Devoir surveillé — Limites de fonctions

Déterminer chacune des limites suivantes. On justifiera brièvement chaque réponse (limite de référence, opérations sur les limites, terme prépondérant, croissance comparée, composition…). Les dix questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie par :

et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$.

2. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ?

3. a. Dresser le tableau de signes de $x^2-1$.

   b. Vérifier que le numérateur $3x^2-5x+4$ est strictement positif pour tout réel $x$.

   c. En déduire les limites de $f$ à gauche et à droite en $-1$, puis à gauche et à droite en $1$.

4. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ?

5. a. Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$ :

   $$f(x)-3={\displaystyle \frac{-5x+7}{x^2-1}}$$

   b. Étudier le signe de $f(x)-3$, puis en déduire la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et de son asymptote horizontale. On précisera les coordonnées de leur éventuel point d'intersection.

1. Question de cours. Énoncer le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement) pour une limite en $+\mathrm{\infty }$.

2. Soit $h$ la fonction définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ par :

   $$h(x)=3+{\displaystyle \frac{2\cos x}{x}}$$

   a. Rappeler l'encadrement de $\cos x$ valable pour tout réel $x$, et en déduire que pour tout $x⩾1$ :

   $$3-{\displaystyle \frac{2}{x}}⩽h(x)⩽3+{\displaystyle \frac{2}{x}}$$

   b. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)$, en citant précisément le théorème utilisé.

   c. Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe représentative de $h$.

3. Soit $k$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

   $$k(x)=x^2+x\sin x$$

   a. Justifier que pour tout $x⩾0$, on a $x\sin x⩾-x$.

   b. En déduire que pour tout $x⩾0$, $k(x)⩾x^2-x$.

   c. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2-x)$, puis en déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }k(x)$ en citant le théorème utilisé.

Dans un laboratoire, on étudie l'évolution d'une population de bactéries après administration d'un antibiotique. Le nombre de bactéries, en milliers, est modélisé par :

où $t$ désigne le temps écoulé, en heures, depuis le début du traitement.

1. Calculer $N(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. a. Justifier que pour tout $t⩾0$, on peut écrire $t{e}^{-t}={\displaystyle \frac{t}{e^t}}$, puis déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }N(t)$.

   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice, puis donner l'interprétation graphique correspondante pour la courbe représentative de $N$.

3. Justifier que $N(t)>50$ pour tout $t>0$. Que peut-on en déduire quant à la position de la courbe de $N$ par rapport à son asymptote horizontale ?

4. Question de cours. Citer la propriété de croissance comparée des fonctions $t\mapsto e^t$ et $t\mapsto t^n$ ($n$ entier naturel non nul) en $+\mathrm{\infty }$, puis en déduire $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^t}{t^2}}$.

5. En posant $X=N(t)$, justifier avec soin que :

   $$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{N(t)}=5\sqrt{2}$$