Exercices — Suites : limites et récurrence

Partie A — Une suite définie par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+1$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : « $u_n=n^2+5$ ».

   a. Vérifier que $P(0)$ est vraie (initialisation).

   b. Soit $n$ un entier naturel tel que $P(n)$ est vraie. Démontrer que $P(n+1)$ est alors vraie (hérédité).

   c. Rédiger la conclusion du raisonnement.

3. En utilisant la formule démontrée, donner sans calcul de proche en proche la valeur de $u_{20}$.

Partie B — Une somme classique

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n⩾1$ :

On rédigera soigneusement les trois étapes : initialisation (au rang $1$), hérédité, conclusion.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

   $$2^n⩾n+1$$

2. On s'intéresse maintenant à l'inégalité $2^n⩾n^2$.

   a. Vérifier que l'inégalité est vraie au rang $4$.

   b. Soit $n$ un entier avec $n⩾4$. Justifier que $(n-1{)}^2⩾2$, puis en déduire que $n^2⩾2n+1$.

   c. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n⩾4$, $2^n⩾n^2$.

3. L'affirmation « pour tout entier naturel $n$, $2^n⩾n^2$ » est-elle vraie ? Étudier ce qui se passe pour les rangs $0$, $1$, $2$ et $3$, puis conclure en une phrase précise.

Partie A — Divisibilité

1. Vérifier que $3^{2\times 0}-1$ et $3^{2\times 1}-1$ sont divisibles par $8$.

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ :

   $$3^{2(n+1)}-1=9(3^{2n}-1)+8$$

3. En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est divisible par $8$.

Partie B — Conjecturer puis démontrer une formule explicite

On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n-3$.

1. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

2. Calculer $v_n-3$ pour $n=0$, $1$, $2$, $3$. Conjecturer alors une formule explicite donnant $v_n$ en fonction de $n$.

3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

On a représenté ci-dessous les nuages de points de deux suites : à gauche, la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3-4\times {\mathrm{0,75}}^n$ (rangs $0$ à $12$) ; à droite, la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\mathrm{0,25}{n}^2-2$ (rangs $0$ à $10$). Sur la figure de gauche, la droite d'équation $y=3$ est tracée en pointillés.

1. À l'aide du graphique, conjecturer le comportement de chaque suite lorsque $n$ devient grand. Préciser, pour chacune, si elle semble convergente ou divergente, et donner le cas échéant sa limite apparente.

2. On s'intéresse à l'intervalle ouvert $]2;4[$, qui contient $3$.

   a. D'après la figure, à partir de quel rang tous les termes de la suite $(u_n)$ semblent-ils appartenir à l'intervalle $]2;4[$ ?

   b. Expliquer en quoi cette observation illustre la définition de « $(u_n)$ converge vers $3$ » : que devrait-on pouvoir vérifier pour n'importe quel intervalle ouvert contenant $3$ ?

3. Contrôler la lecture graphique par le calcul : déterminer les valeurs exactes de $u_0$ et de $v_{10}$, et vérifier leur cohérence avec les deux nuages de points.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n⩾1$ par leur terme général. On citera à chaque fois les limites de référence et la règle d'opération (somme, produit, quotient) utilisées. Aucune de ces limites n'est une forme indéterminée.

1. Pour chacune des suites suivantes (définies pour tout entier $n⩾1$), expliquer pourquoi les opérations sur les limites conduisent à une forme indéterminée, puis déterminer la limite en factorisant par le terme dominant.

   a. $u_n=n^2-5n+1$

   b. $u_n=-n^3+10n^2$

   c. $u_n={\displaystyle \frac{2n^2+1}{3n^2-n}}$

   d. $u_n={\displaystyle \frac{n+3}{n^2+1}}$

   e. $u_n={\displaystyle \frac{4n^2-1}{n+2}}$

   f. $u_n=\sqrt{n}-n$

2. Vrai ou faux ? Justifier soigneusement (une démonstration ou un contre-exemple).

   « Si $(u_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et $(v_n)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$, alors la suite $(u_n+v_n)$ tend toujours vers $0$. »

On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

1. Étude de $(a_n)$.

   a. Justifier que le calcul direct de la limite de $(a_n)$ par différence conduit à une forme indéterminée.

   b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

   $$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$$

   c. En déduire la limite de la suite $(a_n)$.

2. Étude de $(b_n)$.

   a. En multipliant par la quantité conjuguée, montrer que pour tout entier $n⩾1$ :

   $$b_n={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}$$

   b. Justifier que pour tout entier $n⩾1$, $\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}$, puis en déduire que :

   $$b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}+1}}$$

   c. Déterminer la limite de la suite $(b_n)$.

