Exercices — Concentration et loi des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu =50$ et de variance $V=16$.

1. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾10)$.
2. Majorer de même $P(\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾8)$.
3. En considérant l'événement contraire de $\{\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾20\}$, en déduire une minoration de $P(30<X<70)$.
4. Que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\delta =3$ ? Commenter le résultat obtenu.

On lance $400$ fois une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de fois où « pile » apparaît. Les lancers étant identiques et indépendants, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(400;\mathrm{0,5})$.

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(\mathrm{\mid }X-200\mathrm{\mid }⩾25)$.
3. En déduire une minoration de $P(175<X<225)$.
4. On lance maintenant la pièce $1600$ fois et on note $Y$ le nombre de « pile » obtenus. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$, puis majorer $P(\mathrm{\mid }Y-800\mathrm{\mid }⩾50)$. Comparer avec la question 2 : que remarque-t-on sur l'écart toléré lorsque le nombre de lancers est multiplié par $4$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma >0$.

1. Démontrer que pour tout réel $k>0$ :

$$P(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }⩾k\sigma )⩽{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$$

2. En déduire une majoration de la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $2$ écarts types, puis d'au moins $3$ écarts types, puis d'au moins $10$ écarts types.
3. Application. Les notes d'un concours très sélectif ont pour moyenne $\mu =8$ et pour écart type $\sigma =2$. On choisit un candidat au hasard et on note $X$ sa note. Majorer la probabilité que sa note s'écarte de la moyenne d'au moins $6$ points.
4. Pour $k=1$, que vaut la borne obtenue à la question 1 ? Que peut-on en conclure sur les écarts inférieurs à un écart type ?

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée ; une affirmation fausse doit être réfutée ou corrigée.

a. Si $X$ est une variable aléatoire telle que $V(X)=\mathrm{0,09}$ et $E(X)=5$, alors $P(\mathrm{\mid }X-5\mathrm{\mid }⩾1)⩽\mathrm{0,09}$.

b. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne la valeur exacte de $P(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }⩾\delta )$.

c. Si $P(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }⩾2)⩽\mathrm{0,3}$, alors $P(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }⩾3)$ peut valoir $\mathrm{0,5}$.

d. Deux variables aléatoires qui ont la même espérance et la même variance ont la même borne de Bienaymé-Tchebychev pour chaque valeur de $\delta$, même si leurs lois sont différentes.

e. Pour une variable aléatoire d'écart type $\sigma =4$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que $P(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }⩾2)⩽\mathrm{0,25}$.

On modélise la taille (en mètres) d'une Française adulte choisie au hasard par une variable aléatoire $T$ d'espérance $\mu =\mathrm{1,65}$ et de variance $V=\mathrm{0,0025}$ (soit un écart type $\sigma =\mathrm{0,05}$ m).

1. Décrire par une phrase l'événement $\{\mathrm{\mid }T-\mathrm{1,65}\mathrm{\mid }⩾\mathrm{0,1}\}$.
2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité de cet événement.
3. En déduire une minoration de la proportion de Françaises mesurant strictement entre $\mathrm{1,55}$ m et $\mathrm{1,75}$ m.
4. Un institut de statistique affirme que $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}$ des tailles sont comprises entre $\mu -3\sigma$ et $\mu +3\sigma$, c'est-à-dire entre $\mathrm{1,50}$ m et $\mathrm{1,80}$ m. Cette affirmation contredit-elle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? Justifier.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu =12$ et de variance $V=9$. Pour tout entier $n⩾1$, on considère un échantillon $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ de la loi de $X$ (variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$) et on note $M_n$ la moyenne de cet échantillon.

1. Rappeler les valeurs de $E(M_n)$ et $V(M_n)$, puis les calculer pour $n=100$.

2. À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer $P(\mathrm{\mid }{M}_{100}-12\mathrm{\mid }⩾1)$.

