Devoir surveillé — Orthogonalité et distances dans l'espace

Les quatre questions sont indépendantes.

1. (1 pt) Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\parallel \vec{u}\parallel =4$, $\parallel \vec{v}\parallel =3$ et $(\vec{u};\vec{v})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

2. (1 pt) L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

3. (1,5 pt) Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\parallel \vec{u}\parallel =2$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$ et $\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =6$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

4. (1,5 pt) L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne $A(1;2;-1)$, $B(3;1;1)$ et $C(2;4;1)$.

   a. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

   b. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$, puis en déduire la valeur exacte de $\cos \left(\widehat{BAC}\right)$.

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$. On se place dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, dans lequel $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.

1. (0,5 pt) Donner les coordonnées des points $D$ et $F$, puis celles du vecteur $\overrightarrow{DF}$.

2. (0,5 pt) Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$.

3. (1,5 pt) Démontrer que la droite $(DF)$ est orthogonale au plan $(ACH)$. On rédigera soigneusement la justification.

4. (1 pt) Démontrer que le triangle $ACH$ est équilatéral et préciser la longueur de ses côtés.

5. (1,5 pt) En utilisant le vecteur $\vec{n}=\overrightarrow{DF}$, normal au plan $(ACH)$, calculer la distance du point $D$ au plan $(ACH)$ par la méthode du produit scalaire : $d={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}\mid }{\parallel \vec{n}\parallel }}$, où $A$ est un point du plan $(ACH)$.

6. (0,5 pt — bonus de cohérence) Calculer le volume du tétraèdre $DACH$ de deux façons différentes et vérifier la cohérence avec le résultat de la question 5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}$.

$SABCD$ est une pyramide régulière : sa base $ABCD$ est un carré de côté $2$ et de centre $O$ (point d'intersection des diagonales), et son sommet $S$ est situé sur la verticale de $O$, avec $SO=2$. (La figure n'est pas à l'échelle.)

On admet l'existence d'un repère orthonormé de centre $O$ dans lequel $A(-1;-1;0)$, $B(1;-1;0)$, $C(1;1;0)$, $D(-1;1;0)$ et $S(0;0;2)$.

1. (1 pt) Calculer les longueurs $SA$ et $SB$. Que peut-on en déduire pour les faces latérales de la pyramide ?

2. (1,5 pt) Calculer $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}$, puis en déduire la valeur exacte de $\cos \left(\widehat{ASB}\right)$ et une valeur approchée de l'angle $\widehat{ASB}$ au dixième de degré près.

3. (1,5 pt) Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Donner les coordonnées de $I$, montrer que les droites $(SI)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires, calculer $SI$, puis en déduire l'aire du triangle $SAB$.

4. (1 pt) Démontrer que la droite $(SO)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, puis en déduire le volume de la pyramide $SABCD$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne les points $A(2;-1;3)$ et $B(0;3;1)$.

1. (1 pt) Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ et celles du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

2. (1,5 pt) Démontrer que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MA=MB$ est le plan passant par $I$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ (ce plan est appelé plan médiateur de $[AB]$). On pourra transformer l'égalité $M{A}^2=M{B}^2$ à l'aide d'une identité de polarisation.

3. (1 pt) Le point $P(3;2;1)$ est-il équidistant de $A$ et de $B$ ? Justifier.

4. (1 pt) Déterminer le réel $z_0$ tel que le point $Q(1;2;z_0)$ soit équidistant de $A$ et de $B$. Vérifier le résultat par un calcul direct des distances.