Exercices — Fonction logarithme népérien

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f=\ln$ sur l'intervalle $]0;\mathrm{9,5}]$, ainsi que sa tangente $T$ au point $A(1;0)$ (droite en pointillés). Des pointillés de lecture sont tracés aux points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$ et ${\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,39}$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Lire les valeurs de $f(1)$, $f(\mathrm{e})$ et $f({\mathrm{e}}^2)$.
2. Conjecturer la limite de $f$ en $0^{+}$. Comment cette limite se traduit-elle géométriquement pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
3. Quand $x$ devient très grand, la courbe semble monter de plus en plus lentement. Quelle est pourtant, d'après le cours, la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ ? La courbe admet-elle une asymptote horizontale ?
4. Lire graphiquement l'équation réduite de la tangente $T$.
5. Quelle est la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$ ? En déduire une inégalité vérifiée par $\ln x$ pour tout $x>0$, en précisant le cas d'égalité.
6. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=2$, puis donner la valeur exacte de la solution.

1. Simplifier chacune des expressions suivantes (le résultat ne doit plus contenir ni $\ln$ ni exponentielle) :

   a. ${\mathrm{e}}^{\ln 5}$

   b. $\ln ({\mathrm{e}}^3)$

   c. $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$

   d. ${\mathrm{e}}^{-\ln 2}$

   e. $\ln (\sqrt{\mathrm{e}})$

   f. $\ln ({\mathrm{e}}^2)+\ln ({\mathrm{e}}^{-5})$

   g. ${\mathrm{e}}^{2\ln 3}$

   h. $\ln (\mathrm{e}\times {\mathrm{e}}^4)$

   i. ${\mathrm{e}}^{\ln 6-\ln 2}$

2. Résoudre dans $]0;+\mathrm{\infty }[$ l'équation $\ln x=0$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${\mathrm{e}}^x=1$.

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ :

1. Écrire chacun des nombres suivants le plus simplement possible (sous la forme $n\ln a$ avec $a$ entier le plus petit possible, ou sous la forme d'un entier) :

   a. $2\ln 3+\ln 5-\ln 45$

   b. $\ln 50-\ln 2$

   c. $3\ln 2+\ln {\displaystyle \frac{3}{8}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 36-\ln 2$

2. Simplifier chacune des expressions suivantes, en précisant d'abord pour quelles valeurs de $x$ elle est définie :

   a. $A(x)=\ln (x^2)-2\ln x$

   b. $B(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{x}}\right)+\ln \left({\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}\right)$

   c. $C(x)=\ln ((x+1{)}^2)-2\ln (x+1)$

   d. $D(x)=\ln ({\mathrm{e}}^x\cdot {\mathrm{e}}^{-2x+1})$

3. L'expression $\ln (x^2)$ de la question 2.a. est-elle définie pour $x=-3$ ? Et l'expression $2\ln x$ ? Que peut-on en conclure sur l'égalité $\ln (x^2)=2\ln x$ ?

Résoudre chacune des équations suivantes. On précisera à chaque fois l'ensemble sur lequel l'équation est définie avant de la résoudre, et on donnera les solutions sous forme exacte.

Résoudre chacune des équations suivantes. On commencera systématiquement par déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'équation est définie, et on vérifiera à la fin que les valeurs trouvées appartiennent bien à cet ensemble.

1. $\ln x+\ln (x-2)=\ln 3$

2. $\ln (x+1)-\ln x=\ln 2$

3. $(\ln x{)}^2-3\ln x+2=0$

4. $\ln (x^2)=4$

Partie A — Dépollution d'un lac.

À la suite d'un accident industriel, un lac contient $500$ kg d'un polluant. Un traitement permet d'en éliminer $20\mathrm{\%}$ chaque année. On note $u_n$ la masse de polluant (en kg) restant au bout de $n$ années, de sorte que $u_0=500$.

1. Justifier que $u_n=500\times {\mathrm{0,8}}^n$ pour tout entier naturel $n$.
2. Le lac sera déclaré assaini quand la masse de polluant sera passée sous $1\mathrm{\%}$ de sa valeur initiale. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{0,8}}^n<\mathrm{0,01}$.
3. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien. On fera attention au signe de $\ln \mathrm{0,8}$.
4. Conclure : au bout de combien d'années le lac sera-t-il assaini ? Vérifier le résultat en calculant $u_n$ pour les deux valeurs de $n$ qui encadrent la réponse.

Partie B — Doublement d'un capital.

Un capital de $5000$ € est placé au taux annuel de $3\mathrm{\%}$ à intérêts composés : chaque année, le capital est multiplié par $\mathrm{1,03}$.

1. Exprimer le capital $c_n$ (en euros) au bout de $n$ années.
2. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, au bout de combien d'années le capital aura doublé. Vérifier numériquement.

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur l'intervalle indiqué. On simplifiera le résultat autant que possible.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$.

2. Montrer que, pour tout $x>0$ : $f(x)=x(1-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}})$. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

3. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et que, pour tout $x>0$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$$

4. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremum compris).

5. En déduire que, pour tout $x>0$ : $\ln x<x$. Interpréter graphiquement ce résultat à l'aide de la courbe de la fonction $\ln$ et de la droite d'équation $y=x$.