3. Majorer de même $P(\mathrm{\mid }{M}_{900}-12\mathrm{\mid }⩾1)$. Comparer avec la question 2.

4. Majorer $P(\mathrm{\mid }{M}_n-12\mathrm{\mid }⩾\mathrm{0,5})$ dans chacun des cas suivants :

   a. $n=100$

   b. $n=400$

   c. $n=3600$

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour un entier $n⩾1$, on considère un échantillon $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ de la loi de $X$ : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont indépendantes et suivent toutes la même loi que $X$. On note :

$$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n\text{et}{M}_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$$

L'objectif est de démontrer que pour tout réel $\delta >0$ : $P(\mathrm{\mid }{M}_n-\mu \mathrm{\mid }⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}$. C'est une démonstration de cours : la rédaction doit être complète et chaque propriété utilisée doit être citée.

1. Justifier que $E(S_n)=n\mu$. Quelle propriété de l'espérance utilise-t-on ?
2. Justifier que $V(S_n)=nV$. Quelle hypothèse sur les variables $X_1,\dots ,X_n$ est indispensable ici ?
3. En déduire que $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)={\displaystyle \frac{V}{n}}$.
4. Conclure en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à une variable aléatoire bien choisie.
5. À $\delta >0$ fixé, quelle est la limite de la borne obtenue lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$ ? Quelle propriété du chapitre ce résultat annonce-t-il ?

Un institut de sondage veut estimer la proportion $p$ (inconnue) d'électeurs favorables à un projet. Il interroge $n$ personnes choisies au hasard, dont les réponses sont supposées indépendantes. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on pose $X_i=1$ si la $i$-ième personne interrogée est favorable au projet et $X_i=0$ sinon : chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$. La fréquence observée dans l'échantillon est la moyenne :

$$F_n={\displaystyle \frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}}$$

1. Rappeler les valeurs de $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
2. Montrer que pour tout réel $p\in [0;1]$, on a $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$.
3. En déduire que pour tout réel $\delta >0$ :

$$P(\mathrm{\mid }{F}_n-p\mathrm{\mid }⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\delta }^2}}$$

4. Déterminer une taille d'échantillon $n$ garantissant que la fréquence observée s'écarte de $p$ d'au moins $\mathrm{0,05}$ avec une probabilité d'au plus $5\mathrm{\%}$.
5. Expliquer pourquoi la valeur trouvée à la question 4 est une condition suffisante, mais pas nécessaire : en pratique, un échantillon plus petit peut-il suffire ?

Dans une usine, une machine remplit des bouteilles d'eau minérale. Le volume versé dans une bouteille, exprimé en millilitres, est modélisé par une variable aléatoire d'espérance $\mu =500$ et d'écart type $\sigma =4$.

Chaque jour, le service qualité prélève au hasard $n$ bouteilles sur la chaîne et calcule le volume moyen versé. On note $M_n$ la variable aléatoire égale à cette moyenne. On admet que les volumes des $n$ bouteilles prélevées forment un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi que le volume versé dans une bouteille.

1. Déterminer la variance $V$ du volume versé dans une bouteille.
2. On prend $n=64$. À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer la probabilité $P(\mathrm{\mid }{M}_{64}-500\mathrm{\mid }⩾2)$.
3. Le service qualité fixe le critère suivant : la probabilité que la moyenne observée s'écarte de $500$ mL d'au moins $1$ mL doit être inférieure ou égale à $2\mathrm{\%}$. Déterminer une taille d'échantillon $n$ suffisante pour garantir ce critère.
4. Le lendemain, le technicien prélève un échantillon de $n=800$ bouteilles et mesure un volume moyen de $\mathrm{497,2}$ mL. Au vu de la question 3, que peut-il légitimement soupçonner ? Justifier.
5. Le technicien peut-il en avoir la certitude ? Expliquer.

