Tale spé · Chapitre 02 · Algèbre et géométrie

Exercices — Vecteurs, droites et plans de l'espace

18 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Sommaire

18 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Lire des vecteurs dans un cube

Vecteurs de l'espace, translations et relation de Chasles

Cube ABCDEFGH

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est sa face inférieure, $E F G H$ sa face supérieure, et les points $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Pour chacun des vecteurs suivants, citer tous les vecteurs qui lui sont égaux et dont l'origine et l'extrémité sont des sommets du cube.

a. $\vec{A B}$
b. $\vec{A E}$
c. $\vec{B C}$
d. $\vec{A C}$
e. $\vec{E A}$
f. $\vec{B G}$
À l'aide de la relation de Chasles, écrire chacune des sommes suivantes sous la forme d'un seul vecteur $\vec{M N}$ , où $M$ et $N$ sont des sommets du cube.

a. $\vec{A B} + \vec{B C}$
b. $\vec{A B} + \vec{B F}$
c. $\vec{A E} + \vec{E H}$
d. $\vec{H G} + \vec{G C}$
e. $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G}$
f. $\vec{B F} + \vec{F G} + \vec{G H}$

Exercice 2 ★★★★ — Simplifier avec la relation de Chasles

Vecteurs de l'espace, translations et relation de Chasles

$A B C D$ est un tétraèdre.

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme d'un seul vecteur, le plus simplement possible.

a. $\vec{A B} + \vec{B D}$
b. $\vec{A C} + \vec{C D} + \vec{D B}$
c. $\vec{A B} - \vec{A D}$
d. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C}$
e. $\vec{A D} - \vec{C D} - \vec{A B}$
f. $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$
On considère maintenant quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quelconques de l'espace. Démontrer que $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Décomposer des vecteurs dans un cube

Combinaisons linéaires et décomposition de vecteurs

Cube ABCDEFGH, I milieu de [FG], J centre de la face BCGF

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est sa face inférieure, $E F G H$ sa face supérieure, et les points $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . On note $I$ le milieu du segment $[F G]$ et $J$ le centre de la face $B C G F$ .

Exprimer chacun des vecteurs suivants comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{A B}$ , $\vec{A D}$ et $\vec{A E}$ .

Vecteurs joignant des sommets du cube :

a. $\vec{A C}$
b. $\vec{A F}$
c. $\vec{A G}$
d. $\vec{E C}$
e. $\vec{B H}$
Vecteurs faisant intervenir les points $I$ et $J$ :

a. $\vec{A I}$
b. $\vec{A J}$
c. $\vec{I J}$

Exercice 4 ★★★★ — Points définis par des relations vectorielles

Combinaisons linéaires et décomposition de vecteurs

$A B C D$ est un tétraèdre. On définit les points $M$ et $N$ par les relations :

\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} et \vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{B D}

Exprimer $\vec{A N}$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ et $\vec{A D}$ .
En déduire l'expression de $\vec{M N}$ comme combinaison linéaire de $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ et $\vec{A D}$ .
Démontrer que les droites $(M N)$ et $(B D)$ sont parallèles.

Exercice 5 ★★★★ — Milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre

Combinaisons linéaires et décomposition de vecteursVecteurs de l'espace, translations et relation de Chasles

$A B C D$ est un tétraèdre. Dans un tétraèdre, deux arêtes sont dites opposées lorsqu'elles n'ont aucun sommet commun : les paires d'arêtes opposées sont $[A B]$ et $[C D]$ , $[A C]$ et $[B D]$ , $[A D]$ et $[B C]$ .

On note $I$ le milieu de $[A B]$ et $J$ le milieu de $[C D]$ .

a. Justifier que $\vec{A J} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D})$ .

b. En déduire l'expression de $\vec{I J}$ comme combinaison linéaire de $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ et $\vec{A D}$ .
Démontrer que $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C})$ .
On note $K$ le milieu de $[A C]$ et $L$ le milieu de $[B D]$ .

a. Démontrer que $\vec{I K} = \vec{L J} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

b. En déduire la nature du quadrilatère $I K J L$ , puis que les segments $[I J]$ et $[K L]$ ont le même milieu.
On note enfin $M$ le milieu de $[A D]$ et $N$ le milieu de $[B C]$ . En adaptant la méthode de la question 3, démontrer que les segments $[I J]$ et $[M N]$ ont le même milieu. Que peut-on en conclure pour les trois segments joignant les milieux des arêtes opposées du tétraèdre ?

