Exercices — Limites de fonctions

Une fonction $f$ est définie sur $]-\mathrm{\infty };-2[\cup ]-2;+\mathrm{\infty }[$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{8,4};\mathrm{6,4}]$ (privé de $-2$). Les droites en pointillés sont les asymptotes de ${\mathcal{C}}_f$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Conjecturer les quatre limites suivantes :

   a. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

   c. $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)$

   d. $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)$

2. En déduire les équations des deux asymptotes à ${\mathcal{C}}_f$, en précisant pour chacune la ou les limites qui la justifient.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition, en y faisant figurer les limites.

4. Déterminer graphiquement le signe de $f(x)-1$ selon les valeurs de $x$. Comment ce signe se traduit-il par rapport à l'asymptote horizontale ?

1. Donner, sans justification, chacune des limites suivantes :

   a. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{x}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

   d. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

   e. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

   f. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x$

   g. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x$

   h. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^4$

   i. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

2. Pour les limites suivantes, le signe du résultat dépend du côté par lequel on s'approche de la valeur interdite. Donner chaque limite en justifiant le signe en une phrase :

   a. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b. $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$

   c. $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

   d. $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x-5}}$

1. Calculer chacune des limites suivantes. Aucune n'est une forme indéterminée : il suffit d'appliquer les règles d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient).

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2+e^x)$

   b. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3}{x^2+1}}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(2+{\displaystyle \frac{1}{x}})(x^3-1)$

   d. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x+2}{1+\frac{1}{x}}}$

   e. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(e^x-x)$

   f. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2(3-x)$

   g. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{x}(1-{\displaystyle \frac{5}{x}})$

   h. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-2}{e^x+1}}$

2. Pour les limites a., c. et d., citer précisément la règle d'opération utilisée (par exemple : « limite d'une somme, cas $\mathrm{\ell }+\mathrm{\infty }$ »).

Pour chaque fonction, on demande la même démarche : étudier le signe du dénominateur au voisinage de la valeur interdite, en déduire les limites à gauche et à droite, puis conclure sur l'existence d'une asymptote verticale.

1. Soit $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }3$.

   a. Déterminer $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)$.

   b. La limite de $f$ en $3$ existe-t-elle ? Justifier.

   c. Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?

2. Soit $g(x)={\displaystyle \frac{x+2}{(x-1{)}^2}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }1$. Déterminer $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g(x)$. La limite de $g$ en $1$ existe-t-elle ?

3. Soit $h(x)={\displaystyle \frac{-3}{x^2-4}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }-2$ et $x\mathrm{\ne }2$.

   a. Dresser le tableau de signes de $x^2-4$.

   b. En déduire les limites de $h$ à gauche et à droite en $2$, puis à gauche et à droite en $-2$.

   c. Donner les équations des asymptotes verticales à la courbe de $h$.

4. Soit $k(x)={\displaystyle \frac{x}{4-x^2}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }-2$ et $x\mathrm{\ne }2$. Déterminer $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }k(x)$ et $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }k(x)$, et interpréter graphiquement.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\mathrm{\infty };-1[\cup ]-1;+\mathrm{\infty }[$ par

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

1. Vérifier que, pour tout $x\mathrm{\ne }-1$ :

   $$f(x)=4-{\displaystyle \frac{7}{x+1}}$$

2. En déduire $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour ${\mathcal{C}}_f$ ?

3. Déterminer $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour ${\mathcal{C}}_f$ ?

4. Étudier le signe de $f(x)-4$ selon les valeurs de $x$, et en déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de son asymptote horizontale.

5. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, en déduire le sens de variation de $f$ sur chacun des deux intervalles, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).

1. On cherche $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^3-5x^2)$.

   a. Donner la limite de $x^3$ et celle de $-5x^2$ en $+\mathrm{\infty }$. Pourquoi ne peut-on pas conclure directement avec la règle sur la limite d'une somme ?

   b. Vérifier que, pour tout $x>0$, $x^3-5x^2=x^3(1-{\displaystyle \frac{5}{x}})$, puis en déduire la limite cherchée.

