Devoir surveillé — Vecteurs, droites et plans de l'espace

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple précis si elle est fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. On pourra s'appuyer sur le cube $ABCDEFGH$ de l'exercice 2 pour construire les contre-exemples.

1. (1 pt) Si deux droites de l'espace ne sont pas coplanaires, alors elles n'ont aucun point commun.

2. (1 pt) Si trois vecteurs de l'espace sont deux à deux non colinéaires, alors ils forment une base de l'espace.

3. (1 pt) Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts de l'espace. Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés.

4. (1 pt) Dans le cube $ABCDEFGH$, les plans $(AFH)$ et $(BDG)$ sont parallèles.

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessus. On note $I$ le milieu de l'arête $[AB]$, $J$ le milieu de l'arête $[GH]$ et $\mathrm{\Omega }$ le milieu de la diagonale $[AG]$.

Dans tout l'exercice, les vecteurs seront exprimés dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

1. (1 pt) En utilisant la relation de Chasles, démontrer que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

2. (1,5 pt) Exprimer $\overrightarrow{AJ}$, puis $\overrightarrow{A\mathrm{\Omega }}$, en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

3. (1,5 pt) Démontrer que $\overrightarrow{I\mathrm{\Omega }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AE}$, puis exprimer $\overrightarrow{IJ}$ dans la base.

4. (1 pt) En déduire que les points $I$, $\mathrm{\Omega }$ et $J$ sont alignés, et préciser la position exacte du point $\mathrm{\Omega }$ sur le segment $[IJ]$.

On considère un tétraèdre $ABCD$ représenté ci-dessus, et les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ définis par :

Dans tout l'exercice, les vecteurs seront exprimés dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$.

1. (2 pts) Démontrer que $\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}$, puis exprimer de même $\overrightarrow{AQ}$ dans la base.

2. (1,5 pt) Démontrer que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{BC}$. En déduire que les points $M$, $N$, $Q$ et $P$ sont coplanaires, et préciser la nature du quadrilatère $MNQP$.

3. (1 pt) Démontrer que la droite $(MN)$ est parallèle au plan $(BCD)$.

4. (1,5 pt) Justifier que les plans $(MNP)$ et $(BCD)$ sont sécants, puis démontrer, à l'aide du théorème du toit, que leur droite d'intersection est la droite $(PQ)$.

L'espace est rapporté au repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ associé au cube $ABCDEFGH$ de l'exercice 2. On a ainsi $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.

1. (1 pt) Donner, sans justification, les coordonnées des points $C$, $F$, $G$ et $H$.

2. On considère les points $K({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}})$ et $L({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

   a. (0,75 pt) Démontrer que les points $E$, $K$ et $C$ sont alignés.

   b. (0,75 pt) Les points $E$, $L$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier.

3. (1,5 pt) Démontrer que le triplet $(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CE})$ est une base de l'espace.

4. (1 pt) Soit $t$ un réel et $M(2;t;-1)$. Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle le point $M$ appartient au plan $(ACH)$.