Devoir surveillé — Suites : limites et récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (1 pt)
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n+1$. (2 pts)
3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$. (1 pt)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, en justifiant chaque étape. (1 pt par question)

Un lac contient aujourd'hui $50$ tonnes de polluant. Chaque année, $20\mathrm{\%}$ du polluant est éliminé naturellement, mais l'activité industrielle voisine en déverse $4$ tonnes.

On note $u_n$ la masse de polluant (en tonnes) dans le lac au bout de $n$ années. Ainsi $u_0=50$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+4$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (1 pt)
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>20$. (1,5 pt)
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-\mathrm{0,2}(u_n-20)$, et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante. (1 pt)
4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. (0,5 pt)
5. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-20$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\mathrm{0,8}$ et préciser $v_0$. (1 pt)
6. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=20+30\times {\mathrm{0,8}}^n$, puis déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1,5 pt)
7. On souhaite déterminer la première année où la masse de polluant devient strictement inférieure à $21$ tonnes. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche cette année, puis indiquer la valeur affichée et l'interpréter. (0,5 pt)

u = 50
n = 0
while ... :
    u = ...
    n = n + 1
print(n)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée en citant le théorème utilisé ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite. (1 pt par affirmation)

a. « Si pour tout entier naturel $n$, $u_n⩽v_n$, et si $(v_n)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$, alors $(u_n)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$. »

b. « Toute suite décroissante minorée par $3$ converge vers $3$. »

c. « Si pour tout entier $n⩾1$, $-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽w_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$, alors $(w_n)$ converge. »

d. « La suite $((-\mathrm{1,01}{)}^n)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$. »