Exercices — Nombres complexes : forme exponentielle

Rappel. Pour tout réel $\theta$, on pose ${\mathrm{e}}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$. Ce nombre complexe a pour module $1$ et pour argument $\theta$.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

   a. ${\mathrm{e}}^{i\times 0}$

   b. ${\mathrm{e}}^{i\pi }$

   c. ${\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}$

   d. ${\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{2}}$

   e. ${\mathrm{e}}^{2i\pi }$

   f. ${\mathrm{e}}^{4i\pi }$

   g. ${\mathrm{e}}^{3i\pi }$

   h. ${\mathrm{e}}^{-i\pi }$

2. Donner, sans aucun calcul, le module de chacun des nombres ${\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{7}}$, ${\mathrm{e}}^{i\times \mathrm{2,5}}$ et $5{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{3}}$.

3. Tracer un cercle trigonométrique (centre $O$, rayon $1$), puis placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives ${\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{3}}$, ${\mathrm{e}}^{i\frac{5\pi }{6}}$, ${\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}}$ et ${\mathrm{e}}^{i\pi }$.

4. Lorsque $\theta$ décrit l'ensemble des réels, où se trouvent tous les points d'affixe ${\mathrm{e}}^{i\theta }$ dans le plan complexe ?

Rappel. Si $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ avec $r>0$, alors $z=r{\mathrm{e}}^{i\theta }$ : le module et l'argument se lisent directement.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous forme exponentielle.

   a. $z_1=2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})$

   b. $z_2=7(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$

   c. $z_3=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

   d. $z_4=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}})$

2. Attention aux pièges ! Les écritures suivantes ne sont pas des formes trigonométriques. Transformer chacune d'elles pour obtenir la forme exponentielle du nombre.

   a. $z_5=3(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}-i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

   b. $z_6=-2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

3. Pour chacun des six nombres de l'exercice, donner le module et un argument.

Méthode. Pour mettre un nombre complexe non nul $z=a+ib$ sous forme exponentielle :

1. on calcule le module $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$ ;
2. on cherche un argument $\theta$ tel que $\cos \theta ={\displaystyle \frac{a}{r}}$ et $\sin \theta ={\displaystyle \frac{b}{r}}$, à l'aide des valeurs remarquables ;
3. on conclut : $z=r{\mathrm{e}}^{i\theta }$.

Déterminer le module, un argument, puis la forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants.

Rappel. Pour revenir à la forme algébrique, on développe : $r{\mathrm{e}}^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta$.

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique exacte (valeurs exactes, pas de valeurs approchées).

Rappel. Pour $r>0$ et $r^{\mathrm{\prime }}>0$ : $r{\mathrm{e}}^{i\theta }\times r^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^{i{\theta }^{\mathrm{\prime }}}=r{r}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})}$, ${\displaystyle \frac{r{\mathrm{e}}^{i\theta }}{r^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^{i{\theta }^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{r}{r^{\mathrm{\prime }}}}{\mathrm{e}}^{i(\theta -{\theta }^{\mathrm{\prime }})}$ et $\overline{r{\mathrm{e}}^{i\theta }}=r{\mathrm{e}}^{-i\theta }$.

1. On pose $z_1=3{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{6}}$ et $z_2=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{3}}$. Écrire chacun des nombres suivants sous forme exponentielle.

   a. $z_1\times z_2$

   b. ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{z_2}}$

   d. $\overline{z_1}$

   e. $\overline{z_1}\times z_2$

   f. ${\displaystyle \frac{\overline{z_2}}{z_1}}$

2. On pose maintenant $z_3=1+i$ et $z_4=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{6}}$.

   a. Écrire $z_3$ sous forme exponentielle et $z_4$ sous forme algébrique.

   b. Calculer le produit $z_3\times z_4$ sous forme exponentielle.

   c. Calculer le produit $z_3\times z_4$ sous forme algébrique, en développant.

   d. En comparant les deux résultats, en déduire les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.

Rappel. Pour $r>0$ et $n$ entier naturel : ${\left(r{\mathrm{e}}^{i\theta }\right)}^n=r^n{\mathrm{e}}^{in\theta }$. Pour calculer une puissance élevée d'un nombre complexe, on passe donc par la forme exponentielle.

1. a. Écrire $1+i$ sous forme exponentielle.

   b. En déduire la forme algébrique de $(1+i{)}^8$.

