Devoir surveillé — Intégration

1. ($3$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par intégrale) Calculer les intégrales suivantes :

2. ($\mathrm{2,5}$ pts) On considère la fonction $F$ définie sur $[0;1]$ par $F(t)={\displaystyle \frac{t}{2t+1}}$.

a. Montrer, à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, que $F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{(2t+1{)}^2}}$ pour tout $t$ de $[0;1]$.

b. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{(2t+1{)}^2}}\mathrm{d}t}$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(t)=3t^2-2t+1$ sur l'intervalle $[-1;2]$. On pourra utiliser le résultat de la question 1.a.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;4]$ par $g(t)=t^2-2t-3$, et sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ ci-dessous. La zone comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est coloriée : d'une couleur là où la courbe est sous l'axe (entre $t=0$ et $t=3$, signe $-$), d'une autre là où elle est au-dessus (entre $t=3$ et $t=4$, signe $+$).

1. ($1$ pt) Vérifier que $g(t)=(t-3)(t+1)$ pour tout réel $t$, et en déduire le signe de $g$ sur $[0;4]$.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}g(t)\mathrm{d}t}$. Le signe du résultat était-il prévisible ?

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer ${\displaystyle {\int }_3^{4}g(t)\mathrm{d}t}$, puis en déduire ${\displaystyle {\int }_0^{4}g(t)\mathrm{d}t}$ à l'aide de la relation de Chasles.

4. ($1$ pt) En déduire l'aire totale, en unités d'aire, de la zone coloriée délimitée par la courbe ${\mathcal{C}}_g$ et l'axe des abscisses sur $[0;4]$. Expliquer pourquoi cette aire est différente de $\mid {\displaystyle {\int }_0^{4}g(t)\mathrm{d}t}\mid$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t}}$, et l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}$. Aucune primitive de $f$ n'est connue en terminale STI2D/STL : on ne peut donc pas calculer $I$ exactement avec les formules du cours. On cherche à encadrer $I$ par la méthode des rectangles, avec $n=4$ rectangles de largeur $h=\mathrm{0,25}$.

1. ($1$ pt) Justifier que $f$ est décroissante sur $[0;1]$.

2. ($2$ pts) Calculer la somme $S$ des aires des rectangles construits sur les bords gauches des intervalles, puis la somme $s$ des aires des rectangles construits sur les bords droits. Donner des valeurs approchées au centième, et en déduire un encadrement de $I$.

3. ($1$ pt) Comment pourrait-on améliorer la précision de cet encadrement ? Quel outil utilise-t-on alors en pratique ?

Un dipôle est traversé par un courant alternatif d'intensité $i(t)=2\sin (100\pi t)$, où $i$ est en ampères (A) et $t$ en secondes (s). La quantité d'électricité (en coulombs, C) qui traverse le dipôle entre les instants $0$ et $T$ est donnée par :

$$Q={\int }_0^{T}i(t)\mathrm{d}t$$

1. ($1$ pt) Vérifier que la période du courant $i$ vaut $T=\mathrm{0,02}$ s.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la quantité d'électricité $Q_1={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,01}}i(t)\mathrm{d}t}$ qui traverse le dipôle pendant la première demi-période. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

3. ($1$ pt) En déduire la valeur moyenne de l'intensité $i$ sur l'intervalle $[0;\mathrm{0,01}]$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.

4. ($\mathrm{0,5}$ pt) Que vaut ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,02}}i(t)\mathrm{d}t}$ ? Interpréter ce résultat pour le courant $i$.