Exercices — Orthogonalité et distances dans l'espace

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $4$ : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On a tracé la diagonale de face $[AC]$ et la grande diagonale $[AG]$.

Calculer chacun des produits scalaires suivants, en utilisant une projection orthogonale ou une décomposition adaptée.

Dans chaque cas, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l'espace. On rappelle que $\vec{u}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{v}\parallel \times \cos (\vec{u},\vec{v})$.

1. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

   a. $\parallel \vec{u}\parallel =3$, $\parallel \vec{v}\parallel =4$ et $(\vec{u},\vec{v})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   b. $\parallel \vec{u}\parallel =2$, $\parallel \vec{v}\parallel =3\sqrt{2}$ et $(\vec{u},\vec{v})={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c. $\parallel \vec{u}\parallel =2\sqrt{3}$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$ et $(\vec{u},\vec{v})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   d. $\parallel \vec{u}\parallel =6$, $\parallel \vec{v}\parallel =2$ et $(\vec{u},\vec{v})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

2. Dans chaque cas, calculer $\cos (\vec{u},\vec{v})$, puis en déduire la mesure de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$.

   a. $\parallel \vec{u}\parallel =3$, $\parallel \vec{v}\parallel =8$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=12$

   b. $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{2}$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=-5$

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a$, où $a$ est un réel strictement positif : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On a tracé les grandes diagonales $[AG]$ et $[EC]$.

On pose $\vec{i}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}=\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k}=\overrightarrow{AE}$. Ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme $a$.

1. Décomposer les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{EC}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

2. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, calculer $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{EC}$.

3. Calculer $\parallel \overrightarrow{AG}\parallel$ et $\parallel \overrightarrow{EC}\parallel$.

4. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont-elles orthogonales ? Donner la valeur exacte du cosinus de l'angle $(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{EC})$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On rappelle que si $\vec{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\\ z^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$, alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$.

1. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ dans chacun des cas suivants. Que peut-on dire des vecteurs du cas a. ?

   a. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

   b. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

   c. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 1\end{array}\right)$

   d. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

2. Dans chacun des cas suivants, dire si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Justifier.

   a. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

   b. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

1. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.

   a. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

   b. $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

   c. $\vec{w}\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

2. On considère les points $A(1;-1;2)$, $B(3;1;1)$ et $C(3;-2;4)$.

   a. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.

   b. En déduire la nature du triangle $ABC$. On vérifiera le résultat par deux méthodes différentes.

On rappelle la formule de polarisation, valable pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace :

$$\vec{u}\cdot \vec{v}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2-\parallel \vec{u}{\parallel }^2-\parallel \vec{v}{\parallel }^2)$$

1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =5$, $\parallel \vec{v}\parallel =3$ et $\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =7$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

2. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =4$, $\parallel \vec{v}\parallel =3$ et $\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel =5$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$. Que peut-on en conclure ?

3. Démontrer que pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace :

   $$\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2+\parallel \vec{u}-\vec{v}{\parallel }^2=2\parallel \vec{u}{\parallel }^2+2\parallel \vec{v}{\parallel }^2$$

   Interpréter géométriquement cette identité dans un parallélogramme $ABCD$, en considérant $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$.

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

On s'intéresse à l'angle formé par les deux grandes diagonales $[AG]$ et $[BH]$ du cube.

1. Donner les coordonnées des huit sommets du cube dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BH}$, puis calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}$.
3. Calculer $\parallel \overrightarrow{AG}\parallel$ et $\parallel \overrightarrow{BH}\parallel$. En déduire la valeur exacte de $\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BH}$, puis une valeur approchée de $\theta$ au dixième de degré près.

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

On étudie la position relative de la grande diagonale $(AG)$ et de la diagonale de face $(BD)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BD}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BD}=0$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AG)$ et $(BD)$ ?
3. Les droites $(AG)$ et $(BD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier soigneusement.
4. On souhaite retrouver le résultat de la question 2 sans coordonnées, pour un cube d'arête $a$ quelconque. Justifier les décompositions $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, puis développer le produit scalaire $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BD}$ et conclure.

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

On considère le plan $(AFH)$ et la grande diagonale $(EC)$ du cube.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$.

2. Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{AH}$.

3. En déduire que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(AFH)$. On justifiera soigneusement à l'aide du cours.

4. On admet que la droite $(EC)$ coupe le plan $(AFH)$ en un point $K$.

   a. Calculer les longueurs $AF$, $FH$ et $AH$. Quelle est la nature du triangle $AFH$ ?

   b. Comparer les distances $EA$, $EF$ et $EH$, puis en déduire que $KA=KF=KH$.

   c. Que représente le point $K$ pour le triangle $AFH$ ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1;0;2)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

1. Vérifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Pourquoi cette vérification est-elle indispensable ?
2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 7\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
3. Le point $M(2;3;9)$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ ? On rappelle que $\mathcal{P}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$.
4. Donner un autre vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère :

• le plan ${\mathcal{P}}_1$ passant par $A(0;1;1)$, de vecteur normal $\overrightarrow{n_1}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ ;
• le plan ${\mathcal{P}}_2$ passant par $B(1;1;0)$, de vecteur normal $\overrightarrow{n_2}\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 1\end{array}\right)$.

1. Calculer $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}$. Que peut-on en déduire pour les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ ?
2. On considère un troisième plan ${\mathcal{P}}_3$, de vecteur normal $\overrightarrow{n_3}\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -6\end{array}\right)$, passant par le point $C(1;1;-1)$. Déterminer la position relative des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_3$ : parallèles ? confondus ? On rappelle que ${\mathcal{P}}_3$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{n_3}=0$.
3. Vrai ou faux (justifier par un argument ou un contre-exemple concret) : « deux plans perpendiculaires à un même troisième plan sont parallèles entre eux ».

