Exercices — Composition de fonctions

Écrire chacune des fonctions suivantes sous la forme $x\mapsto v(u(x))$ (ou $t\mapsto v(u(t))$), en précisant les fonctions $u$ et $v$. Dans l'item f., $\omega$ désigne une constante réelle non nulle.

Partie A. On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2$.

1. Calculer $(v\circ u)(0)$, $(v\circ u)(1)$ et $(v\circ u)(-2)$.
2. Calculer $(u\circ v)(0)$, $(u\circ v)(1)$ et $(u\circ v)(-2)$.
3. Exprimer $(v\circ u)(x)$ en fonction de $x$, puis développer.
4. Exprimer $(u\circ v)(x)$ en fonction de $x$.
5. Que peut-on en conclure sur $v\circ u$ et $u\circ v$ ?

Partie B. On considère maintenant $u(t)=3t$ et $v(x)=\cos x$.

1. Exprimer $(v\circ u)(t)$ et $(u\circ v)(t)$.
2. Calculer $(v\circ u)\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ et $(u\circ v)\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$. Les deux composées sont-elles égales ?

On rappelle que si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $n$ un entier relatif non nul, alors $(u^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{u}^{\mathrm{\prime }}{u}^{n-1}$ (avec $u$ ne s'annulant pas sur $I$ lorsque $n<0$).

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

On rappelle que si $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, alors $(\cos (u){)}^{\mathrm{\prime }}=-u^{\mathrm{\prime }}\sin (u)$ et $(\sin (u){)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}\cos (u)$.

Dériver chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'item d. modélise un signal électrique alternatif de fréquence $50\mathrm{H}\mathrm{z}$ (le temps $t$ est en secondes).

On rappelle que si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $({\mathrm{e}}^u{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, et si de plus $u>0$ sur $I$, alors $(\ln (u){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$.

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. Pour l'item e., on utilisera aussi la formule de dérivation d'un produit.

On rappelle la formule générale : si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$, alors

1. Pour chacune des deux fonctions suivantes, préciser $u$, $v$, $u^{\mathrm{\prime }}$ et $v^{\mathrm{\prime }}$, puis assembler la formule pour obtenir la dérivée.

   a. $f(x)=(5x-2{)}^3$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

   b. $g(t)=\cos (t^2+1)$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $k$ un réel non nul. En choisissant $u(t)=kt$ et $v(x)={\mathrm{e}}^x$, retrouver la formule de dérivation de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ vue au chapitre sur la fonction exponentielle.

3. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v$ ne s'annulant pas sur $I$. On veut démontrer la formule de dérivation du quotient en écrivant ${\displaystyle \frac{u}{v}}=u\times {\displaystyle \frac{1}{v}}$.

   a. Rappeler l'expression de ${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}$.

   b. Appliquer la formule de dérivation d'un produit à $u\times {\displaystyle \frac{1}{v}}$.

   c. En réduisant au même dénominateur, retrouver ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul si elle est vraie, par un calcul ou un contre-exemple si elle est fausse.

1. La dérivée de la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$ est la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$.

2. La dérivée de la fonction $x\mapsto \cos (x^2+1)$ est la fonction $x\mapsto -\sin (x^2+1)$.

3. Pour toutes fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$, on a $(v\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}=v^{\mathrm{\prime }}\circ u^{\mathrm{\prime }}$.

4. Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle $I$, alors la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ est du même signe que $u^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$.

5. Les fonctions $x\mapsto \ln (2x)$ et $x\mapsto \ln (x)$ ont la même dérivée sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Rappel. Si $F$ est une primitive de $f$, alors la fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{a}}F(ax+b)$ (avec $a\mathrm{\ne }0$) est une primitive de la fonction $x\mapsto f(ax+b)$.

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant à chaque fois une forme $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$ (avec $n$ entier relatif, $n\mathrm{\ne }-1$), au besoin après ajustement d'une constante multiplicative. On précisera à chaque fois la fonction $u$ choisie.