On lance $n$ fois une pièce équilibrée et on note $F_n$ la fréquence d'apparition de pile au cours de ces $n$ lancers. On note aussi $S_n$ le nombre de piles obtenus, de sorte que $F_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée ; une affirmation fausse doit être réfutée ou corrigée.

a. « Après $10$ piles consécutifs, la probabilité d'obtenir face au lancer suivant est supérieure à $\mathrm{0,5}$, pour compenser. »

b. « Pour tout $\delta >0$, la probabilité $P(\mathrm{\mid }{F}_n-\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }⩾\delta )$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. »

c. « La loi des grands nombres garantit qu'avec $1000000$ de lancers, la fréquence de pile vaut exactement $\mathrm{0,5}$. »

d. « Le nombre de piles $S_n$ peut s'écarter de ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ de plus en plus en valeur absolue quand $n$ grandit, sans que cela contredise la loi des grands nombres. »

e. « Si on simule deux fois la même expérience avec $n=10000$ lancers, on obtient exactement la même fréquence. »

Soit $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $V$. On note $M_n={\displaystyle \frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}}$ la moyenne de l'échantillon.

On fixe un réel $\delta >0$ et on pose, pour tout entier $n⩾1$ :

$$u_n=P(\mathrm{\mid }{M}_n-\mu \mathrm{\mid }⩾\delta )$$

1. Rappeler l'inégalité de concentration, puis l'appliquer pour obtenir un encadrement de $u_n$. On justifiera aussi la minoration.
2. Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}$. Justifier.
3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$, en citant précisément le théorème sur les suites utilisé. Quel résultat du cours vient-on de démontrer ?
4. Application. On suppose maintenant que les $X_i$ sont des variables aléatoires de Bernoulli de paramètre $p$. Que représente alors $M_n$ ? Que vaut $\mu$ ? Quelle propriété fondamentale du lien entre fréquence et probabilité vient-on de démontrer ?
5. La convergence de ${\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}$ vers $0$ est-elle rapide ? Calculer cette borne pour $V={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $\delta =\mathrm{0,001}$ et $n={10}^6$, puis commenter.

On soupçonne un dé à six faces d'être truqué. Pour en avoir le cœur net, on le lance $2000$ fois et, après chaque lancer, on calcule la fréquence d'apparition du « six » depuis le début de l'expérience. Le graphique ci-dessous représente cette fréquence au fil des $2000$ lancers ; la droite horizontale en pointillés indique la valeur ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}$.

1. Si le dé était équilibré, autour de quelle valeur la fréquence d'apparition du six devrait-elle se stabiliser d'après la loi des grands nombres ?
2. Décrire ce que l'on observe sur le graphique, au début de l'expérience puis lorsque le nombre de lancers augmente.
3. Que peut-on conjecturer sur ce dé ?
4. On considère maintenant $n=2000$ lancers d'un dé équilibré et on note $F_n$ la fréquence d'apparition du six. À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer $P(\mid F_n-{\displaystyle \frac{1}{6}}\mid ⩾\mathrm{0,05})$. On précisera la loi des variables aléatoires de l'échantillon utilisé.
5. Sur le graphique, la fréquence finale est environ $\mathrm{0,239}$. L'écart observé avec ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ était-il crédible pour un dé équilibré ? Conclure.

On s'intéresse au lancer d'un dé équilibré à six faces. Le résultat d'un lancer est une variable aléatoire d'espérance $\mu =\mathrm{3,5}$ et de variance $V={\displaystyle \frac{35}{12}}$, donc d'écart type $\sigma =\sqrt{{\displaystyle \frac{35}{12}}}\approx \mathrm{1,708}$.

