Exercices — Intégration

On a représenté ci-dessous une fonction $v$ affine par morceaux sur l'intervalle $[0;6]$. Sa courbe est la ligne brisée passant par les points de coordonnées $(0;1)$, $(2;3)$, $(4;3)$ et $(6;1)$. Le quadrillage est unitaire : chaque carreau représente une unité d'aire (u.a.). Le domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $t=0$ et $t=6$ est hachuré.

a. Déterminer la valeur exacte de ${\int }_0^{6}v(t)\mathrm{d}t$ en découpant le domaine hachuré en rectangles et en trapèzes, et en détaillant le calcul de l'aire de chaque morceau.

b. Déterminer de même la valeur exacte de ${\int }_2^{4}v(t)\mathrm{d}t$.

c. Calculer ${\int }_0^{2}v(t)\mathrm{d}t$, puis vérifier que les trois résultats obtenus sont cohérents avec la relation de Chasles.

Dans cet exercice, on calcule des intégrales sans utiliser de primitive : chaque fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est donc l'aire d'une région géométrique simple. Pour chaque question, préciser la nature de la région située sous la courbe (rectangle, triangle ou trapèze), donner ses dimensions, puis calculer l'intégrale par une formule d'aire.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(t)=4-t^2$, et on cherche à encadrer l'intégrale $I={\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t$ par la méthode des rectangles, avec $n=4$ rectangles de largeur $h=\mathrm{0,5}$.

a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ et justifier que $f$ est décroissante sur $[0;2]$.

b. La fonction $f$ étant décroissante, expliquer pourquoi les rectangles construits sur les bords gauches des intervalles donnent une somme qui majore $I$, tandis que ceux construits sur les bords droits donnent une somme qui minore $I$.

c. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous, puis calculer la somme des aires des rectangles « gauches » et celle des rectangles « droits ». En déduire un encadrement de $I$.

d. On admet que la valeur exacte de l'intégrale est $I={\displaystyle \frac{16}{3}}\approx \mathrm{5,33}$. Cette valeur est-elle cohérente avec l'encadrement obtenu à la question précédente ?

Le script Python ci-dessous doit calculer les sommes « gauche » et « droite » de la méthode des rectangles pour la fonction $f(t)=4-t^2$ sur l'intervalle $[0;2]$, avec $n$ rectangles de largeur $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$. Trois lignes sont incomplètes (marquées ...).

def f(t):
    return 4 - t**2

a = 0
b = 2
n = 4
h = (b - a) / n

somme_gauche = 0
somme_droite = 0
for k in ...:                  # k prend les valeurs 0, 1, ..., n-1
    t = ...                    # abscisse du bord gauche du rectangle numero k
    somme_gauche = somme_gauche + f(t) * h
    somme_droite = somme_droite + ... * h    # hauteur lue au bord droit

print("Somme gauche :", somme_gauche)
print("Somme droite :", somme_droite)

a. Recopier et compléter les trois lignes incomplètes.

b. Qu'affiche ce script pour $n=4$ ? (On pourra s'appuyer sur les calculs de l'exercice précédent.)

c. On exécute maintenant le script avec n = 100. Que peut-on dire de l'encadrement de ${\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t$ obtenu, sachant que la valeur exacte est ${\displaystyle \frac{16}{3}}\approx \mathrm{5,33}$ ? Expliquer pourquoi on préfère confier ce calcul à la machine plutôt que de le faire à la main.

Calculer chacune des intégrales suivantes à l'aide d'une primitive. La notation crochet $[F(t){]}_a^b$ est exigée à chaque calcul.

On rappelle qu'une primitive de $t\mapsto A\cos (\omega t+\phi )$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{A}{\omega }}\sin (\omega t+\phi )$, et qu'une primitive de $t\mapsto A\sin (\omega t+\phi )$ est $t\mapsto -{\displaystyle \frac{A}{\omega }}\cos (\omega t+\phi )$.

1. Calculer chacune des intégrales suivantes, en écrivant la notation crochet :

   a. ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos (t)\mathrm{d}t$

   b. ${\int }_0^{\pi }2\sin (t)\mathrm{d}t$

   c. ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos (2t)\mathrm{d}t$

   d. ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}3\cos (3t)\mathrm{d}t$

2. En utilisant la linéarité de l'intégrale, calculer ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(2\sin (t)+\cos (t))\mathrm{d}t$.