2. a. Écrire $\sqrt{3}+i$ sous forme exponentielle.

   b. En déduire la forme algébrique de ${(\sqrt{3}+i)}^6$.

3. Calculer la forme algébrique de ${(1-i\sqrt{3})}^5$ en passant par la forme exponentielle.

4. On pose $z={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{4}}$.

   a. Écrire $z^n$ sous forme exponentielle, pour $n$ entier naturel.

   b. Un nombre complexe de module $1$ est réel si et seulement si son argument est un multiple de $\pi$. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z^n$ est-il réel ?

   c. Parmi ces valeurs, lesquelles donnent un réel positif ?

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$, la figure ci-dessous montre le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ (trait plein) ainsi que le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (pointillés). Six points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ y sont placés à des angles remarquables. On note $z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$, $z_E$ et $z_F$ leurs affixes respectives.

1. Pour chacun des six points, lire sur la figure le module et un argument de son affixe.
2. En déduire la forme exponentielle de chacune des six affixes.
3. En déduire la forme algébrique de $z_A$ et de $z_E$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On rappelle que, par définition de la notation exponentielle, ${\mathrm{e}}^{ia}=\cos a+i\sin a$, et que la notation exponentielle vérifie la règle du produit : ${\mathrm{e}}^{ia}\times {\mathrm{e}}^{ib}={\mathrm{e}}^{i(a+b)}$.

1. Développer le produit $(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$ et l'écrire sous forme algébrique (partie réelle, partie imaginaire).
2. Écrire ${\mathrm{e}}^{i(a+b)}$ sous forme algébrique à l'aide de la définition.
3. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. En déduire les formules d'addition :

$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\text{et}\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\mathrm{.}$$

4. En choisissant $b=a$, en déduire les formules de duplication donnant $\cos (2a)$ et $\sin (2a)$.
5. À l'aide de la relation ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$, montrer que $\cos (2a)$ peut s'écrire de trois façons :

$$\cos (2a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\mathrm{.}$$

On rappelle les formules d'addition, pour tous réels $a$ et $b$ :

$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\text{et}\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\mathrm{.}$$

1. Vérifier que ${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, puis calculer les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$ et de $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

2. En remarquant que ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et en utilisant la parité du cosinus et du sinus ($\cos (-b)=\cos b$ et $\sin (-b)=-\sin b$), calculer la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

3. On veut maintenant calculer $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ à l'aide des formules de duplication.

   a. Justifier que $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}-1$.

   b. En déduire la valeur exacte de ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$, puis celle de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ en justifiant soigneusement le signe choisi.

   c. De la même façon, à partir de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$, calculer la valeur exacte de $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

Linéariser une expression trigonométrique, c'est l'écrire sans puissance ni produit de cosinus et de sinus : uniquement des termes de la forme $\cos (kt)$ ou $\sin (kt)$. C'est indispensable, par exemple, pour calculer des primitives.

1. À partir des formules de duplication $\cos (2\theta )=2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$, démontrer les formules de linéarisation :

$${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1+\cos (2\theta )}{2}}\text{et}{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1-\cos (2\theta )}{2}}\mathrm{.}$$

2. Linéariser chacune des expressions suivantes.

   a. ${\cos }^2(3t)$

   b. ${\sin }^2\left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)$

   c. $4{\sin }^2(2t)$

3. Simplifier chacune des expressions suivantes en une seule ligne trigonométrique.

   a. ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

   b. $\sin \theta \cos \theta$

On rappelle les formules de linéarisation : ${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1+\cos (2\theta )}{2}}$ et ${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1-\cos (2\theta )}{2}}$.

1. Linéariser ${\cos }^2(t)$, puis en déduire une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f:t\mapsto {\cos }^2(t)$.

2. De la même façon, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g:t\mapsto {\sin }^2(2t)$.

3. Une tension sinusoïdale est modélisée par $u(t)=U\cos (\omega t)$, où $U>0$ est l'amplitude (en volts) et $\omega >0$ la pulsation (en $\text{rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$). On note $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$ la période du signal.

   a. Linéariser $u^2(t)$.

   b. Calculer la valeur moyenne de $u^2$ sur une période, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{T}}{\displaystyle {\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t}$.

   c. La valeur efficace $U_{\text{eff}}$ de la tension est la racine carrée de cette valeur moyenne. Montrer que $U_{\text{eff}}={\displaystyle \frac{U}{\sqrt{2}}}$.

   d. La tension du secteur domestique a une valeur efficace de $230$ V. Calculer son amplitude $U$, arrondie au volt.