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(1;1;0)$ et de vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$, ainsi que le point $M(3;2;4)$. On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.

1. Rappeler pourquoi la distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à la longueur $MH$.

2. On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}$ de deux façons.

   a. Calculer $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}$ à l'aide des coordonnées.

   b. En décomposant $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}$, montrer que $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=\overrightarrow{HM}\cdot \vec{n}$, puis justifier que $\mid \overrightarrow{HM}\cdot \vec{n}\mid =MH\times \parallel \vec{n}\parallel$.

3. En déduire que $MH={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}\mid }{\parallel \vec{n}\parallel }}$, puis calculer la distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$.

4. Calculer de la même façon la distance du point $N(1;1;3)$ au plan $\mathcal{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;2;0)$, $B(3;0;2)$ et $M(2;3;5)$.

L'objectif de cet exercice est de calculer la distance du point $M$ à la droite $(AB)$, c'est-à-dire la plus petite des distances $MN$ lorsque $N$ parcourt la droite $(AB)$.

1. On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$. Justifier que la distance de $M$ à la droite $(AB)$ est égale à $MH$.
2. Le point $H$ appartient à la droite $(AB)$ : justifier qu'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{AB}$, puis exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$. On pourra utiliser la relation $\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AH}$.
3. Traduire la condition « $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ » par une équation portant sur $t$, puis déterminer la valeur de $t$.
4. En déduire les coordonnées de $H$, puis la valeur exacte de la distance $MH$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1;-1;2)$ et $B(3;3;0)$.

On appelle plan médiateur du segment $[AB]$ l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants de $A$ et de $B$, c'est-à-dire tels que $MA=MB$. On note $I$ le milieu de $[AB]$.

1. Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace :

$$MA=MB⟺\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$

On pourra factoriser $M{A}^2-M{B}^2={\overrightarrow{MA}}^2-{\overrightarrow{MB}}^2$ à l'aide d'une identité remarquable, puis utiliser la relation $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

En déduire que le plan médiateur de $[AB]$ est le plan passant par $I$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.

2. Calculer les coordonnées du point $I$ et du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
3. Les points $P(0;2;1)$ et $Q(4;1;3)$ appartiennent-ils au plan médiateur de $[AB]$ ?
4. Vérifier le résultat obtenu pour $P$ par un calcul direct des distances $PA$ et $PB$.

Dans cet exercice, on redémontre un résultat du cours : le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$.

Soit $\mathcal{P}$ un plan, $M$ un point n'appartenant pas à $\mathcal{P}$, et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. Soit $N$ un point quelconque de $\mathcal{P}$, distinct de $H$.

1. Justifier que le triangle $MHN$ est rectangle en $H$.
2. Exprimer $M{N}^2$ en fonction de $M{H}^2$ et $H{N}^2$.
3. En déduire que $MN\ge MH$, avec égalité si et seulement si $N=H$.
4. Conclure : parmi tous les points du plan $\mathcal{P}$, quel est celui qui réalise la plus petite distance à $M$ ? Comment appelle-t-on cette distance minimale ?
5. Application. $ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est sa face inférieure, $EFGH$ sa face supérieure, et les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement situés au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Déterminer le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(ABC)$, puis la distance de $E$ à ce plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

Dans tout l'exercice, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ désignent des vecteurs non nuls de l'espace.

1. Si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ et $\vec{u}\cdot \vec{w}=0$, alors $\vec{v}\cdot \vec{w}=0$.
2. Une droite orthogonale à deux droites distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan.
3. Si deux plans sont perpendiculaires, alors tout vecteur normal à l'un est un vecteur normal à l'autre.
4. Si $\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
5. Dans l'espace, deux droites orthogonales à une même troisième droite sont parallèles entre elles.

$ABCD$ est un tétraèdre régulier d'arête $a$ : ses quatre faces sont des triangles équilatéraux de côté $a$. On note $I$ le milieu de l'arête $[CD]$.

Dans cet exercice, on n'utilise pas de repère : tous les calculs se font avec la définition géométrique du produit scalaire.

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de $a$, puis expliquer pourquoi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ a la même valeur.
2. En décomposant $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$, calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$. Que peut-on en déduire pour les arêtes opposées $[AB]$ et $[CD]$ ?
3. Montrer que $(AI)\perp (CD)$ et $(BI)\perp (CD)$, puis en déduire que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $(ABI)$.
4. Calculer la longueur $AI$ en fonction de $a$, puis montrer que $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$. En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{AIB}$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{AIB}$ au dixième de degré près.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;2)$, et le tétraèdre $OABC$.

1. Justifier que le tétraèdre $OABC$ est trirectangle en $O$, c'est-à-dire que les trois faces contenant $O$ sont des triangles rectangles en $O$.

2. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral, puis calculer son aire.

3. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ est normal au plan $(ABC)$.

4. On note $K$ le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $(ABC)$.

   a. En décomposant $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}$, justifier que $\overrightarrow{OA}\cdot \vec{n}=\overrightarrow{OK}\cdot \vec{n}$.

   b. En utilisant la colinéarité de $\overrightarrow{OK}$ et $\vec{n}$, en déduire que $OK={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{OA}\cdot \vec{n}\mid }{\parallel \vec{n}\parallel }}$, puis calculer la distance de $O$ au plan $(ABC)$.

5. Retrouver ce résultat par un calcul de volume : calculer le volume du tétraèdre $OABC$ en prenant pour base le triangle $OAB$, puis en prenant pour base le triangle $ABC$, et en déduire à nouveau la distance de $O$ au plan $(ABC)$.

6. Question bonus. Le point $K$ est-il le centre de gravité du triangle $ABC$ ? Justifier.