Dans cet exercice, la primitive est fournie : il s'agit de vérifier qu'elle convient en la dérivant, puis de l'utiliser pour calculer une intégrale.

1. On considère la fonction $F$ définie sur $[0;2]$ par $F(t)={\displaystyle \frac{t}{t+1}}$.

   a. À l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, montrer que $F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{(t+1{)}^2}}$ pour tout $t$ de $[0;2]$, en détaillant le calcul.

   b. En déduire la valeur exacte de ${\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{(t+1{)}^2}}\mathrm{d}t$.

2. On considère la fonction $G$ définie sur $[0;1]$ par $G(t)={\displaystyle \frac{(2t+1{)}^3}{6}}$.

   a. À l'aide de la règle de dérivation de $t\mapsto g(at+b)$, montrer que $G^{\mathrm{\prime }}(t)=(2t+1{)}^2$ pour tout $t$ de $[0;1]$.

   b. En déduire la valeur exacte de ${\int }_0^1(2t+1{)}^2\mathrm{d}t$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(t)=t^2-4$. Sa courbe est représentée ci-dessous : la région comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est coloriée d'une couleur lorsque la courbe est sous l'axe, et d'une autre couleur lorsqu'elle est au-dessus.

a. Factoriser $f(t)$, puis étudier le signe de $f$ sur $[0;3]$.

b. Calculer ${\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t$ à l'aide d'une primitive, avec la notation crochet.

c. Calculer ${\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t$ et ${\int }_2^{3}f(t)\mathrm{d}t$, puis vérifier que la relation de Chasles est satisfaite avec le résultat de la question b.

d. En déduire l'aire totale, en unités d'aire, de la région délimitée par la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[0;3]$. Expliquer pourquoi cette aire est différente de $\mid {\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t\mid$.

Partie 1. On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;5]$, dont on connaît seulement les intégrales suivantes :

$${\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t=5,{\int }_0^{3}g(t)\mathrm{d}t=-2,{\int }_3^{5}f(t)\mathrm{d}t=4.$$

À l'aide des propriétés de l'intégrale, calculer :

Partie 2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;4]$ par :

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}2t& \text{si }0\le t\le 1\\ 2& \text{si }1<t\le 4\end{array}$$

1. À l'aide de la relation de Chasles, calculer ${\displaystyle {\int }_0^{4}f(t)\mathrm{d}t}$.

2. Retrouver ce résultat par un calcul d'aire, en représentant la courbe de $f$ dans un repère orthonormé.

Partie 1.

1. Justifier, sans calculer les intégrales, que :

$${\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t\le {\int }_0^{1}t\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On pourra comparer $t^2$ et $t$ pour $t$ compris entre $0$ et $1$.

2. Vérifier cette inégalité en calculant les deux intégrales à l'aide de primitives.

Partie 2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :

$$f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\mathrm{.}$$

On ne connaît aucune primitive de cette fonction en terminale : il est donc impossible de calculer exactement $I={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}$ avec les outils du chapitre. On cherche à l'encadrer.

1. Montrer que pour tout $t$ de $[0;1]$, on a ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le f(t)\le 1$.

2. En déduire que ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le I\le 1$. Interpréter cet encadrement à l'aide d'aires de rectangles.

3. La méthode des rectangles avec $n=5$ subdivisions donne l'encadrement $\mathrm{0,73}\le I\le \mathrm{0,83}$ (résultat admis). Lequel des deux encadrements est le plus précis ? Comment pourrait-on faire encore mieux ?

Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

1. $f(t)=t^2$ sur $[0;3]$.

2. $g(t)=3t^2-2t+1$ sur $[0;2]$.

3. $s(t)=\sin (t)$ sur $[0;\pi ]$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.

4. $h(t)=\cos (2t)$ sur $[0;\pi ]$, c'est-à-dire sur une période complète. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Un TGV en approche de gare roule à la vitesse de $50$ m/s. À l'instant $t=0$ (en secondes), le conducteur déclenche un freinage qui impose au train la vitesse :

$$v(t)=50-2t\text{(en m/s)}\mathrm{.}$$

1. À quel instant le train s'arrête-t-il ?