En électricité, la somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation $\omega$ est encore un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ : toute expression $a\cos (\omega t)+b\sin (\omega t)$ peut s'écrire sous la forme $A\cos (\omega t+\phi )$ avec $A>0$. On rappelle la méthode : on développe $A\cos (\omega t+\phi )=A\cos \phi \cos (\omega t)-A\sin \phi \sin (\omega t)$, puis on identifie les coefficients de $\cos (\omega t)$ et de $\sin (\omega t)$.

1. On considère le signal $s(t)=\cos (2t)-\sqrt{3}\sin (2t)$.

   a. Justifier que $A=\sqrt{a^2+b^2}$, puis calculer $A$ pour ce signal.

   b. Écrire le système vérifié par $\cos \phi$ et $\sin \phi$, et en déduire une valeur de $\phi$.

   c. Conclure en écrivant $s(t)$ sous la forme $A\cos (\omega t+\phi )$.

2. Par la même méthode, écrire $g(t)=\sqrt{2}\cos (t)+\sqrt{2}\sin (t)$ sous la forme $A\cos (t+\phi )$.

3. Transformation inverse : développer $h(t)=4\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ sous la forme $a\cos (\omega t)+b\sin (\omega t)$.

Dans un montage électrique, deux tensions sinusoïdales de même fréquence se superposent. À l'instant $t$ (en secondes), elles valent, en volts :

$$u_1(t)=3\cos (100\pi t)\text{et}{u}_2(t)=3\sqrt{3}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(100\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\mathrm{.}$$

La tension résultante est $u(t)=u_1(t)+u_2(t)$.

1. À l'aide de la formule d'addition $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, montrer que $u_2(t)=-3\sqrt{3}\sin (100\pi t)$.

2. En déduire que, pour tout réel $t$, $u(t)=3\cos (100\pi t)-3\sqrt{3}\sin (100\pi t)$.

3. On cherche à écrire $u(t)$ sous la forme $A\cos (100\pi t+\phi )$ avec $A>0$.

   a. Développer $A\cos (100\pi t+\phi )$ à l'aide de la formule d'addition, puis justifier que $A$ et $\phi$ doivent vérifier $A\cos \phi =3$ et $A\sin \phi =3\sqrt{3}$.

   b. En déduire la valeur de $A$, puis une valeur de $\phi$ dans $]-\pi ;\pi ]$.

   c. Écrire $u(t)$ sous la forme annoncée.

4. Donner l'amplitude et la phase à l'origine de la tension $u$, puis calculer sa fréquence en hertz.

5. Calculer $u(0)$ de deux façons : avec l'expression obtenue à la question 3, puis directement à partir de $u_1(0)$ et $u_2(0)$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.

1. $2z+1-i=5+3i$

2. $(1+i)z=4-2i$

3. $iz+3=z-5i$

4. Écrire la solution de l'équation 1 sous forme exponentielle.

Méthode. On isole $z$ comme dans une équation du premier degré à coefficients réels : regrouper les termes en $z$ d'un côté, les constantes de l'autre, factoriser par $z$, puis diviser. Quand un quotient apparaît, on le met sous forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Dans $\mathbb{R}$, l'équation $x^2=a$ n'a pas de solution lorsque $a<0$. Dans $\mathbb{C}$, la situation change : c'est précisément pour rendre ce type d'équation toujours résoluble que les nombres complexes ont été introduits.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes.

   a. $z^2=9$

   b. $z^2=-4$

   c. $z^2=-18$

   d. $z^2=0$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $4z^2+25=0$.

3. Pour l'équation 1.b, vérifier par le calcul que chacune des deux valeurs trouvées est bien solution.

4. Soit $a$ un nombre réel. Expliquer, en distinguant les cas $a>0$, $a=0$ et $a<0$, pourquoi l'équation $z^2=a$ admet toujours au moins une solution dans $\mathbb{C}$, et préciser le nombre de solutions dans chaque cas.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes

$$z_A=2+i,z_B=-1+2i,z_C=1-i\mathrm{.}$$

On rappelle les expressions complexes des transformations du programme : la translation de vecteur d'affixe $b$ transforme le point d'affixe $z$ en le point d'affixe $z+b$ ; la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ le transforme en le point d'affixe ${\mathrm{e}}^{i\theta }z$ ; l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (avec $k$ réel non nul) le transforme en le point d'affixe $kz$.