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant une forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ (de primitive $\ln (u)$, valable uniquement sur un intervalle où $u>0$) ou une forme $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$ (de primitive ${\mathrm{e}}^u$), au besoin après ajustement d'une constante multiplicative. On précisera à chaque fois la fonction $u$ choisie et, pour les formes ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, on justifiera que $u>0$ sur l'intervalle indiqué.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant une forme $u^{\mathrm{\prime }}\cos (u)$, $u^{\mathrm{\prime }}\sin (u)$ ou $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$. On précisera la fonction $u$ choisie.

   a. $t\mapsto 2t\cos (t^2)$

   b. $t\mapsto 3t^2\sin (t^3)$

   c. $t\mapsto \cos (t){\mathrm{e}}^{\sin t}$

2. Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes. La notation crochet $[F(t){]}_a^b$ est exigée à chaque calcul.

   a. ${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{\pi \mathrm{/}2}}2t\cos (t^2)\mathrm{d}t}$

   b. ${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{\pi }}t\sin (t^2)\mathrm{d}t}$

   c. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos (t){\mathrm{e}}^{\sin t}\mathrm{d}t}$

Pour chacune des fonctions suivantes : dire de quelle forme du chapitre il s'agit ($u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, $u^{\mathrm{\prime }}\cos (u)$, $u^{\mathrm{\prime }}\sin (u)$ ou $f(at+b)$), poser la fonction $u$ (ou préciser $a$ et $b$), puis donner une primitive. Pour les formes ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, on vérifiera que $u>0$.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-\mathrm{0,6};\mathrm{4,6}]$ par :

Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ est donnée ci-dessous.

1. Par lecture graphique, donner le maximum de $g$ sur $[-\mathrm{0,6};\mathrm{4,6}]$ et l'abscisse en laquelle il est atteint. Que peut-on en déduire pour la valeur de $g^{\mathrm{\prime }}(2)$ ?

2. On pose $u(x)=-(x-2{)}^2$, de sorte que $g(x)=4{\mathrm{e}}^{u(x)}$. Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que pour tout $x\in [-\mathrm{0,6};\mathrm{4,6}]$ :

3. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-\mathrm{0,6};\mathrm{4,6}]$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur cet intervalle. On donnera les valeurs exactes aux bornes, ainsi que des valeurs approchées au millième.

4. Vérifier que les résultats de la question 3 sont cohérents avec le graphique.

Un condensateur chargé se décharge dans une résistance $R=12\mathrm{\Omega }$. La tension à ses bornes (en volts) est modélisée, pour $t\in [0;10]$ ($t$ en secondes), par :

1. Calculer $u(0)$. Déterminer $u^{\mathrm{\prime }}(t)$ (dérivée d'une fonction de la forme ${\mathrm{e}}^{kt}$, vue au chapitre sur la fonction exponentielle), puis justifier le sens de variation de $u$ sur $[0;10]$.

2. La puissance dissipée dans la résistance (en watts) est $p(t)={\displaystyle \frac{[u(t){]}^2}{R}}$. En utilisant la propriété $({\mathrm{e}}^a{)}^2={\mathrm{e}}^{2a}$, montrer que pour tout $t\in [0;10]$ :

3. En dérivant $[u(t){]}^2$ à l'aide de la formule de dérivation de $u^n$ (ici $n=2$), vérifier que $p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2u^{\mathrm{\prime }}(t)u(t)}{R}}$, puis retrouver $p^{\mathrm{\prime }}(t)=-12{\mathrm{e}}^{-t}$.

4. L'énergie dissipée dans la résistance (en joules) entre les instants $t=0$ et $t=2$ est :

Calculer la valeur exacte de $E$ (on utilisera une primitive d'une fonction de la forme $f(at+b)$), puis en donner une valeur approchée arrondie au dixième.

5. Calculer la valeur moyenne de la puissance $p$ sur l'intervalle $[0;2]$ (valeur exacte, puis arrondi au dixième).