Exercices — Fonction logarithme népérien

1. Simplifier chacun des nombres suivants sans calculatrice, en utilisant les relations $e^{\ln x}=x$ (pour $x>0$) et $\ln (e^x)=x$ (pour tout réel $x$) :

2. Expliquer pourquoi les écritures $\ln (-3)$ et $\ln 0$ n'ont pas de sens.

3. Donner les valeurs de $\ln 1$ et de $\ln e$, en justifiant chaque réponse à l'aide de la définition du logarithme népérien.

Résoudre chacune des équations suivantes. Les trois premières se résolvent dans $\mathbb{R}$ ; les trois dernières se résolvent dans $]0;+\mathrm{\infty }[$ (on rappelle que $\ln x$ n'est défini que pour $x>0$).

Donner la solution exacte, puis une valeur approchée au centième près lorsque la solution n'est pas un nombre entier.

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$, à l'aide des propriétés algébriques du logarithme népérien :

1. Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes :

2. Soit $x$ un réel strictement positif. Simplifier les expressions $E=\ln (x^2)-\ln x$ et $F=\ln (9x)-\ln (3x)$.

3. Vrai ou faux ? « Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, on a $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$. » Justifier par un contre-exemple si l'affirmation est fausse.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. Donner la solution exacte, puis une valeur approchée au centième près lorsque la solution n'est pas un nombre entier.

1. $e^{2x}=5$

2. $e^{-\mathrm{0,5}t}=\mathrm{0,1}$

3. $3e^{\mathrm{0,2}x}=12$

4. $e^{x+1}=e^{2x-3}$

5. $5-2e^{\mathrm{0,4}t}=1$

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Les inéquations en $\ln x$ se résolvent dans $]0;+\mathrm{\infty }[$, les autres dans $\mathbb{R}$. Donner chaque ensemble de solutions sous forme d'intervalle, avec les bornes exactes, puis une valeur approchée des bornes au centième près lorsqu'elles ne sont pas entières.

1. $e^{\mathrm{0,3}t}>4$

2. $e^{-2x}⩽\mathrm{0,05}$

3. $\ln x⩾2$

4. $\ln x<-1$

5. $2e^{-\mathrm{0,1}t}-1<0$

Dans tout l'exercice, on donne $\ln 2\approx \mathrm{0,69}$ et $\ln 10\approx \mathrm{2,30}$. Les questions 1. à 3. se traitent sans calculatrice.

1. Comparer $\ln 5$ et $\ln 7$ en justifiant.

2. Comparer $2\ln 3$ et $3\ln 2$. On pourra commencer par écrire chacun de ces deux nombres sous la forme du logarithme d'un entier.

3. Donner, en justifiant, le signe de $\ln \mathrm{0,8}$ et celui de $\ln \mathrm{1,2}$.

4. En remarquant que $50={\displaystyle \frac{100}{2}}$, exprimer $\ln 50$ en fonction de $\ln 10$ et de $\ln 2$, puis en donner une valeur approchée au centième. En déduire un encadrement de $\ln 50$ par deux entiers consécutifs.

5. Déterminer l'entier $n$ tel que $n⩽\ln 1000<n+1$.

La courbe ci-dessous représente la fonction logarithme népérien sur $]0;\mathrm{8,5}]$. Les points $A(1;0)$, $B$ et $C$ appartiennent à la courbe ; des pointillés repèrent les coordonnées de $B$ et $C$.

1. Lire graphiquement l'image de $1$ par la fonction ln.

2. Résoudre graphiquement les équations $\ln x=1$ et $\ln x=2$. On donnera les valeurs approchées lues sur la figure, puis les valeurs exactes.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation $\ln x⩽1$.

4. Décrire le sens de variation de la fonction ln sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Que suggère la courbe pour $\ln x$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ ? Lorsque $x$ devient grand ?

5. La courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ? Justifier.

On note $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Sur la figure ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}$, la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1;0)$ et la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}$ au point $B(e;1)$.

On rappelle que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$.

1. Rappeler l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(1)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(e)$.

2. Déterminer l'équation réduite de $T_1$.

3. Déterminer l'équation réduite de $T_2$ et vérifier que cette droite passe par l'origine du repère.

4. Contrôler la cohérence des résultats des questions 2. et 3. avec la figure.

5. Sur la figure, comment la courbe $\mathcal{C}$ est-elle placée par rapport à la droite $T_1$ ? En déduire une conjecture sous la forme d'une inégalité comparant $\ln x$ et $x-1$ pour tout $x>0$.

On rappelle que le logarithme décimal est défini pour tout $x>0$ par $\log x={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln 10}}$, et qu'en particulier $\log \left({10}^n\right)=n$ pour tout entier relatif $n$. En chimie, le pH d'une solution aqueuse est donné par :

$$\text{pH}=-\log \left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right],$$

où $\left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]$ est la concentration en ions oxonium, en mol/L.

1. Calculer sans calculatrice :

2. Exprimer $\log 5$ en fonction de $\ln 5$ et $\ln 10$, puis en donner une valeur approchée au centième.

3. Calculer le pH d'une solution telle que $\left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]=\mathrm{2,0}\times {10}^{-5}$ mol/L. On donnera la valeur arrondie au dixième.

4. Une solution a un pH égal à $\mathrm{3,4}$. Déterminer sa concentration en ions oxonium, arrondie sous la forme $a\times {10}^{-4}$ mol/L avec $a$ arrondi au dixième.