1. Déterminer l'affixe du point $A^{\mathrm{\prime }}$, image de $A$ par la translation de vecteur d'affixe $3-2i$.

2. Déterminer l'affixe du point $B^{\mathrm{\prime }}$, image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. On rappelle que ${\mathrm{e}}^{i\pi \mathrm{/}2}=i$.

3. Déterminer l'affixe du point $C^{\mathrm{\prime }}$, image de $C$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$.

4. Placer les points $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$ sur la figure.

5. Reconnaître la transformation du plan associée à chacune des écritures complexes suivantes, en précisant ses éléments caractéristiques.

   a. $z\mapsto {\mathrm{e}}^{i\pi \mathrm{/}3}z$

   b. $z\mapsto 3z$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$. On note $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ : elle transforme le point d'affixe $z$ en le point d'affixe ${\mathrm{e}}^{2i\pi \mathrm{/}3}z$.

On considère le point $A$ d'affixe $z_A=2$, le point $B$ image de $A$ par la rotation $r$, et le point $C$ image de $B$ par la même rotation $r$.

1. Donner l'affixe $z_B$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

2. Montrer que $z_C=2{\mathrm{e}}^{4i\pi \mathrm{/}3}$, puis justifier que $z_C=2{\mathrm{e}}^{-2i\pi \mathrm{/}3}$. En déduire la forme algébrique de $z_C$.

3. Placer $B$ et $C$ sur la figure, puis tracer le triangle $ABC$.

4. Justifier, sans calcul de forme algébrique, que $OA=OB=OC=2$.

5. Calculer ${\left({\mathrm{e}}^{2i\pi \mathrm{/}3}\right)}^3$ en utilisant les règles de calcul sur les puissances de la notation exponentielle. Que peut-on en déduire pour l'image de $C$ par la rotation $r$ ?

6. Une rotation conserve les distances : si $M^{\mathrm{\prime }}$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont les images de $M$ et $N$, alors $M^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}=MN$. En appliquant ce résultat à la rotation $r$, démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

Un capteur mesure un signal électrique dont la valeur à l'instant $t$ (en secondes) est, en volts,

$$s(t)=4\cos (\omega t)+4\sqrt{3}\sin (\omega t),$$

où $\omega$ est un réel strictement positif (la pulsation, en rad/s). On note $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$ la période du signal.

Partie A. Mettre le signal sous la forme $A\cos (\omega t+\phi )$.

1. Développer $A\cos (\omega t+\phi )$ à l'aide de la formule d'addition, et justifier que $A$ et $\phi$ doivent vérifier $A\cos \phi =4$ et $A\sin \phi =-4\sqrt{3}$.

2. En déduire $A$ (avec $A>0$) puis une valeur de $\phi$ dans $]-\pi ;\pi ]$, et écrire $s(t)$ sous la forme annoncée.

Partie B. Valeur moyenne de $s^2$ et valeur efficace.

En électricité, la puissance dissipée dans une résistance est proportionnelle à $s^2(t)$ : c'est la valeur moyenne de $s^2$ sur une période qui gouverne l'échauffement.

3. À l'aide de la formule de linéarisation ${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1+\cos (2\theta )}{2}}$, montrer que $s^2(t)=32+32\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(2\omega t-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$.

4. Calculer la valeur moyenne de $s^2$ sur une période, c'est-à-dire $m={\displaystyle \frac{1}{T}}{\displaystyle {\int }_0^T{s}^2(t)\mathrm{d}t}$.

5. La valeur efficace du signal est $S_{\text{eff}}=\sqrt{m}$. Montrer que $S_{\text{eff}}=4\sqrt{2}$, puis vérifier que $S_{\text{eff}}={\displaystyle \frac{A}{\sqrt{2}}}$.

Partie C. Le point de vue des nombres complexes.

Aux ingénieurs, on apprend à associer au signal $s(t)=A\cos (\omega t+\phi )$ le nombre complexe $S=A{\mathrm{e}}^{i\phi }$, qui mémorise à lui seul l'amplitude (son module) et la phase (son argument).

6. Donner le nombre complexe $S$ associé au signal étudié.

7. Calculer $S^2$ sous forme exponentielle, puis vérifier que $\mathrm{\mid }{S}^2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }S{\mathrm{\mid }}^2$.

8. Question de réflexion. Exprimer la valeur moyenne $m$ trouvée à la question 4 en fonction de $\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }$ uniquement. Quel avantage y a-t-il, pour un électricien, à travailler avec $S$ plutôt qu'avec la fonction $s$ ?