Exercices — Fonction exponentielle de base e

1. Pour un réel $a>0$, on note ${\mathcal{C}}_a$ la courbe de la fonction $x\mapsto a^x$. On rappelle la définition vue en cours : le nombre $\mathrm{e}$ est l'unique réel $a$ tel que la courbe ${\mathcal{C}}_a$ admette, au point d'abscisse $0$, une tangente de pente $1$.

   a. Justifier que toutes les courbes ${\mathcal{C}}_a$ passent par le point de coordonnées $(0;1)$.

   b. Pour $a=\mathrm{e}$, que vaut, par définition, la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ ?

   c. En déduire l'équation réduite de cette tangente.

2. À la calculatrice, donner une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près de chacun des nombres suivants :

   a. ${\mathrm{e}}^0$

   b. ${\mathrm{e}}^1$

   c. ${\mathrm{e}}^2$

   d. ${\mathrm{e}}^{-1}$

3. Pour approcher le nombre $\mathrm{e}$ par balayage, on teste les valeurs $a=\mathrm{2,000}$, puis $\mathrm{2,001}$, puis $\mathrm{2,002}$, etc. Pour chaque valeur de $a$, on calcule le taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{a^h-1}{h}}$ de la fonction $x\mapsto a^x$ entre $0$ et $h$, avec $h=\mathrm{0,0001}$. On exécute le script Python suivant :

   h = 0.0001
   a = 2.000
   taux = (a**h - 1) / h
   while taux < 1:
       a = a + 0.001
       taux = (a**h - 1) / h
   print(a)
   

   a. Que représente la quantité (a**h - 1) / h pour la courbe ${\mathcal{C}}_a$ ?

   b. Que teste la condition de la boucle while ?

   c. Quelle valeur approximative ce script affiche-t-il ? Que représente-t-elle ?

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme ${\mathrm{e}}^n$ (avec $n$ entier) ou ${\mathrm{e}}^{kx}$ (avec $k$ entier) :

1. Simplifier chacune des expressions suivantes ($x$ désigne un réel quelconque) :

   a. ${\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{1-x}$

   b. ${\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^3}{{\mathrm{e}}^{2x}}}$

   c. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{-3x}}}$

   d. $({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})$

2. Démontrer les identités suivantes, valables pour tout réel $x$ :

   a. ${({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})}^2-{({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})}^2=4$

   b. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^x}}={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ : ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b⟺a=b$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ : ${\mathrm{e}}^a⩽{\mathrm{e}}^b⟺a⩽b$.

   a. ${\mathrm{e}}^{2x}⩽{\mathrm{e}}^{x+3}$

   b. ${\mathrm{e}}^{-x}>1$

   c. ${\mathrm{e}}^{3x-1}⩾{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

   d. ${\mathrm{e}}^{x^2}⩽{\mathrm{e}}^9$

2. Étudier le signe de $(2-x){\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$, et présenter le résultat dans un tableau de signes. On rappelle que pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$.

Dériver chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ (sauf mention contraire). Pour chacune, préciser la formule utilisée : dérivée d'une somme, d'un produit ou d'un quotient. On rappelle que ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^x$.

1. Dériver chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f(x)={\mathrm{e}}^{3x}$

   b. $g(x)=5{\mathrm{e}}^{-2x}$

   c. $h(t)=4{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}3}$

   d. $k(x)={\mathrm{e}}^{2x}+x^3$

   e. $m(x)=(x+1){\mathrm{e}}^{-2x}$

   f. $u(t)=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}t}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}$. Vérifier que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)-2f(x)=0.$$

On rappelle que l'équation réduite de la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$.

1. On considère la fonction exponentielle $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

   a. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

   b. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. Que remarque-t-on à propos de cette droite et de l'origine du repère ?

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{-2x}$. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$.

3. Existe-t-il un point de la courbe $\mathcal{C}$ en lequel la tangente est horizontale ? Justifier.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis vérifier que pour tout $x$ de $[-3;3]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x){\mathrm{e}}^x$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-3;3]$. On rappelle que pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$. On donnera les valeurs exactes de $f(-3)$, $f(1)$ et $f(3)$.

4. En déduire le maximum de $f$ sur $[-3;3]$ et la valeur en laquelle il est atteint.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;8]$. On a tracé en pointillés la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point de coordonnées $(0;4)$ : elle passe par les points $(0;4)$ et $(2;0)$. Des pointillés repèrent le point de la courbe d'abscisse $2$.

1. Lire graphiquement $f(0)$.

2. À l'aide de la tangente $T$, déterminer $f^{\mathrm{\prime }}(0)$.

3. On admet que $f$ est définie par $f(x)=4{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{/}2}$. Retrouver par le calcul les valeurs de $f(0)$ et de $f^{\mathrm{\prime }}(0)$.

4. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et justifier que $f$ est strictement décroissante sur $[0;8]$.