Exercice 6 ★★★★ — Colinéarité en coordonnées

Colinéarité, alignement et droites de l'espaceBases et repères de l'espace

L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

Dans chaque cas, dire si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Justifier.

a. $\vec{u} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 6 \end{array})$
b. $\vec{u} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 1 \end{array})$
c. $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 9 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
d. $\vec{u} (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 3 \end{array})$
e. $\vec{u} (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 2 \end{array})$
f. $\vec{u} (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - 3 \\ 1 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} - 2 \\ 12 \\ - 4 \end{array})$
Dans chaque cas, déterminer le réel $t$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.

a. $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} t \\ 4 \\ - 12 \end{array})$
b. $\vec{u} (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 5 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} 6 \\ - 9 \\ 15 \end{array})$

Exercice 7 ★★★★ — Alignement de points dans le cube

Colinéarité, alignement et droites de l'espaceCombinaisons linéaires et décomposition de vecteurs

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, avec $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ .

On définit les points $M$ et $N$ par :

\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B H} et \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B G}

Aucune figure n'est demandée : tout se traite par le calcul vectoriel.

Exprimer $\vec{B H}$ en fonction de $\vec{A B}$ , $\vec{A D}$ et $\vec{A E}$ .
En déduire que $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A E}$ .
Décomposer de même $\vec{A N}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$ .
En déduire que les points $A$ , $M$ et $N$ sont alignés.

Exercice 8 ★★★★ — Parallèles, sécantes ou non coplanaires ?

Positions relatives de droites et de plansColinéarité, alignement et droites de l'espace

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, avec $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ .

On note $I$ le milieu de $[A B]$ , $J$ le milieu de $[E F]$ et $K$ le milieu de $[B C]$ .

Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites (parallèles, sécantes ou non coplanaires). Justifier soigneusement : pour des droites parallèles, on exhibera des vecteurs directeurs colinéaires ; pour des droites sécantes, on précisera le point d'intersection.

a. $(I J)$ et $(D H)$

b. $(I K)$ et $(A C)$

c. $(E C)$ et $(F D)$

d. $(A B)$ et $(D H)$

Exercice 9 ★★★★ — Vecteurs coplanaires ou non ?

Vecteurs coplanaires et caractérisation d'un plan

L'espace est rapporté à une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

On considère les vecteurs :
$\vec{u} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}), \vec{v} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) et \vec{w} (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
a. Vérifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

b. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ .

c. Que peut-on en conclure pour les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ?
Les vecteurs suivants sont-ils coplanaires ? Justifier.
$\vec{r} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), \vec{s} (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) et \vec{t} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Exercice 10 ★★★★ — Quatre points coplanaires dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires et caractérisation d'un planCombinaisons linéaires et décomposition de vecteurs

$A B C D$ est un tétraèdre. Comme les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires, le triplet $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D})$ est une base de l'espace.

On définit les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ par :

$M$ tel que $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ;
$N$ le milieu de $[A C]$ ;
$P$ le milieu de $[B D]$ ;
$Q$ tel que $\vec{C Q} = \frac{1}{4} \vec{C D}$ .

Aucune figure n'est demandée : tout se traite par le calcul vectoriel.

Décomposer les vecteurs $\vec{M N}$ , $\vec{M P}$ et $\vec{M Q}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D})$ .
Justifier que les vecteurs $\vec{M N}$ et $\vec{M P}$ ne sont pas colinéaires.
Déterminer deux réels $α$ et $β$ tels que $\vec{M Q} = α \vec{M N} + β \vec{M P}$ .
Conclure : les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ sont-ils coplanaires ?

Exercice 11 ★★★★ — Lire les positions relatives sur le cube

Positions relatives de droites et de plans

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, avec $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ .

