Devoir surveillé — Composition de fonctions

1. ($\mathrm{1,5}$ pt, soit $\mathrm{0,75}$ pt par fonction) Écrire chacune des fonctions suivantes sous la forme $v(u(x))$, en précisant les expressions des fonctions $u$ et $v$ :

a. $f(x)=(x^2+1{)}^3$

b. $g(x)=\ln (x^2+4)$

2. ($\mathrm{4,5}$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par dérivée) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ (sauf f., définie pour $t>-{\displaystyle \frac{2}{3}}$) :

1. ($3$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par primitive) Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$. Pour la fonction c., on justifiera d'un mot que le dénominateur est strictement positif sur $\mathbb{R}$ :

2. ($2$ pts) Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$. On fera apparaître la notation crochet $[\cdot {]}_0^1$.

Dans un atelier dont la température ambiante est constante, égale à $20$ °C, une pièce métallique sort d'un four à la température de $80$ °C. On note $T(t)$ sa température en degrés Celsius à l'instant $t$, exprimé en minutes. On admet que, pour tout $t$ de $[0;25]$ :

$$T(t)=20+60{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}5}$$

La courbe représentative de $T$ est donnée ci-dessous.

1. ($1$ pt) Vérifier que $T(0)=80$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Justifier que $T$ est dérivable sur $[0;25]$ et montrer que, pour tout $t$ de $[0;25]$, $T^{\mathrm{\prime }}(t)=-12{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}5}$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Étudier le signe de $T^{\mathrm{\prime }}(t)$ sur $[0;25]$, puis dresser le tableau de variations de $T$ sur $[0;25]$. On donnera les valeurs exactes aux bornes.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Résoudre par le calcul l'équation $T(t)=30$ sur $[0;25]$. On donnera la valeur exacte de la solution, puis un arrondi au dixième de minute, et on vérifiera la cohérence du résultat avec le graphique.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) La pièce peut être manipulée sans gant dès que sa température est inférieure à $30$ °C. À partir de quel instant l'ouvrier peut-il la manipuler sans gant ?

On reprend la pièce métallique de l'exercice 3, dont la température est modélisée sur $[0;25]$ par $T(t)=20+60{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}5}$ ($T$ en degrés Celsius, $t$ en minutes).

1. ($2$ pts) Calculer la valeur moyenne de $T$ sur l'intervalle $[0;10]$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle {\int }_0^{10}(20+60{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}5})\mathrm{d}t}$. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de degré.

2. ($1$ pt) Interpréter physiquement cette valeur moyenne pour la pièce métallique pendant les dix premières minutes.