On veut simuler un grand nombre d'échantillons de $n$ lancers et observer la dispersion de leurs moyennes. On donne le programme Python incomplet suivant (les trous sont notés ...) :

from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    """Simule n lancers d'un dé équilibré et renvoie leur moyenne."""
    total = 0
    for _ in range(n):
        total = total + randint(..., ...)
    return ...

def serie_moyennes(N, n):
    """Renvoie la liste des moyennes de N échantillons de taille n."""
    moyennes = []
    for _ in range(N):
        moyennes.append(...)
    return moyennes

1. Recopier et compléter les quatre trous du programme.
2. Écrire une fonction ecart_type(liste) qui renvoie l'écart type d'une liste de nombres : on calculera la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de la liste, puis on prendra la racine carrée (on autorise from math import sqrt).
3. On exécute serie_moyennes(1000, 100). Quelle valeur théorique attend-on pour l'écart type de la série de $1000$ moyennes obtenue ? Justifier.
4. Quelle modification de l'appel de la question 3 permet de diviser (environ) cet écart type par $2$ ?
5. Écrire en Python le calcul de la proportion des $1000$ moyennes qui s'écartent de $\mathrm{3,5}$ d'au moins $\mathrm{0,3}$. Donner la borne fournie par l'inégalité de concentration pour $P(\mathrm{\mid }{M}_{100}-\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }⩾\mathrm{0,3})$. En pratique, la proportion observée est bien plus faible (de l'ordre de $\mathrm{0,07}$) : commenter.

Un pion est placé sur l'origine d'un axe gradué. À chaque étape, il avance de $+1$ ou recule de $-1$, avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour chacune des deux possibilités, indépendamment des étapes précédentes.

Pour tout entier $i⩾1$, on note $X_i$ la variable aléatoire égale au $i$-ième déplacement, et $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ la position du pion après $n$ pas.

Le graphique ci-dessous montre trois trajectoires simulées de $200$ pas chacune.

1. Donner la loi de $X_i$, puis calculer $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
2. En déduire $E(S_n)$ et $V(S_n)$. On citera l'hypothèse utilisée pour la variance.
3. Pour $n=200$, majorer $P(\mathrm{\mid }{S}_{200}\mathrm{\mid }⩾45)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Les trois trajectoires de la figure, dont les positions finales sont $6$, $-4$ et $26$, sont-elles cohérentes avec ce résultat ?
4. On considère la position moyenne par pas $M_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$. Montrer que pour tout $\delta >0$, $P(\mathrm{\mid }{M}_n\mathrm{\mid }⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{1}{n{\delta }^2}}$, et interpréter ce résultat à l'aide de la loi des grands nombres.
5. Écrire une fonction Python marche(n) qui simule une marche aléatoire de $n$ pas et renvoie la position finale du pion. On utilisera from random import choice et choice([-1, 1]).

Une urne contient une proportion inconnue $p$ de boules rouges ($0<p<1$). On tire $n$ boules avec remise ; on note $S_n$ le nombre de boules rouges obtenues et $F_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$ la fréquence de boules rouges dans l'échantillon.

Partie A — La somme $S_n$.

1. Quelle est la loi de $S_n$ ? Donner $E(S_n)$ et $V(S_n)$.
2. Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que :

$$P(\mathrm{\mid }{S}_n-np\mathrm{\mid }⩾\sqrt{n})⩽p(1-p)$$

3. En déduire que $P(\mathrm{\mid }{S}_n-np\mathrm{\mid }⩾\sqrt{n})⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ quel que soit $p$, puis commenter : que dit ce résultat sur l'ordre de grandeur des écarts entre $S_n$ et $np$ ?

Partie B — La fréquence $F_n$.

4. Justifier que $E(F_n)=p$ et que $V(F_n)={\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}$.
5. En déduire que pour tout $\delta >0$ :

$$P(\mathrm{\mid }{F}_n-p\mathrm{\mid }⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\delta }^2}}$$

6. Application numérique. On effectue $n=5000$ tirages et on observe une fréquence $F_n=\mathrm{0,316}$. Déterminer un réel $\delta$ tel que la borne de la question 5 vaille $\mathrm{0,05}$, puis en déduire un encadrement de $p$ « fiable à au moins $95\mathrm{\%}$ ». On formulera la conclusion avec précaution.
7. Combien de tirages faudrait-il effectuer pour obtenir, avec la même fiabilité, un encadrement de $p$ de précision $\mathrm{0,01}$ ?