Devoir surveillé — Fonction exponentielle de base e

1. ($2$ pts, soit $\mathrm{0,5}$ pt par expression) Simplifier chacune des expressions suivantes. Le résultat sera écrit sous la forme ${\mathrm{e}}^a$, ${\mathrm{e}}^{ax}$ ou comme un nombre entier :

2. ($2$ pts) Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

3. ($1$ pt) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation ${\mathrm{e}}^{-2x}⩾{\mathrm{e}}^4$.

1. ($3$ pts, soit $1$ pt par fonction) Dériver chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, en précisant la formule utilisée (somme, produit, dérivée de ${\mathrm{e}}^{kx}$) :

2. ($2$ pts) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ de la question 1.a. au point d'abscisse $0$.

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang d'un patient est modélisée par une fonction $N$ du temps : $t$ désigne le temps écoulé depuis l'injection, exprimé en heures ($t⩾0$), et $N(t)$ la concentration, exprimée en $\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

La courbe ${\mathcal{C}}_N$ ci-dessous représente la fonction $N$ sur l'intervalle $[0;12]$. La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$ est tracée en pointillés : elle passe par les points de coordonnées $(0;8)$ et $(4;0)$.

1. ($1$ pt) Lire graphiquement $N(0)$, puis déterminer $N^{\mathrm{\prime }}(0)$ en justifiant.

2. ($1$ pt) On admet désormais que pour tout $t⩾0$, $N(t)=8{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}4}$. Calculer $N(0)$, montrer que $N^{\mathrm{\prime }}(t)=-2{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}4}$, puis retrouver la valeur de $N^{\mathrm{\prime }}(0)$.

3. ($1$ pt) Déterminer le sens de variation de $N$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, en justifiant.

4. ($1$ pt) Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }N(t)$ et interpréter concrètement ce résultat pour le patient.

5. ($1$ pt) Calculer $N(4)$ (valeur exacte, puis arrondi au centième), puis résoudre l'équation $N(t)=8{\mathrm{e}}^{-1}$ (on donnera la valeur exacte de la solution).

6. ($1$ pt) Montrer que le quotient ${\displaystyle \frac{N(t+4)}{N(t)}}$ ne dépend pas de $t$ et donner sa valeur exacte. Interpréter ce résultat.

1. ($3$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par limite) Déterminer chacune des limites suivantes, en justifiant (on citera le théorème de croissances comparées lorsqu'il est utilisé) :

2. ($1$ pt) Interpréter graphiquement le résultat de la question 1.c. pour la courbe représentative de la fonction $x⟼3+{\mathrm{e}}^{2x}$.