Exercices — Coniques

On coupe un cône de révolution (à deux nappes) par un plan. Pour chacune des situations suivantes, nommer la courbe obtenue.

a. Le plan est perpendiculaire à l'axe du cône (et ne passe pas par le sommet).

b. Le plan est oblique, coupe une seule nappe et n'est parallèle à aucune génératrice.

c. Le plan est parallèle à une génératrice du cône.

d. Le plan est parallèle à l'axe du cône et coupe les deux nappes.

e. Le plan est perpendiculaire à l'axe et passe par le sommet du cône.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier en une phrase.

1. Toute section plane d'un cône de révolution est une ellipse.

2. Une hyperbole a deux branches parce que le plan de coupe rencontre les deux nappes du cône.

3. Un cercle est un cas particulier d'ellipse.

Une lampe à abat-jour conique est posée sur une table, contre un mur vertical. La lumière sort par le haut et par le bas de l'abat-jour : elle forme dans l'espace un cône de lumière à deux nappes, dont l'axe est vertical.

a. Quelle courbe la lumière dessine-t-elle au plafond ? Justifier en précisant la position du plan du plafond par rapport à l'axe du cône de lumière.

b. La lampe est collée au mur : le mur coupe les deux nappes du cône de lumière. Quelle courbe la lumière dessine-t-elle sur le mur ? Justifier.

c. On incline légèrement la lampe : l'axe du cône de lumière n'est plus vertical, mais le plafond coupe toujours une seule nappe sans être parallèle à une génératrice. Que devient la tache lumineuse au plafond ?

d. Pour chacune des quatre coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole), citer un objet ou une situation du design, de l'architecture ou de la vie courante où on la rencontre.

On considère l'ellipse de centre $O$ représentée ci-dessous.

a. Lire sur la figure la longueur du grand axe et celle du petit axe.

b. Donner les coordonnées des quatre sommets de l'ellipse.

c. En déduire les valeurs de $a$ et de $b$, puis écrire l'équation réduite de l'ellipse.

d. Le point $P(4;\mathrm{1,8})$ est-il sur l'ellipse ? Vérifier par le calcul.

On considère l'ellipse d'équation réduite

$${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$$

a. Donner les valeurs de $a$ et de $b$, les coordonnées des quatre sommets, puis les longueurs du grand axe et du petit axe.

b. Les points suivants appartiennent-ils à l'ellipse ? Justifier par le calcul.

c. Déterminer par le calcul les ordonnées des points de l'ellipse d'abscisse $x=\mathrm{2,4}$.

d. Tracer l'allure de l'ellipse dans un repère orthonormé.

Un paysagiste veut tracer au sol le contour d'un massif de fleurs en forme d'ellipse. Il utilise la « méthode du jardinier » : il plante deux piquets, attache à chacun une extrémité d'une ficelle, puis trace la courbe en gardant la ficelle tendue avec un bâton.

L'ellipse visée a un grand axe de $10$ m et un petit axe de $6$ m. On se place dans un repère orthonormé (unité : le mètre) centré au centre de l'ellipse, le grand axe étant porté par l'axe des abscisses. On a donc $a=5$ et $b=3$, et les piquets sont plantés aux foyers $F$ et $F^{\mathrm{\prime }}$ de l'ellipse.

a. Rappeler la propriété qui caractérise les points $M$ de l'ellipse à l'aide des distances $MF$ et $M{F}^{\mathrm{\prime }}$. En déduire la longueur de ficelle nécessaire.

b. Calculer $c$ à l'aide de la relation $c^2=a^2-b^2$, puis donner les coordonnées des points où planter les piquets. À quelle distance l'un de l'autre se trouvent-ils ?

c. Vérifier la propriété au sommet $B(0;3)$ du petit axe : calculer $BF$ et $B{F}^{\mathrm{\prime }}$ à l'aide du théorème de Pythagore, puis leur somme.

d. Le point $Q(3;\mathrm{2,4})$ est-il sur le contour du massif ? Vérifier par le calcul à l'aide de l'équation réduite de l'ellipse.

On considère la parabole d'équation $y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$.

a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

b. Donner les coordonnées du sommet de la parabole et l'équation de son axe de symétrie.

c. De quelle section plane d'un cône de révolution cette courbe provient-elle ?

d. Vérifier que les points $(-3;\mathrm{2,25})$ et $(3;\mathrm{2,25})$ sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de la parabole.

e. Tracer la parabole dans un repère orthonormé à l'aide du tableau de valeurs.

On considère l'hyperbole d'équation $y={\displaystyle \frac{4}{x}}$.

a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

b. Expliquer pourquoi cette courbe a deux branches, en donnant deux points de vue : celui de la section du cône, et celui de l'expression ${\displaystyle \frac{4}{x}}$.

c. Donner le centre de symétrie de l'hyperbole et les équations de ses deux asymptotes.

d. La courbe touche-t-elle ses asymptotes ? Justifier à l'aide d'une équation.

e. Tracer l'hyperbole et ses asymptotes dans un repère orthonormé.

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$ et le point $A(2;1)$.

a. Vérifier que $A$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$.

b. Pour chacun des points $M$ suivants, situés sur $\mathcal{P}$, calculer la pente (taux de variation) de la sécante $(AM)$.

c. Vers quelle valeur les pentes des sécantes semblent-elles se rapprocher quand le point $M$ se rapproche de $A$ ?

d. La parabole $\mathcal{P}$ est la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis $f^{\mathrm{\prime }}(2)$. Que retrouve-t-on ?

e. En déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{P}$ au point $A$.