2. En s'inspirant de la méthode de la question 1, déterminer les limites suivantes :

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(-2x^3+x^2-7)$

   b. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x^4-3x^3+1)$

   c. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(5x^3-x+2)$

   d. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2-100x)$

   e. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(-x^2+4x-1)$

3. Généralisation. Soient $a$, $b$, $c$, $d$ des réels avec $a>0$, et $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

   a. Montrer que, pour tout $x>0$ :

   $$P(x)=x^3(a+{\displaystyle \frac{b}{x}}+{\displaystyle \frac{c}{x^2}}+{\displaystyle \frac{d}{x^3}})$$

   b. En déduire que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(x)=+\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire que $P$ a la même limite en $+\mathrm{\infty }$ que son terme de plus haut degré $a{x}^3$.

1. Déterminer les limites suivantes (on pourra utiliser le quotient des termes de plus haut degré) :

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^2+5x-1}{2x^2+7}}$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x-2}{x^2+1}}$

   c. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3+2x}{4x^2-1}}$

   d. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2+x}{x^2+3}}$

   e. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^4-x}{-x^2+5}}$

2. Pour chacune des limites suivantes, expliquer pourquoi on obtient une forme indéterminée, puis lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur.

   a. $\underset{x\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}$

   b. $\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^2-1}}$

3. Pour chacun des quotients de la question 1, dire si la courbe de la fonction correspondante admet une asymptote horizontale au voisinage de l'infini considéré. Préciser alors son équation.

Pour chacune des questions suivantes : identifier la forme obtenue par les opérations sur les limites (forme indéterminée ou non), puis conclure en levant l'indétermination si nécessaire.

1. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+4x}-x)$

3. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}$

4. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+1}+x)$ — attention, bien identifier la forme avant de se lancer dans un calcul !

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\sin x$.

   a. Justifier que pour tout réel $x$, $f(x)⩾x-1$. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

   b. Justifier que pour tout réel $x$, $f(x)⩽x+1$. En déduire $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+x\cos x$. Montrer que pour tout $x>0$, $g(x)⩾x^2-x$, puis déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$.

3. Une fonction $h$ vérifie $h(x)⩾\sqrt{x}-3$ pour tout $x>0$. Que peut-on en déduire pour la limite de $h$ en $+\mathrm{\infty }$ ? Justifier.

4. Vrai ou faux (justifier par une démonstration ou un contre-exemple) : « si $f(x)⩽x^2$ pour tout réel $x$, alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ».

1. a. Montrer que pour tout $x>0$ : $-{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   b. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$, puis interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe de $x⟼{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$.

2. En encadrant $\cos x$, déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x+\cos x}{x+1}}$.

3. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (3x)}{x^2}}$. On justifiera soigneusement que l'encadrement utilisé est valable pour $x<0$.

4. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x+\sin x}{x-\sin x}}$. On pourra commencer par encadrer le numérateur et le dénominateur pour $x>1$.

1. Déterminer les limites suivantes en utilisant les croissances comparées et les opérations sur les limites :

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^5{e}^{-x}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}$

   d. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^x$ (on pourra poser $X=-x$)

   e. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x+x}{x^2}}$

   f. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^3+1)e^{-x}$

2. Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang d'un patient (en mg·L${}^{-1}$) est modélisée par $C(t)=5t{e}^{-t}$, où $t$ est le temps écoulé en heures.

   a. Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }C(t)$.

   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

1. Calculer chacune des limites suivantes. Pour chaque limite, on posera explicitement la fonction intermédiaire $X=u(x)$, on donnera sa limite, puis on conclura par composition.

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x^2}$

   b. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x^2}$

   c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{4+{\displaystyle \frac{1}{x}}}$

   d. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}$

   e. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}$

   f. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{{\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}}$

   g. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{3x-1}$

2. À l'aide des résultats des questions d. et e., que peut-on dire de la limite de la fonction $x\mapsto e^{\frac{1}{x}}$ en $0$ ?

3. Rédaction modèle. Rédiger complètement le calcul de la limite f. en deux étapes clairement séparées : la limite de la fonction intermédiaire $u$, puis la limite de la fonction de référence appliquée à $X$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Dans tout l'exercice, on ne dérive pas $f$ : toutes les questions se traitent par des calculs de limites et des études de signe.