3. Question de recul. Pour la suite $(b_n)$, un élève propose de factoriser directement par le terme dominant : $b_n=n(\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}-1)$. Expliquer pourquoi cette méthode seule ne permet pas de conclure, et pourquoi la quantité conjuguée est ici indispensable.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n+(-1{)}^n$.

   a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾n-1$.

   b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$, en citant le théorème utilisé.

2. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $v_n={\displaystyle \frac{2+\cos n}{n}}$.

   a. Montrer que pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{n}}⩽v_n⩽{\displaystyle \frac{3}{n}}$.

   b. En déduire la limite de la suite $(v_n)$.

3. Soit $(w_n)$ une suite dont on sait seulement que pour tout entier naturel $n$, $w_n⩽n^2$. Peut-on en déduire la limite de la suite $(w_n)$ ? Justifier soigneusement la réponse, en s'appuyant sur des exemples de suites vérifiant cette inégalité.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\displaystyle \frac{n+(-1{)}^n}{n+1}}$.

   a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, ${\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}⩽u_n⩽1$.

   b. Déterminer la limite de la suite de terme général ${\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$.

   c. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

2. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $v_n={\displaystyle \frac{\sin n+3n}{n}}$.

   a. Vérifier que pour tout $n⩾1$, $v_n=3+{\displaystyle \frac{\sin n}{n}}$.

   b. En encadrant ${\displaystyle \frac{\sin n}{n}}$, déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

3. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n⩾1$ par $w_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}+5$.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2+n(-1{)}^n$.

   a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾n^2-n$.

   b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

2. Montrer que la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\sqrt{n}+\cos n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier par une propriété du cours ou par un contre-exemple.

   a. « Si $u_n⩽v_n$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, alors $(v_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. »

   b. « Si $u_n<v_n$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n<\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n$. »

   c. « Si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. »

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, en citant le résultat du cours sur la limite de $\left(q^n\right)$ :

   a. ${\left(\mathrm{0,3}\right)}^n$

   b. $5\times {\mathrm{1,2}}^n$

   c. ${(-\mathrm{0,5})}^n$

   d. $-2\times 3^n$

   e. ${\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n$

   f. ${\left(\mathrm{0,99}\right)}^n$

2. Que peut-on dire de la limite de la suite $((-2{)}^n)$ ? Justifier en décrivant le comportement de ses termes.

3. Le stock d'un produit dans un entrepôt est modélisé par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=800$ et de raison $\mathrm{0,9}$, où $u_n$ désigne le nombre d'articles en stock au bout de $n$ mois.

   a. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

   b. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Dans cet exercice, on démontre le résultat du cours sur la limite de la suite $\left(q^n\right)$ lorsque $q>1$, puis lorsque $0<q<1$. Cette démonstration est un classique exigible.

1. Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

   $$(1+a{)}^n⩾1+na$$

   Cette inégalité est appelée inégalité de Bernoulli.

2. Soit $q$ un réel tel que $q>1$. On pose $a=q-1$.

   a. Justifier que $a>0$ et que pour tout entier naturel $n$, $q^n⩾1+na$.

   b. En déduire, à l'aide d'un théorème de comparaison, que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n=+\mathrm{\infty }$.

3. Soit $q$ un réel tel que $0<q<1$. On pose $Q={\displaystyle \frac{1}{q}}$.

   a. Justifier que $Q>1$ et que pour tout entier naturel $n$, $q^n={\displaystyle \frac{1}{Q^n}}$.

   b. En déduire que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n=0$.

4. Application : donner la limite de la suite $\left({\mathrm{1,001}}^n\right)$ puis celle de la suite $\left({\mathrm{0,999}}^n\right)$. Quelle moralité peut-on en tirer sur les suites géométriques dont la raison est proche de $1$ ?

1. Rappeler la formule, vue en première, donnant la somme $1+q+q^2+\cdots +q^n$ pour un réel $q\mathrm{\ne }1$ et un entier naturel $n$.

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$.

   a. Montrer que $S_n=2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

   b. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.

3. Déterminer la limite de la suite $(T_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $T_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k}$.

4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $A_n=\mathrm{0,9}+\mathrm{0,09}+\cdots +9\times {10}^{-(n+1)}$, c'est-à-dire $A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{\displaystyle \frac{9}{{10}^k}}}$.

   a. Montrer que $A_n=1-{10}^{-(n+1)}$.

   b. Déterminer la limite de la suite $(A_n)$. Que peut-on en conclure sur l'écriture décimale illimitée $\mathrm{0,999}\dots$ ?

Un podcast compte $10000$ auditeurs à son lancement. Chaque mois, $80\mathrm{\%}$ des auditeurs du mois précédent restent fidèles, et $6000$ nouveaux auditeurs arrivent. On note $u_n$ le nombre d'auditeurs, en milliers, $n$ mois après le lancement. Ainsi $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter la valeur de $u_2$.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n<30$.

