Devoir surveillé — Nombres complexes : forme exponentielle

On considère les nombres complexes $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.

1. ($2$ pts, soit $1$ pt par nombre) Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. On détaillera le calcul du module et de l'argument.

2. ($1$ pt) Écrire le nombre complexe $z_3=4{\mathrm{e}}^{i\frac{2\pi }{3}}$ sous forme algébrique.

3. ($1$ pt, soit $\mathrm{0,5}$ pt par calcul) En utilisant les formes exponentielles de la question 1, écrire sous forme exponentielle :

4. ($1$ pt) En utilisant la forme exponentielle de $z_1$, calculer $(1+i{)}^6$. On donnera le résultat sous forme algébrique.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) En remarquant que ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, calculer la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) À l'aide d'une formule de duplication, linéariser ${\sin }^2(3t)$, c'est-à-dire l'écrire sans puissance de sinus ou de cosinus.

3. ($1$ pt) En déduire une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)={\sin }^2(3t)$.

4. ($1$ pt) Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}]$.

La tension aux bornes d'un dipôle est modélisée par la fonction $u$ définie pour tout $t⩾0$ (en secondes) par :

$$u(t)=2\cos (100\pi t)+2\sqrt{3}\sin (100\pi t)$$

où $u(t)$ est exprimée en volts.

1. ($2$ pts) Mettre $u(t)$ sous la forme $A\cos (100\pi t+\phi )$, où $A>0$ et $\phi \in ]-\pi ;\pi ]$.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt, soit $\mathrm{0,5}$ pt par valeur) Donner l'amplitude du signal, sa fréquence en hertz et sa phase à l'origine.

3. ($1$ pt, soit $\mathrm{0,5}$ pt par question) Calculer $u(0)$, puis déterminer le premier instant $t>0$ auquel la tension s'annule.

4. ($\mathrm{0,5}$ pt) La tension $u$ peut-elle atteindre la valeur $5$ volts ? Justifier en une phrase.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

1. ($2$ pts, soit $1$ pt par équation) Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes (on donnera les solutions sous forme algébrique) :

2. On considère le point $A$ d'affixe $z_A=1+i\sqrt{3}$.

a. ($1$ pt) Écrire $z_A$ sous forme exponentielle.

b. ($1$ pt) Le point $B$ est l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Déterminer l'affixe $z_B$ de $B$, sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

c. ($\mathrm{0,5}$ pt) Le point $C$ est l'image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Déterminer l'affixe $z_C$ de $C$.

d. ($\mathrm{0,5}$ pt) Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.