5. On divise par $10$ la concentration en ions oxonium d'une solution. Montrer que son pH augmente exactement d'une unité.

Dans un circuit électrique, l'amplitude d'un signal amorti est modélisée en fonction du temps $t$, en millisecondes, par :

$$u(t)=5e^{-\mathrm{0,25}t},t⩾0,$$

où $u(t)$ est exprimée en volts (V).

1. Donner l'amplitude initiale du signal. Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(t)$ et en déduire le sens de variation de $u$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

2. Déterminer l'instant $t$ auquel l'amplitude vaut exactement $1$ V. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

3. On considère que le signal est « éteint » lorsque son amplitude devient inférieure à $1\mathrm{\%}$ de l'amplitude initiale. Traduire cette condition par une inéquation d'inconnue $t$, puis la résoudre. On donnera la valeur exacte du seuil, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

4. Soit $\tau >0$ la durée nécessaire pour que l'amplitude soit divisée par $2$ à partir d'un instant $t$ donné, c'est-à-dire telle que $u(t+\tau )={\displaystyle \frac{u(t)}{2}}$. Montrer que $\tau$ ne dépend pas de l'instant $t$ choisi et donner sa valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

$$f(x)=x-\ln x\mathrm{.}$$

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que pour tout $x>0$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

3. Déterminer la limite de $f$ en $0^{+}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

4. En déduire que $f$ admet un minimum sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, en précisant sa valeur et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

5. En déduire que pour tout $x>0$, $\ln x⩽x-1$, puis que $\ln x<x$.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1;5]$ par :

$$g(x)=x^2-8\ln x$$

1. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que, pour tout $x\in [1;5]$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x^2-4)}{x}}$.

2. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[1;5]$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur $[1;5]$. On donnera les valeurs exactes, ainsi que des valeurs approchées au centième.

4. Justifier que $g$ admet un minimum sur $[1;5]$ et préciser sa valeur.

5. Expliquer pourquoi l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $x_1$ et $x_2$ sur $[1;5]$, puis en donner des valeurs approchées au dixième à la calculatrice.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou la corriger.

a. « Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\ln (ab)=\ln a\times \ln b$. »

b. « Pour tout $x>1$, $\ln x>0$. »

c. « L'équation $\ln x=-10$ n'a pas de solution. »

d. « $\ln \left(2^{10}\right)=10\ln 2$. »

e. « Pour tout $x>0$, $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln x}}$. »

f. « La courbe de la fonction $\ln$ admet une tangente de coefficient directeur ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ au point d'abscisse $2$. »

Le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon de césium 137 est modélisé par :

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$

où $t$ est le temps écoulé en années, $N_0$ le nombre initial de noyaux et $\lambda =\mathrm{0,023}$ an${}^{-1}$ la constante radioactive du césium 137.

1. Justifier que la fonction $N$ est décroissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

2. La demi-vie $T$ de l'élément est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux s'est désintégrée. Montrer que $T={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$, puis calculer $T$ au dixième d'année près.

3. Vérifier par le calcul que $N(2T)={\displaystyle \frac{N_0}{4}}$. Interpréter ce résultat.

4. Déterminer la durée au bout de laquelle $90\mathrm{\%}$ des noyaux initiaux se sont désintégrés. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième d'année près.

5. Montrer que cette durée vaut environ $\mathrm{3,3}$ demi-vies.

Le niveau sonore d'un son d'intensité $I$ (en W/m${}^2$) est donné, en décibels (dB), par :

$$L=10\log \left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$$

où $I_0={10}^{-12}$ W/m${}^2$ est le seuil d'audibilité. On rappelle que $\log x={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln 10}}$, et en particulier que $\log \left({10}^n\right)=n$ pour tout entier $n$.

1. Calculer le niveau sonore d'une conversation d'intensité $I={10}^{-5}$ W/m${}^2$.

2. Un concert affiche un niveau sonore de $100$ dB. Retrouver l'intensité $I$ correspondante.

3. Montrer que si l'intensité d'un son double, alors son niveau sonore augmente d'environ $3$ dB.

4. Montrer que si l'intensité d'un son est multipliée par $10$, alors son niveau sonore augmente exactement de $10$ dB.

5. Un atelier contient $n$ machines identiques, émettant chacune, lorsqu'elle fonctionne seule, un niveau sonore de $65$ dB. Lorsque plusieurs machines fonctionnent ensemble, leurs intensités s'ajoutent.

a. Montrer que le niveau sonore global de l'atelier est $L_n=65+10\log n$.

b. Déterminer le plus petit nombre de machines à partir duquel le niveau sonore de l'atelier dépasse $80$ dB.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;10]$ par :

$$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$$

1. Calculer $f(1)$ et justifier que $f(x)⩾0$ pour tout $x\in [1;10]$.

2. Montrer que, pour tout $x\in [1;10]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

3. Résoudre l'inéquation $1-\ln x>0$ sur $[1;10]$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1;10]$. On donnera les valeurs exactes, ainsi que des valeurs approchées au centième.

5. En déduire le maximum de $f$ sur $[1;10]$, puis montrer que $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{e}}$ pour tout $x\in [1;10]$.

6. L'équation $f(x)=\mathrm{0,3}$ admet-elle des solutions sur $[1;10]$ ? Combien ? En donner des valeurs approchées au dixième à la calculatrice.