5. Que peut-on conjecturer graphiquement pour $f(x)$ lorsque $x$ devient grand ?

1. Déterminer chacune des limites suivantes :

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{2x}$

   b. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{2x}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{-3x}$

   d. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(5-2{\mathrm{e}}^x)$

   e. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(5-2{\mathrm{e}}^x)$

   f. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }({\mathrm{e}}^{-x}+3)$

   g. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x+{\mathrm{e}}^x)$

   h. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}$

2. Interpréter graphiquement les limites e. et f. pour les courbes des fonctions $x\mapsto 5-2{\mathrm{e}}^x$ et $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}+3$.

1. Déterminer chacune des limites suivantes. On précisera à chaque fois le résultat de croissances comparées utilisé (pour c., on pourra factoriser par ${\mathrm{e}}^x$).

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^3}}$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }({\mathrm{e}}^x-x^{10})$

   d. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{x^2}}$

   e. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

   f. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3+1}{{\mathrm{e}}^x}}$

2. On résume souvent les résultats de ce type par la phrase : « en $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ ». Expliquer en une ou deux phrases ce que signifie cette formule, en s'appuyant sur les limites de la question 1.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

2. Résoudre l'équation $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, puis étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$. On rappelle que $1={\mathrm{e}}^0$ et que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ (les limites seront ajoutées à la question 5) et préciser la valeur du minimum de $g$.

4. En déduire que pour tout réel $x$ : ${\mathrm{e}}^x⩾x+1$. Interpréter graphiquement cette inégalité, sachant que la droite d'équation $y=x+1$ est la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$.

5. Déterminer la limite de $g$ en $-\mathrm{\infty }$, puis en $+\mathrm{\infty }$ (on pourra factoriser par ${\mathrm{e}}^x$), et compléter le tableau de variations.

Un condensateur, initialement déchargé, est chargé à travers une résistance par un générateur de tension $E=6$ V (circuit RC). La tension $u$ aux bornes du condensateur, en volts, est modélisée en fonction du temps $t$, en secondes, par :

La constante de temps du circuit vaut $\tau =2$ s. La courbe ${\mathcal{C}}_u$ de la fonction $u$ est représentée ci-dessous, avec sa tangente à l'origine $T_0$ et la droite d'équation $y=6$.

1. Calculer $u(0)$. Ce résultat est-il cohérent avec la situation physique ?

2. Montrer que pour tout $t$ de $[0;10]$, $u^{\mathrm{\prime }}(t)=3{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}2}$. En déduire le signe de $u^{\mathrm{\prime }}(t)$ et le sens de variation de $u$.

3. Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }u(t)$ (le modèle est prolongé au-delà de $10$ s). Interpréter physiquement ce résultat.

4. Justifier que la tangente à l'origine $T_0$ a pour équation $y=3t$, puis vérifier par le calcul qu'elle coupe la droite d'équation $y=6$ au point d'abscisse $\tau =2$.

5. Calculer la valeur exacte de $u(2)$, puis une valeur approchée au centième de volt près. Vérifier que $u(\tau )\approx \mathrm{0,63}\times E$.

6. Calculer une valeur approchée de $u(10)$ au centième de volt près, puis commenter la phrase : « au bout d'une durée de $5\tau$, le régime permanent est atteint à moins de $1\mathrm{\%}$ près ».

L'activité d'un échantillon radioactif, en becquerels (Bq), est modélisée en fonction du temps $t$, en jours, par :

où $A_0=800$ Bq est l'activité initiale et $\lambda =\mathrm{0,25}$ jour${}^{-1}$ la constante radioactive.

1. Calculer $A(0)$, puis la valeur exacte de $A(4)$ et une valeur approchée à l'unité près.

2. Montrer que pour tout $t⩾0$ :

   $${\displaystyle \frac{A(t+4)}{A(t)}}={\mathrm{e}}^{-1}\mathrm{.}$$

   Que remarque-t-on à propos de ce quotient ?

3. Calculer $A^{\mathrm{\prime }}(t)$, étudier son signe et en déduire le sens de variation de $A$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

4. Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }A(t)$. Interpréter physiquement ce résultat.

5. La demi-vie $t_{1\mathrm{/}2}$ de l'échantillon est la durée au bout de laquelle l'activité est divisée par $2$. On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}\times \mathrm{2,77}}\approx \mathrm{0,500}$.

   a. Vérifier que $t_{1\mathrm{/}2}\approx \mathrm{2,77}$ jours convient, c'est-à-dire que $A(\mathrm{2,77})\approx {\displaystyle \frac{A_0}{2}}$.

   b. Montrer que pour tout $t⩾0$, $A(t+t_{1\mathrm{/}2})={\displaystyle \frac{A(t)}{2}}$ : la demi-vie ne dépend pas de l'instant de départ.

6. En raisonnant sur les puissances de $2$, déterminer au bout de combien de demi-vies l'activité de l'échantillon devient inférieure à $1\mathrm{\%}$ de $A_0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a. Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}+2{\mathrm{e}}^{-x}$, puis déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ?

   b. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

2. a. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x-1){\mathrm{e}}^{-x}$.

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises). Préciser la valeur exacte du maximum de $f$.

3. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

5. À l'aide du tableau de variations, discuter, selon les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.