Devoir surveillé — Concentration et loi des grands nombres

Les calculs doivent être menés sans calculatrice ; on détaillera les étapes.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu =20$ et de variance $V=4$ (son écart type vaut donc $\sigma =2$).

1. (2 points) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer chacune des probabilités suivantes.

   a. $P(\mathrm{\mid }X-20\mathrm{\mid }⩾5)$

   b. $P(\mathrm{\mid }X-20\mathrm{\mid }⩾10)$

   c. $P(\mathrm{\mid }X-20\mathrm{\mid }⩾4)$

   d. $P(\mathrm{\mid }X-20\mathrm{\mid }⩾2)$

   Pour la question d., on commentera l'information apportée par la majoration obtenue.

2. (1 point) En déduire une minoration de $P(15<X<25)$.

3. (1 point) Soit $(X_1,\dots ,X_{400})$ un échantillon de taille $400$ de la loi de $X$, et $M_{400}$ la moyenne de cet échantillon. À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer $P(\mathrm{\mid }{M}_{400}-20\mathrm{\mid }⩾\mathrm{0,5})$.

Une ligne de production fabrique des baguettes en grande série. La masse d'une baguette, exprimée en grammes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu =250$ et d'écart type $\sigma =5$. On ne connaît pas la loi de $X$.

1. (0,5 point) Donner la valeur de $V(X)$.

2. (0,5 point) Que représente concrètement, pour une baguette prélevée sur la ligne, l'événement $\{\mathrm{\mid }X-250\mathrm{\mid }⩾15\}$ ? On répondra par une phrase en précisant les masses concernées.

3. (1 point) Majorer la probabilité de cet événement à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On donnera la borne sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

4. (1 point) La réglementation impose qu'au plus $2\mathrm{\%}$ des baguettes s'écartent de $250$ g d'au moins $15$ g. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet-elle de garantir que la production est conforme à cette réglementation ? Permet-elle d'affirmer qu'elle ne l'est pas ? Justifier soigneusement chacune des deux réponses.

5. (1 point) Pour contrôler la production, le boulanger-chef prélève des échantillons de $100$ baguettes et calcule leur masse moyenne $M_{100}$. Majorer $P(\mathrm{\mid }{M}_{100}-250\mathrm{\mid }⩾\mathrm{1,5})$.

6. (1 point) Comparer les résultats des questions 3. et 5., puis commenter en une ou deux phrases le rôle joué par la moyenne d'échantillon.

Une proportion inconnue $p\in ]0;1[$ des électeurs d'une ville est favorable à un candidat. Un institut de sondage interroge $n$ électeurs choisis de façon indépendante. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le $i$-ième électeur interrogé est favorable au candidat et $0$ sinon : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont indépendantes et suivent toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

On note $F_n={\displaystyle \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}}$ la fréquence observée des électeurs favorables dans l'échantillon.

1. (0,5 point) Donner, sans justification, $E(X_i)$ et $V(X_i)$.

2. (1 point) Justifier que $E(F_n)=p$ et que $V(F_n)={\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}$. On citera précisément les propriétés utilisées.

3. (1 point) Démontrer que pour tout $p\in [0;1]$, on a $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

4. (1 point) En déduire que pour tout $\delta >0$ : $P(\mathrm{\mid }{F}_n-p\mathrm{\mid }⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\delta }^2}}$.

5. (1,5 point) L'institut veut garantir que la probabilité que la fréquence observée s'écarte de $p$ d'au moins $\mathrm{0,05}$ soit d'au plus $5\mathrm{\%}$, et cela quelle que soit la valeur de $p$. Montrer qu'il suffit pour cela d'interroger $2000$ personnes.

6. (1 point) Un institut concurrent affirme obtenir la même garantie en n'interrogeant que $500$ personnes, grâce à une « meilleure méthode statistique ». Cette affirmation est-elle nécessairement mensongère ? Argumenter en s'appuyant sur la nature du résultat obtenu à la question 5.

On lance un dé équilibré à six faces et on note $X$ le résultat obtenu : $X$ suit la loi uniforme sur $\{1;2;3;4;5;6\}$.

À l'aide d'un programme Python, on a simulé $1000$ échantillons de $n=100$ lancers ; pour chaque échantillon, on a calculé la moyenne des $100$ résultats. L'histogramme ci-dessous représente les $1000$ moyennes obtenues ; les deux droites verticales en pointillés ont pour abscisses $\mathrm{3,2}$ et $\mathrm{3,8}$.

Sur cette simulation, $66$ moyennes sur $1000$ se situent en dehors de l'intervalle $]\mathrm{3,2};\mathrm{3,8}[$, c'est-à-dire s'écartent de $\mathrm{3,5}$ d'au moins $\mathrm{0,3}$.

1. (1 point) Calculer $E(X)$ en détaillant le calcul, puis vérifier à l'aide de la formule de König-Huygens que $V(X)={\displaystyle \frac{35}{12}}$.

2. (1,5 point) On note $M_{100}$ la moyenne d'un échantillon de $100$ lancers. Majorer $P(\mathrm{\mid }{M}_{100}-\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }⩾\mathrm{0,3})$ à l'aide de l'inégalité de concentration. On donnera la borne sous forme de fraction, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

3. (1 point) Comparer cette borne à la fréquence observée sur la simulation. Que retrouve-t-on ?

4. (1 point) La liste Python moyennes contient les $1000$ moyennes simulées. Compléter le code ci-dessous (les trois ...) pour qu'il affiche la proportion de moyennes qui s'écartent de $\mathrm{3,5}$ d'au moins $\mathrm{0,3}$.

compteur = 0
for m in moyennes:          # moyennes : liste des 1000 moyennes
    if abs(m - 3.5) >= ...:
        compteur = compteur + ...
print(compteur / ...)

5. (0,5 point) D'après la loi des grands nombres, comment évoluerait la proportion de moyennes situées hors de $]\mathrm{3,2};\mathrm{3,8}[$ si on remplaçait les échantillons de taille $100$ par des échantillons de taille $10000$ ?