Cube ABCDEFGH

Dans chaque cas, donner la position relative des deux objets (droites parallèles, sécantes ou non coplanaires ; droite et plan parallèles ou sécants ; plans parallèles ou sécants). Justifier en une phrase.

a. $(A B)$ et $(G H)$

b. $(A B)$ et $(F G)$

c. $(A C)$ et $(B D)$

d. $(A E)$ et le plan $(B C G)$

e. $(E C)$ et le plan $(A B C)$

f. $(H G)$ et le plan $(A B F)$

g. les plans $(A B F)$ et $(D C G)$

h. les plans $(A B C)$ et $(B C G)$

Exercice 12 ★★★★ — Intersection de deux plans avec le théorème du toit

Positions relatives de droites et de plans

$A B C D E F G H$ est un cube : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, avec $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ . On note $I$ le milieu de $[A E]$ et $J$ le milieu de $[B F]$ .

Cube ABCDEFGH, I milieu de [AE], J milieu de [BF]

On cherche à déterminer l'intersection du plan $(I J G)$ et du plan $(A B C)$ .

Montrer que $\vec{I J} = \vec{A B}$ . Que peut-on en déduire pour les droites $(I J)$ et $(A B)$ ?
Soit $K$ le symétrique de $C$ par rapport à $B$ , c'est-à-dire le point tel que $\vec{B K} = \vec{C B}$ .

a. Justifier que $K$ appartient au plan $(A B C)$ .

b. Décomposer $\vec{J G}$ et $\vec{J K}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$ . En déduire que $K$ appartient à la droite $(J G)$ , puis au plan $(I J G)$ .
Justifier que les plans $(I J G)$ et $(A B C)$ sont sécants, puis déterminer leur droite d'intersection à l'aide du théorème du toit.

Exercice 13 ★★★★ — Base de l'espace ou pas ?

Bases et repères de l'espaceVecteurs coplanaires et caractérisation d'un plan

Partie A. On considère un cube $A B C D E F G H$ : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, et les arêtes verticales sont $[A E]$ , $[B F]$ , $[C G]$ et $[D H]$ (ainsi $E$ est au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$ ).

Pour chacun des triplets de vecteurs suivants, dire s'il forme une base de l'espace. Justifier soigneusement chaque réponse.

a. $(\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$

b. $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{B D})$

c. $(\vec{A B}, \vec{H G}, \vec{A E})$

d. $(\vec{A C}, \vec{A F}, \vec{A H})$

Partie B. Dans chacun des cas suivants, les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont donnés par leurs coordonnées dans une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace. Dire si le triplet $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ forme une base de l'espace. Justifier.

e. $\vec{u} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ , $\vec{v} (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $\vec{w} (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 1 \end{array})$

f. $\vec{u} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ , $\vec{v} (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $\vec{w} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$

Exercice 14 ★★★★ — Décomposer dans une base du tétraèdre

Bases et repères de l'espaceCombinaisons linéaires et décomposition de vecteurs

Soit $A B C D$ un tétraèdre. On note $I$ le milieu de $[B C]$ et $J$ le milieu de $[C D]$ . On définit également le point $G$ par la relation :

\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})

Tétraèdre ABCD, I milieu de [BC], J milieu de [CD], G point défini dans l'énoncé

1. Justifier que le triplet $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D})$ est une base de l'espace.

2. Décomposer les vecteurs $\vec{A I}$ et $\vec{A J}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D})$ .

3. En déduire la décomposition de $\vec{I J}$ dans cette base, puis démontrer que les droites $(I J)$ et $(B D)$ sont parallèles.

4. Démontrer que les points $B$ , $G$ et $J$ sont alignés, et préciser la position du point $G$ sur le segment $[B J]$ .

Exercice 15 ★★★★ — Coordonnées dans le repère du cube

Bases et repères de l'espaceColinéarité, alignement et droites de l'espace

Soit $A B C D E F G H$ un cube : $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . On munit l'espace du repère $(A; \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$ .

On définit les points suivants :

$I$ le milieu de l'arête $[A B]$ ;
$J$ le milieu de l'arête $[G H]$ ;
$Ω$ le milieu de la grande diagonale $[A G]$ (c'est le centre du cube) ;
$K$ le point défini par la relation $\vec{A K} = \frac{1}{3} \vec{A G}$ .

