide du raisonnement de la question 3, puis vérifier la cohérence du résultat avec la formule du cours $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

1. Dériver chacune des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble sur lequel elle est dérivable.

   a. $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}$

   b. $g(x)=2x-{\displaystyle \frac{5}{x}}$

   c. $h(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   d. $k(x)=-x^3+4x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

   e. $m(x)=7-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   f. $n(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{9}{x}}$

2. Pour la fonction $g$ de la question 1, calculer $g^{\mathrm{\prime }}(1)$ et interpréter graphiquement ce nombre.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

1. Calculer $f(1)$, $f(3)$ et $f(9)$. Que remarque-t-on ?

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis montrer que :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x^2}}$$

3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.

4. En déduire que $f$ admet un minimum sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Préciser la valeur de ce minimum et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, et $\mathcal{C}$ son hyperbole représentative.

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.

2. Soit $a$ un réel non nul. Montrer que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

   $$y=-{\displaystyle \frac{x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{2}{a}}$$

3. Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point $A$ et l'axe des ordonnées en un point $B$. Montrer que $A$ a pour coordonnées $(2a;0)$ et $B$ pour coordonnées $(0;{\displaystyle \frac{2}{a}})$.

4. Vérifier que le point de tangence, c'est-à-dire le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$, est le milieu du segment $[AB]$. Cette jolie propriété est vraie pour toutes les tangentes à l'hyperbole.

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$ par :

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

1. Par lecture graphique, donner l'ensemble de définition de $g$, les abscisses des points où la courbe admet une tangente horizontale, et les extremums locaux de $g$.

2. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis retrouver par le calcul les abscisses des points à tangente horizontale.

3. Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur son ensemble de définition (on n'oubliera pas la double barre en $0$).

4. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   a. « $g$ admet un maximum sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. »

   b. « Le maximum local de $g$ sur $]-\mathrm{\infty };0[$ vaut $-4$. »

   Commenter : que peut-on dire du « maximum local » $-4$ par rapport au « minimum local » $4$ ?

Un atelier produit chaque jour $x$ objets, avec $1⩽x⩽60$. Le coût total de production, en euros, est modélisé par :

1. Calculer le coût total de production de $10$ objets, puis le coût moyen par objet pour cette production de $10$ objets.

2. Le coût moyen par objet, pour une production de $x$ objets, est défini par $M(x)={\displaystyle \frac{C(x)}{x}}$. Montrer que, pour tout $x$ de $[1;60]$ :

   $$M(x)=\mathrm{0,5}x+4+{\displaystyle \frac{128}{x}}$$

3. Calculer $M^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que :

   $$M^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2-256}{2x^2}}$$

4. Étudier le signe de $M^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[1;60]$, puis dresser le tableau de variations de $M$ sur cet intervalle.

5. Interpréter : combien d'objets l'atelier doit-il produire chaque jour pour que le coût moyen par objet soit minimal ? Quel est alors ce coût moyen ?

Une entreprise fabrique des cuves. Lorsqu'elle produit $x$ cuves par semaine, avec $x$ entier et $1⩽x⩽40$, le coût moyen de fabrication d'une cuve, en dizaines d'euros, est modélisé par :

1. Calculer $u(5)$, $u(10)$ et $u(20)$.

2. Étude de la fonction. On étudie $u$ sur l'intervalle réel $]0;40]$.

   a. Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que $u^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^2-200}{x^2}}$.

   b. Étudier le signe de $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;40]$ et dresser le tableau de variations de $u$.

   c. En déduire la valeur de $x$ qui rend le coût moyen minimal, et la valeur de ce coût moyen minimal.

3. On donne le script Python suivant.

   def u(x):
       return 2 * x + 18 + 200 / x
   
   mini = u(1)
   xmin = 1
   for x in range(2, 41):
       if u(x) < mini:
           mini = u(x)
           xmin = x
   print(xmin, mini)
   

   Expliquer ce que calcule ce script, puis donner la valeur qu'il affiche.

4. L'entreprise souhaite que le coût moyen d'une cuve soit strictement inférieur à $60$ dizaines d'euros. En s'aidant du tableau de variations et de calculs de $u$ pour des valeurs entières bien choisies, déterminer toutes les productions entières $x$ qui conviennent.