Devoir surveillé — Fonction inverse

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction inverse $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. Lire graphiquement $f(\mathrm{0,5})$ et $f(-2)$.
2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=2$.
3. Donner l'ensemble de définition de $f$ et expliquer pourquoi le nombre $0$ n'a pas d'image par $f$.
4. Décrire le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ devient très grand. De quelle droite la courbe $\mathcal{C}$ se rapproche-t-elle alors ?
5. Vrai ou faux ? Justifier : « la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées pour $x$ très proche de $0$ ».

1. Dériver chacune des fonctions suivantes, définies pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$.

   a. $f_1(x)={\displaystyle \frac{5}{x}}$

   b. $f_2(x)=3x^2-{\displaystyle \frac{2}{x}}$

   c. $f_3(x)=-x^3+x-{\displaystyle \frac{4}{x}}$

   d. $f_4(x)=10+{\displaystyle \frac{7}{x}}$

2. On note ${\mathcal{C}}_2$ la courbe représentative de la fonction $f_2$ de la question précédente. Calculer $f_2^{\mathrm{\prime }}(1)$, puis déterminer l'équation réduite de la tangente à ${\mathcal{C}}_2$ au point d'abscisse $1$.

3. La fonction inverse admet-elle une tangente horizontale en un point de sa courbe ? Justifier.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par

1. Calculer $g(2)$, $g(4)$ et $g(8)$.
2. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que pour tout $x>0$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-4)(x+4)}{x^2}}$.
3. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations de $g$.
4. En déduire que pour tout $x>0$, on a $g(x)⩾8$.
5. Que peut-on dire de $g(x)$ lorsque $x$ devient très grand ? Justifier.

Une imprimerie produit $x$ affiches par heure, où $x$ appartient à l'intervalle $[5;50]$. Le coût total horaire de production, en euros, est donné par

Le coût moyen par affiche, en euros, est $M(x)={\displaystyle \frac{C(x)}{x}}$.

1. Montrer que pour tout $x$ de $[5;50]$, $M(x)=\mathrm{0,2}x+5+{\displaystyle \frac{45}{x}}$.
2. Calculer $M^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que $M^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2-225}{5x^2}}$.
3. Dresser le tableau de variations de $M$ sur $[5;50]$. Combien d'affiches par heure l'imprimerie doit-elle produire pour que le coût moyen par affiche soit minimal ? Préciser ce coût minimal.