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-30$. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{0,8}$ et préciser son premier terme $v_0$.

4. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=30-20\times {\mathrm{0,8}}^n$, puis déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=4\times {\mathrm{0,8}}^n$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n+2$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y=\mathrm{0,5}x+2$ et la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$, puis on a construit « en escalier » les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.

1. Décrire le principe de cette construction : comment obtient-on $u_{n+1}$ sur l'axe des abscisses à partir de $u_n$, et à quoi sert la droite $\mathrm{\Delta }$ ?
2. Lire graphiquement les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis vérifier ces trois valeurs par le calcul.
3. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ ainsi que sa limite. À quel point du graphique cette limite semble-t-elle correspondre ?
4. Calculer $u_4$ et vérifier que cette valeur est cohérente avec les conjectures de la question précédente.

Remarque : la démonstration de ces conjectures fait l'objet d'un autre exercice du chapitre.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.

1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et de $u_2$, puis en donner des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0⩽u_n⩽4$.
3. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}⩾u_n$.
4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$. Les outils de ce chapitre permettent-ils de déterminer la valeur de $\mathrm{\ell }$ ? Que peut-on néanmoins affirmer sur $\mathrm{\ell }$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier en citant précisément un théorème ou une propriété du cours ; si elle est fausse, donner un contre-exemple explicite.

a. Toute suite croissante tend vers $+\mathrm{\infty }$.

b. Toute suite croissante non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$.

c. Toute suite décroissante minorée par $0$ converge vers $0$.

d. Si $(u_n)$ converge vers $2$, alors $(u_n)$ est majorée.

e. Une suite qui n'est ni croissante ni décroissante n'a pas de limite.

Après l'injection d'un médicament, la masse de substance active présente dans le sang d'un patient diminue de $40\mathrm{\%}$ chaque heure. La masse injectée est de $500$ mg. On note $m_n$ la masse de médicament (en mg) présente dans le sang au bout de $n$ heures ; ainsi $m_0=500$.

1. Justifier que $(m_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison, puis exprimer $m_n$ en fonction de $n$. Déterminer la limite de la suite $(m_n)$.
2. On considère que le médicament n'est plus efficace lorsque la masse présente dans le sang devient strictement inférieure à $1$ mg. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $m_n<1$ :

m = 500
n = 0
while ... :
    m = ...
    n = n + 1
print(n)

3. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? (On pourra calculer les valeurs successives de $m_n$ à la calculatrice.)
4. Comment peut-on être certain, sans exécuter le script, que la boucle while finit par s'arrêter ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+1$.

1. On donne la fonction Python suivante :

def terme(n):
    u = 0
    for k in range(n):
        u = u + 2 * k + 1
    return u

Expliquer pourquoi l'appel terme(n) renvoie la valeur de $u_n$, puis faire fonctionner cette fonction à la main pour $n=0$, $1$, $2$, $3$ et $4$.

2. Conjecturer une formule explicite donnant $u_n$ en fonction de $n$.
3. Démontrer cette formule par récurrence.
4. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
5. Écrire une fonction Python seuil(A) qui renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n⩾A$, où A désigne un nombre strictement positif. On utilisera une boucle while et on pourra s'inspirer de la structure de la fonction terme.

Une chaîne de vidéos en ligne compte $60$ milliers d'abonnés au 1er janvier 2026. On estime que, chaque année, la chaîne conserve $90\mathrm{\%}$ de ses abonnés et en gagne $12$ milliers de nouveaux. On note $u_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, au 1er janvier de l'année $2026+n$. Ainsi $u_0=60$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+12$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_n<120$.
3. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n=\mathrm{0,1}(120-u_n)$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
4. Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ converge.
5. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-120$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme, puis en déduire que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=120-60\times {\mathrm{0,9}}^n$.
6. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
7. Écrire un script Python utilisant une boucle while qui détermine et affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n>100$. Quelle valeur affiche-t-il ? Interpréter dans le contexte.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose :

La somme $S_n$ comporte donc $n$ termes.

1. Justifier que pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n$ : ${\displaystyle \frac{n}{n^2+n}}⩽{\displaystyle \frac{n}{n^2+k}}⩽{\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$.
2. En ajoutant membre à membre ces $n$ encadrements, montrer que : ${\displaystyle \frac{n^2}{n^2+n}}⩽S_n⩽{\displaystyle \frac{n^2}{n^2+1}}$.
3. Déterminer la limite de chacune des deux suites qui encadrent $(S_n)$.
4. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.
5. Question de recul. Chaque terme de la somme tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (par exemple, ${\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$ tend vers $0$). Pourquoi ne peut-on pas en déduire que $S_n$ tend vers $0$ ?