Devoir surveillé — Équations différentielles

1. ($2$ pts, soit $1$ pt par vérification)

a. Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3{\mathrm{e}}^{-2x}+1$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-2y+2$.

b. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin (3x)$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+9y=0$.

2. ($3$ pts, soit $1$ pt par résolution) Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes. On donnera l'ensemble des solutions :

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,25}y+2$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. ($1$ pt) Déterminer la fonction constante solution de $(E)$.

2. ($2$ pts) En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

3. ($2$ pts) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0)=2$.

4. ($1$ pt) Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe représentative de $f$.

On cherche à approcher la solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=y$ vérifiant $y(0)=1$ sur l'intervalle $[0;\mathrm{0,6}]$, par la méthode d'Euler avec le pas $h=\mathrm{0,2}$. On note $x_k=\mathrm{0,2}k$ et $y_k$ la valeur approchée de $y(x_k)$ construite par la méthode.

1. ($1$ pt) Justifier que la méthode d'Euler conduit ici à la relation $y_{k+1}=\mathrm{1,2}{y}_k$.

2. ($2$ pts) Compléter le tableau des valeurs de $y_k$ (valeurs exactes) :

3. ($1$ pt) La solution exacte est $y(x)={\mathrm{e}}^x$, et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,6}}\approx \mathrm{1,822}$. Comparer cette valeur à $y_3$ et proposer un moyen d'améliorer l'approximation.

Une tasse de café à $80$ °C est posée dans une salle dont la température ambiante est constante, égale à $20$ °C. On note $\theta (t)$ la température du café en degrés Celsius à l'instant $t$, exprimé en minutes. Selon la loi de refroidissement de Newton, la fonction $\theta$ vérifie l'équation différentielle :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,1}(\theta -20)$$

1. ($1$ pt) Montrer que cette équation peut s'écrire sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, en précisant les valeurs de $a$ et $b$.

2. ($2$ pts) Résoudre cette équation différentielle et déterminer l'expression de $\theta (t)$ sachant que $\theta (0)=80$.

3. ($1$ pt) Calculer la température du café au bout de $5$ minutes. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de degré.

4. ($1$ pt) On considère que le café est buvable lorsque sa température atteint $45$ °C. Déterminer par le calcul au bout de combien de temps le café devient buvable. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de minute.