Déterminer chacune des limites suivantes. On précisera à chaque fois l'outil utilisé : limite de référence, opérations sur les limites, croissance comparée, factorisation par le terme prépondérant…

L'objectif de cet exercice est de démontrer la formule de la dérivée du logarithme népérien : pour tout $x>0$,

On admet que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

1. Rappeler pourquoi, pour tout $x>0$ : ${\mathrm{e}}^{\ln x}=x$.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{\ln x}$. En utilisant la formule de dérivation d'une composée ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, exprimer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ en fonction de ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)$ et de $x$.

3. En dérivant les deux membres de l'égalité de la question 1, en déduire que, pour tout $x>0$ :

   $${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$$

4. En déduire le sens de variation de la fonction $\ln$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $\ln$ :

   a. au point d'abscisse $1$ ;

   b. au point d'abscisse $\mathrm{e}$.

L'objectif de cet exercice est de démontrer les deux croissances comparées du logarithme vues en cours, à partir de celle de l'exponentielle établie au chapitre sur les limites :

1. Démonstration de $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$.

   a. Pour $x>0$, on pose $X=\ln x$. Exprimer $x$ en fonction de $X$, puis vérifier que ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}={\displaystyle \frac{X}{{\mathrm{e}}^X}}$.

   b. Justifier que $X\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, puis conclure par composition.

2. Démonstration au programme : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$.

   a. Pour $x>0$, on pose $X={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Montrer que $x\ln x=-{\displaystyle \frac{\ln X}{X}}$.

   b. En déduire $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$, en citant précisément le résultat utilisé.

3. Applications. Déterminer les limites suivantes :

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}}$ (on pourra poser $X=\sqrt{x}$) ;

   b. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^3\ln x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous sur $]0;\mathrm{12,4}]$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement chacun de ces résultats.

2. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et que, pour tout $x>0$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$$

3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises). En déduire que $f$ admet un maximum sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, dont on précisera la valeur exacte et l'abscisse où il est atteint.

4. Application : comparer ${\mathrm{e}}^{\pi }$ et ${\pi }^{\mathrm{e}}$.

   a. Justifier que $f(\pi )<f(\mathrm{e})$, puis en déduire que $\mathrm{e}\ln \pi <\pi$.

   b. En remarquant que $\mathrm{e}\ln \pi =\ln \left({\pi }^{\mathrm{e}}\right)$ et que $\pi =\ln \left({\mathrm{e}}^{\pi }\right)$, conclure : lequel des deux nombres ${\mathrm{e}}^{\pi }$ et ${\pi }^{\mathrm{e}}$ est le plus grand ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$.

2. La courbe de la fonction $\ln$ est au-dessous de chacune de ses tangentes.

3. Si $0<a<1$, alors $\ln a<0$.

4. L'équation $\ln x={10}^9$ n'a pas de solution.

5. Pour tout $x>0$ : $(\ln x{)}^2=\ln \left(x^2\right)$.

6. Pour tout réel $x$ : $\ln \left({\mathrm{e}}^{x^2}\right)=x^2$.

7. La courbe de la fonction $\ln$ admet une asymptote horizontale en $+\mathrm{\infty }$.

Au début du dix-septième siècle, bien avant les calculatrices, le mathématicien anglais Henry Briggs calculait des logarithmes à la main grâce à des extractions de racines carrées successives. Cet exercice reconstitue sa méthode.

Soit $a$ un réel strictement positif. On définit la suite $(a_n)$ par $a_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. Justifier que, pour tout réel $b>0$ : $\ln \left(\sqrt{b}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln b$.

2. a. Justifier que tous les termes de la suite $(a_n)$ sont strictement positifs, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$\ln (a_n)={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\ln a$$

   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $\ln a=2^n\ln (a_n)$.

3. On admet que, pour $h$ proche de $0$, on a l'approximation $\ln (1+h)\approx h$ (la courbe de $\ln$ est presque confondue avec sa tangente au point d'abscisse $1$, d'équation $y=x-1$). On admet également que $a_n$ se rapproche de $1$ quand $n$ devient grand. En écrivant $a_n=1+(a_n-1)$, justifier l'approximation suivante, pour $n$ assez grand :

   $$\ln a\approx 2^n(a_n-1)$$

4. Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie cette valeur approchée de $\ln a$ :

   def briggs(a, n):
       for k in range(n):
           a = ...
       return ...
   

5. L'appel briggs(2, 20) renvoie environ 0.6931474. Comparer avec la valeur de $\ln 2$ affichée par la calculatrice, et commenter.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Montrer que, pour tout $x>0$, $g(x)=x^2-x^2\ln x$, puis déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$.

2. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$.

3. Montrer que $g$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et que, pour tout $x>0$ :

   $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x(1-2\ln x)$$

4. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations complet de $g$ (limites et extremum compris). On donnera la valeur exacte du maximum.

5. Résoudre l'équation $g(x)=0$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis en déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

6. a. Démontrer que l'équation $g(x)=1$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

   b. Vérifier que $1$ est l'une de ces solutions. On note $\alpha$ l'autre solution : à l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

7. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$.