Devoir surveillé — Fonction logarithme népérien

1. (2 points — 0,5 point par item) Simplifier chacune des expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme la plus simple possible ; pour d., on exprimera le résultat en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$.

   a. $\ln 50-\ln 2$

   b. ${\mathrm{e}}^{2\ln 3}$

   c. $\ln \left(\sqrt{{\mathrm{e}}^3}\right)$

   d. $\ln 24$

2. (3 points — 1 point par équation) Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On commencera par déterminer soigneusement l'ensemble sur lequel l'équation est définie (conditions d'existence).

   a. $\ln (x-1)+\ln (x+3)=\ln 5$

   b. ${\mathrm{e}}^{2x}-3{\mathrm{e}}^x-4=0$

   c. $(\ln x{)}^2=\ln \left(x^2\right)$

Après une injection, la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient diminue de $15\mathrm{\%}$ chaque heure. La dose injectée à l'instant initial est de $200$ mg. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang $n$ heures après l'injection. On a donc $u_0=200$.

1. (1 point) Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique, préciser sa raison, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. (2 points) Le médicament cesse d'être efficace lorsque la quantité présente dans le sang devient strictement inférieure à $10\mathrm{\%}$ de la dose initiale. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{0,85}}^n<\mathrm{0,1}$, puis résoudre cette inéquation. On donnera le plus petit entier naturel $n$ solution, en détaillant chaque étape du raisonnement.

3. (1 point) Vérifier le résultat précédent en calculant les valeurs de $u_n$ pour les deux entiers qui encadrent le seuil trouvé (on arrondira au dixième de mg), et conclure par une phrase dans le contexte de l'exercice.

On considère la fonction $h$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

On note ${\mathcal{C}}_h$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. (0,75 point) Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. (1,25 point) Montrer que pour tout $x>0$, $h(x)=x({\displaystyle \frac{\ln x}{x}}-1+{\displaystyle \frac{2}{x}})$, puis en déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)$.

3. (1,5 point) Montrer que pour tout $x>0$, $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-x}{x}}$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations complet de $h$ (limites et extremum compris).

4. (1,5 point) Démontrer que l'équation $h(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ : l'une, notée $\alpha$, appartient à $]0;1[$ ; l'autre, notée $\beta$, appartient à $]1;+\mathrm{\infty }[$.

5. (1 point) À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

6. (1 point) En déduire le signe de $h(x)$ selon les valeurs de $x$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

1. (2 points — 1 point par limite) Déterminer chacune des limites suivantes, en justifiant soigneusement (limite de référence, croissance comparée, opérations sur les limites…).

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$

   b. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x\ln x-3)$

2. (2 points — 1 point par affirmation) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point : on démontrera l'affirmation si elle est vraie, on produira un contre-exemple si elle est fausse.

   a. « Pour tout $x>0$, $\ln (3x)=3\ln x$. »

   b. « La suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n⩾1$ par $u_n=\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$ converge vers $0$. »