1. a. Développer l'expression de $f(x)$ pour l'écrire comme une somme de trois termes.

   b. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. On citera précisément le théorème utilisé.

   c. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ? Donner l'équation de la droite $\mathrm{\Delta }$ concernée.

2. Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)-3$. En déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\mathrm{\Delta }$, en précisant les coordonnées de leur éventuel point d'intersection.

3. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. On détaillera la limite de chaque facteur.

4. La courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet-elle une asymptote horizontale en $-\mathrm{\infty }$ ? Justifier.

L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème de croissance comparée du cours : pour tout entier naturel $n⩾1$,

Cette démonstration est exigible au baccalauréat.

Partie A — Le cas $n=1$

1. Soit $\psi$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $\psi (x)=e^x-x$.

   a. Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ et justifier que ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)⩾0$ pour tout $x⩾0$.

   b. Calculer $\psi (0)$ et en déduire que, pour tout $x⩾0$ :

   $$e^x>x$$

2. a. En appliquant l'inégalité précédente au réel ${\displaystyle \frac{x}{2}}$, montrer que pour tout $x⩾0$ : $e^{x\mathrm{/}2}>{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

   b. En déduire que, pour tout $x⩾0$ :

   $$e^x>{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$

   On justifiera soigneusement pourquoi on a le droit d'élever l'inégalité au carré.

3. a. Déduire de la question précédente que, pour tout $x>0$ :

   $${\displaystyle \frac{e^x}{x}}>{\displaystyle \frac{x}{4}}$$

   b. Conclure que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=+\mathrm{\infty }$, en citant précisément le théorème utilisé.

Partie B — Le cas général

Soit $n$ un entier naturel avec $n⩾1$.

4. a. Vérifier que, pour tout $x>0$ :

   $${\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}={\displaystyle \frac{1}{n^n}}{\left({\displaystyle \frac{e^{x\mathrm{/}n}}{x\mathrm{/}n}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}$$

   b. En posant $X={\displaystyle \frac{x}{n}}$, démontrer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}=+\mathrm{\infty }$.

5. Application. Déduire du théorème démontré que :

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Une courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale.

   On pourra s'appuyer sur la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=2+{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$, dont la courbe est représentée ci-dessous sur $]0;25]$.

   

2. Si $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$, alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-g(x))$ est une forme indéterminée, donc cette limite n'existe jamais.

3. Si $f(x)⩽g(x)$ pour tout $x⩾0$ et si $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$, alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$.

4. Si la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\mathrm{\infty }$, alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=3$.

5. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}$ n'existe pas.

6. Si $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0$ (avec $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $0$), alors $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=1$.

7. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(e^x-x^{100})=-\mathrm{\infty }$, car $x^{100}$ croît très vite.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A — Une fonction rationnelle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

1. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. On lèvera la forme indéterminée en factorisant numérateur et dénominateur par leur terme prépondérant.

2. a. Déterminer $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$. On étudiera avec soin le signe du dénominateur de part et d'autre de $2$.

   b. Interpréter graphiquement ces résultats.

3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ et que, pour tout $x\mathrm{\ne }2$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}}$$

4. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).

Partie B — Une fonction logistique

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

Ce type de fonction, appelé fonction logistique, sert à modéliser des phénomènes de propagation : on suppose ici que $g(x)$ représente la proportion de foyers équipés d'une nouvelle technologie à l'instant $x$ (exprimé en années, l'instant $x=0$ correspondant au lancement).

1. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$.

2. a. Expliquer pourquoi le calcul de $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$ conduit à une forme indéterminée.

   b. Montrer que, pour tout réel $x$ : $g(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$.

   c. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$.

3. En déduire que la courbe de $g$ admet deux asymptotes horizontales, dont on donnera les équations.

4. Démontrer que, pour tout réel $x$ : $0<g(x)<1$.

5. Interpréter concrètement, dans le contexte du modèle, la limite de $g$ en $+\mathrm{\infty }$ et l'encadrement de la question 4.