2. Justifier que la distance parcourue par le train pendant le freinage est donnée par :

$$d={\int }_0^{25}v(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. Calculer cette distance.

4. Calculer la vitesse moyenne du train pendant le freinage, puis vérifier qu'elle est égale à la valeur moyenne de la fonction $v$ sur $[0;25]$.

En électricité, l'intensité $i(t)$ (en ampères) mesure le débit de charges électriques dans un circuit. La quantité d'électricité $Q$ (en coulombs) qui traverse un dipôle entre les instants $0$ et $T$ (en secondes) est donnée par :

$$Q={\int }_0^{T}i(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Un dipôle est parcouru par le courant alternatif d'intensité :

$$i(t)=\mathrm{0,4}\cos (100\pi t)\text{(en amp}\grave{\text{e}}\text{res)}\mathrm{.}$$

1. Vérifier que la période de ce courant vaut $T=\mathrm{0,02}$ s.

2. Calculer la quantité d'électricité $Q_1={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,005}}i(t)\mathrm{d}t}$ qui traverse le dipôle pendant le premier quart de période. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

3. Calculer $Q_2={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,02}}i(t)\mathrm{d}t}$, la quantité d'électricité qui traverse le dipôle pendant une période complète. Interpréter ce résultat pour un courant alternatif.

Dans un repère orthonormé (unité d'aire : le carré unité), on a tracé la parabole représentant la fonction $f$ définie par $f(t)=6t-t^2$ et la droite représentant la fonction $g$ définie par $g(t)=t$, pour $t$ compris entre $0$ et $5$. La région comprise entre les deux courbes est coloriée.

1. Vérifier par le calcul que les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $5$.

2. Montrer que pour tout $t$ de $[0;5]$ :

$$f(t)-g(t)=t(5-t)\ge 0.$$

3. On admet que l'aire de la région coloriée, en unités d'aire, est donnée par :

$$\mathcal{A}={\int }_0^5(f(t)-g(t))\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Calculer cette aire. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.

Aux bornes d'un composant électronique, on mesure la tension :

$$u(t)=10+5\cos (100\pi t)\text{(en volts)},$$

où $t$ est exprimé en secondes. Cette tension est périodique, de période $T=\mathrm{0,02}$ s.

1. Donner la valeur minimale $u_{\min }$ et la valeur maximale $u_{\max }$ de cette tension.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{T}u(t)\mathrm{d}t}$.

3. En déduire la valeur moyenne $⟨u⟩$ de la tension sur une période.

4. Que vaut la valeur moyenne du terme $5\cos (100\pi t)$ sur une période ? En électronique, on dit que $⟨u⟩$ est la composante continue du signal : expliquer pourquoi ce nom est bien choisi.

5. Justifier sans aucun calcul d'intégrale que l'on a nécessairement $5\le ⟨u⟩\le 15$.

Lors d'un orage qui dure $8$ heures, l'eau de pluie est collectée dans un bassin de rétention. Le débit d'eau entrant dans le bassin, en ${\text{m}}^3\mathrm{/}\text{h}$, est modélisé par la fonction :

$$d(t)=-t^2+8t,t\in [0;8],$$

où $t$ est le temps écoulé (en heures) depuis le début de l'orage.

1. Étudier les variations de $d$ sur $[0;8]$ et dresser son tableau de variations. À quel instant le débit est-il maximal, et que vaut-il alors ?

2. Justifier que le volume total d'eau reçu par le bassin pendant l'orage vaut :

$$V={\int }_0^{8}d(t)\mathrm{d}t,$$

puis calculer $V$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.

3. Le bassin a une capacité de $90{\text{m}}^3$. Déborde-t-il pendant cet orage ?

4. Calculer le volume d'eau reçu pendant les $4$ premières heures. Vérifier, à l'aide de la relation de Chasles, qu'il représente exactement la moitié du volume total. Proposer une explication graphique de ce résultat.

5. Calculer le débit moyen d'entrée d'eau sur la durée de l'orage. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.