Dans un repère orthonormé, on considère l'ellipse $\mathcal{E}$ d'équation

$${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$$

et le point $M(3;\mathrm{2,4})$. On donne l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{E}$ au point $M$ :

$$T:{\displaystyle \frac{3x}{25}}+{\displaystyle \frac{4y}{15}}=1.$$

a. Vérifier par le calcul que $M$ appartient à l'ellipse $\mathcal{E}$.

b. Vérifier que $M$ appartient à la droite $T$.

c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses, puis avec l'axe des ordonnées.

d. Sur la figure, la tangente $T$ touche l'ellipse en $M$ sans la traverser. Expliquer pourquoi toute l'ellipse se trouve alors du même côté de la droite $T$.

Dans un repère orthonormé (unité : le cm), un designer trace un arc du cercle ${\mathcal{C}}_1$ de centre $C_1(0;0)$ et de rayon $5$. Cet arc se termine au point $R(4;3)$. Il veut le prolonger par un arc d'un cercle ${\mathcal{C}}_2$ de rayon $2$, qui se raccorde au premier arc au point $R$.

a. Vérifier que $R$ appartient au cercle ${\mathcal{C}}_1$.

b. Rappeler la condition pour que deux arcs de cercles se raccordent en un point $R$.

c. Le centre $C_2$ se trouve sur la demi-droite $[C_{1}R)$, au-delà de $R$, à la distance $2$ de $R$. Pour l'atteindre depuis $R$, on avance de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ du déplacement de $C_1$ à $R$ : calculer les coordonnées de ce « pas », puis montrer que $C_2(\mathrm{5,6};\mathrm{4,2})$.

d. Vérifier par le calcul que $R{C}_2=2$.

e. Pourquoi la tangente commune aux deux arcs en $R$ est-elle perpendiculaire à la droite $(C_1{C}_2)$ ?

Le profil d'une rampe de skate est modélisé, dans un repère orthonormé (unités en mètres), par la courbe de la fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par

$$f(x)=a{x}^2+bx+c,$$

où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. La rampe doit se raccorder en $x=4$ à une piste horizontale d'équation $y=0$ (pour $x\ge 4$). Le haut de la rampe est au point $(0;2)$.

a. Traduire les contraintes du problème par trois égalités portant sur $f(0)$, $f(4)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(4)$. On rappelle que se raccorder, c'est avoir la même valeur et la même tangente au point de raccordement, et qu'une piste horizontale a une pente nulle.

b. Montrer que $c=2$.

c. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis écrire le système de deux équations vérifié par $a$ et $b$.

d. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$.

e. Vérifier que la fonction obtenue satisfait bien les trois contraintes.

f. Calculer la pente de la rampe à son sommet, en $x=0$, et interpréter le résultat.

L'anse de panier est un arc surbaissé, classique des ponts en pierre et des arches, formé de trois arcs de cercle raccordés. Dans un repère orthonormé (unité : le mètre), l'arche s'appuie sur les points $A(-4;0)$ et $B(4;0)$ (portée $8$ m). Les petits arcs latéraux ont pour centres $C_1(-3;0)$ et $C_2(3;0)$ et pour rayon $1$ ; l'arc central a pour centre $C(0;-4)$ et pour rayon $R$.

a. Vérifier que $A$ appartient au cercle de centre $C_1$ et de rayon $1$.

b. L'arc central se raccorde à l'arc de centre $C_1$ en un point $R_1$ situé sur le cercle de centre $C_1$. En utilisant la condition de raccordement de deux arcs de cercles ($C$, $C_1$ et $R_1$ alignés), justifier que $R=C{C}_1+1$.

c. Calculer $C{C}_1$, puis en déduire $R$.

d. Pour atteindre $R_1$ depuis $C_1$, on avance de ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ du déplacement de $C$ à $C_1$. Calculer les coordonnées de ce « pas », puis montrer que $R_1(-\mathrm{3,6};\mathrm{0,8})$.

e. Vérifier par le calcul que $C{R}_1=6$.

f. Calculer la flèche de l'arche, c'est-à-dire la hauteur de son sommet au-dessus du sol.

g. Question ouverte : pourquoi les bâtisseurs préféraient-ils l'anse de panier au demi-cercle pour franchir une large portée ? Répondre en une ou deux phrases.

L'arche d'un pont est une demi-ellipse (moitié supérieure) d'équation

$${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1,y\ge 0$$

dans un repère orthonormé (unités en mètres) : la portée de l'arche est de $10$ m et sa hauteur au centre de $3$ m.

a. Justifier les valeurs « portée $10$ m » et « hauteur $3$ m » à partir des valeurs de $a$ et de $b$ dans l'équation de l'ellipse.

b. Un gabarit routier impose de vérifier la hauteur disponible à $3$ m du centre : calculer l'ordonnée du point de l'arche d'abscisse $3$. Un camion de $\mathrm{2,50}$ m de haut, dont le flanc passe à $3$ m du centre, peut-il passer sous l'arche ?

c. On donne : la tangente à l'ellipse au sommet $S(0;3)$ est horizontale, et la tangente au point $A(5;0)$ est verticale. Expliquer pourquoi la tangente verticale en $A$ permet un raccordement parfait entre l'arche et le piédroit vertical (le mur porteur) du pont.

d. Le tablier horizontal d'équation $y=3$ touche l'arche uniquement au point $S$ : justifier à l'aide de la tangente horizontale en $S$ que le tablier et l'arche se raccordent en $S$.