1. Donner les coordonnées des huit sommets du cube dans ce repère. On justifiera brièvement les coordonnées de $C$ , $G$ et $H$ .

2. Déterminer les coordonnées des points $I$ , $J$ , $Ω$ et $K$ .

3. Démontrer que les points $I$ , $Ω$ et $J$ sont alignés. Que représente le point $Ω$ pour le segment $[I J]$ ?

4. Démontrer que les points $B$ , $D$ , $E$ et $K$ sont coplanaires.

Exercice 16 ★★★★ — Vrai ou faux ? Droites, plans et bases

Positions relatives de droites et de plansVecteurs coplanaires et caractérisation d'un plan

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée (ou justifiée par une propriété du cours clairement citée) ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple.

Pour les contre-exemples, on pourra s'appuyer sur un cube $A B C D E F G H$ , où $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, et où $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Deux droites de l'espace qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux.
Si deux plans sont parallèles à un même plan, alors ils sont parallèles entre eux.
Si $A$ , $B$ , $C$ sont trois points non alignés et si le point $D$ vérifie $\vec{A D} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ , alors $D$ appartient au plan $(A B C)$ .
Si trois vecteurs de l'espace sont deux à deux non colinéaires, alors ils forment une base de l'espace.
Si deux plans sécants $P_{1}$ et $P_{2}$ contiennent respectivement deux droites $d_{1}$ et $d_{2}$ parallèles entre elles, alors la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$ est parallèle à $d_{1}$ et à $d_{2}$ .

Exercice 17 ★★★★ — Synthèse dans le cube, trois points sur les diagonales

Combinaisons linéaires et décomposition de vecteursColinéarité, alignement et droites de l'espaceVecteurs coplanaires et caractérisation d'un plan

On définit les points $M$ , $N$ et $P$ par les relations :

\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A F} \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A H} \vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A G}

( $M$ , $N$ et $P$ sont donc situés aux deux tiers des diagonales $[A F]$ , $[A H]$ et $[A G]$ en partant de $A$ .)

1. Décomposer les vecteurs $\vec{A M}$ , $\vec{A N}$ et $\vec{A P}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$ . En déduire les coordonnées des points $M$ , $N$ et $P$ dans le repère $(A; \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A E})$ .

2. On note $L$ le milieu de l'arête $[E H]$ . Démontrer que les points $D$ , $N$ et $L$ sont alignés.

3. Démontrer que les points $E$ , $M$ , $N$ et $C$ sont coplanaires.

4. a. Démontrer que la droite $(M P)$ est parallèle à la droite $(A D)$ , et que la droite $(N P)$ est parallèle à la droite $(A B)$ .

4. b. En déduire que le plan $(M N P)$ est parallèle au plan $(A B C D)$ .

Exercice 18 ★★★★ — Synthèse dans le tétraèdre, plans sécants et théorème du toit

Positions relatives de droites et de plansVecteurs coplanaires et caractérisation d'un planBases et repères de l'espace

Soit $A B C D$ un tétraèdre. On définit les points $M$ , $N$ et $P$ par les relations :

\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} \vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C} \vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A D}

On cherche à déterminer l'intersection des plans $(M N P)$ et $(B C D)$ .

1. Justifier que $(\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D})$ est une base de l'espace, puis décomposer les vecteurs $\vec{M N}$ , $\vec{N P}$ , $\vec{B C}$ et $\vec{C D}$ dans cette base.

2. a. Démontrer que les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.

2. b. En déduire que la droite $(M N)$ est parallèle au plan $(B C D)$ .

3. a. Démontrer que les vecteurs $\vec{N P}$ et $\vec{C D}$ ne sont pas colinéaires.

3. b. Justifier que les droites $(N P)$ et $(C D)$ sont toutes deux contenues dans le plan $(A C D)$ , puis en déduire qu'elles sont sécantes. On note $K$ leur point d'intersection.

4. a. Justifier que les plans $(M N P)$ et $(B C D)$ sont sécants.

4. b. Démontrer que leur droite d'intersection est la droite passant par $K$ et parallèle à $(B C)$ .

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