Devoir surveillé — Fonction logarithme népérien

1. ($2$ pts) Simplifier chacune des expressions suivantes sans calculatrice. Le résultat sera un nombre entier, une fraction ou un multiple de $\ln 2$, $\ln 3$ ou $\ln 10$ :

2. ($2$ pts, soit $\mathrm{0,5}$ pt par expression) Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$ :

3. ($1$ pt) Un élève affirme : « $\ln (e+e)=1+\ln 2$ ». A-t-il raison ? Justifier soigneusement.

1. ($3$ pts, soit $1$ pt par résolution) Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations et inéquations suivantes. On donnera les solutions en valeur exacte, puis arrondies au centième. Pour l'équation en $\ln$, on précisera l'ensemble de validité :

a. $e^{\mathrm{0,5}t}=8$

b. $\ln x=4$

c. $2e^{-\mathrm{0,2}t}⩾\mathrm{0,4}$

2. ($2$ pts) Un condensateur se décharge dans un circuit. La tension à ses bornes est modélisée par $u(t)=6e^{-t\mathrm{/}2}$, où $t$ désigne le temps écoulé en secondes ($t⩾0$) et $u(t)$ la tension en volts. Déterminer par le calcul l'instant à partir duquel la tension devient inférieure à $1$ % de sa valeur initiale. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de seconde.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;4]$ par $f(x)=x^2-6\ln x$.

1. ($1$ pt) Calculer $f(1)$ (valeur exacte) et $f(e)$ (valeur exacte, puis arrondi au centième).

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Montrer que pour tout $x$ de $[1;4]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x^2-3)}{x}}$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[1;4]$.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1;4]$. On y fera figurer les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) En déduire le minimum de $f$ sur $[1;4]$ (valeur exacte, puis arrondi au centième).

Lors d'une réaction chimique d'ordre 1, la concentration d'un réactif est modélisée par $c(t)=50e^{-\mathrm{0,04}t}$, où $t$ désigne le temps écoulé en minutes ($t⩾0$) et $c(t)$ la concentration en mmol/L.

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) Donner la concentration initiale du réactif.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Le temps de demi-réaction $t_{1\mathrm{/}2}$ est la durée au bout de laquelle la concentration initiale a été divisée par $2$. Montrer que $t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,04}}}=25\ln 2$, puis en donner une valeur approchée au dixième de minute.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Déterminer par le calcul l'instant à partir duquel la concentration devient inférieure à $5$ mmol/L. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de minute.

4. ($\mathrm{0,5}$ pt) En combien de temps la concentration passe-t-elle de $10$ mmol/L à $5$ mmol/L ? Justifier sans effectuer de nouvelle résolution d'équation.