Exercices — Calcul intégral

Une fonction $f$, affine par morceaux, est définie sur $[-1;4]$. Sa courbe représentative est tracée ci-dessous, dans un repère orthogonal où l'unité vaut $1$ cm sur chaque axe. Toutes les réponses s'obtiennent par lecture graphique et calculs d'aires de figures usuelles, sans utiliser de primitive.

1. Déterminer ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ en interprétant cette intégrale comme une aire.
2. Déterminer ${\int }_1^{3}f(x)dx$. On précisera le signe attribué à chaque portion du domaine.
3. En déduire, à l'aide de la relation de Chasles, la valeur de ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx$.
4. Déterminer l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=4$. Expliquer pourquoi ce résultat n'est pas celui de la question 3.
5. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1;4]$.

1. Calculer les intégrales suivantes sans utiliser de primitive, en interprétant chacune comme une aire algébrique de figures usuelles (rectangle, triangle, trapèze). On pourra s'aider d'un croquis rapide de la courbe.

   a. ${\displaystyle {\int }_0^4(2x+1)dx}$

   b. ${\displaystyle {\int }_{-2}^2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }dx}$

   c. ${\displaystyle {\int }_0^3(2-x)dx}$

   d. ${\displaystyle {\int }_{-3}^{3}5dx}$

2. Vérifier le résultat de la question 1.a. par le calcul, à l'aide d'une primitive de $x\mapsto 2x+1$.

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une primitive.

Calculer les intégrales suivantes. Pour chacune, on commencera par reconnaître une forme du type $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ ou ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$, quitte à ajuster une constante multiplicative.

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par

On admet qu'il est impossible d'exprimer une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$ à l'aide des fonctions usuelles : toute l'étude se mène donc sans calculer explicitement $F(x)$.

1. Justifier que $F$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et donner $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

2. En déduire le sens de variation de $F$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $F$ au point d'abscisse $0$.

5. a. En utilisant l'inégalité ${\mathrm{e}}^u\ge 1+u$, valable pour tout réel $u$ (vue au chapitre sur la convexité), montrer que $F(1)\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   b. Montrer que $F(1)\le 1$.

Cette démonstration est exigible au baccalauréat. Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle $[a;b]$. On définit la fonction $F$ sur $[a;b]$ par

L'objectif est de démontrer que $F$ est dérivable sur $[a;b]$ et que $F^{\mathrm{\prime }}=f$. On fixe un réel $x\in [a;b[$ et on considère un réel $h>0$ tel que $x+h\le b$.

1. Justifier, à l'aide de la relation de Chasles, que

   $$F(x+h)-F(x)={\int }_x^{x+h}f(t)dt,$$

   puis interpréter cette quantité comme l'aire d'un domaine que l'on précisera.

2. En comparant ce domaine à deux rectangles de largeur $h$ et de hauteurs respectives $f(x)$ et $f(x+h)$, établir l'encadrement

   $$hf(x)\le F(x+h)-F(x)\le hf(x+h)\mathrm{.}$$

   On précisera où intervient la croissance de $f$.

3. En déduire un encadrement du taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{F(x+h)-F(x)}{h}}$.

4. En utilisant la continuité de $f$ en $x$, déterminer $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x+h)-F(x)}{h}}$. On admet que l'étude du cas $h<0$ conduit à la même limite. Que peut-on en conclure pour la fonction $F$ ?

5. Pourquoi peut-on dire que $F$ est la primitive de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$ ?

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0;5]$ telles que :

Calculer les intégrales suivantes.

e. Peut-on calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}g(x)dx}$ à l'aide de ces seules données ? Expliquer.

Certaines intégrales ne peuvent pas être calculées à l'aide des primitives usuelles. On peut néanmoins les encadrer grâce à la croissance de l'intégrale.

1. a. Montrer que pour tout $t\in [0;1]$, on a $1\le \sqrt{1+t^2}\le \sqrt{2}$.

   b. En déduire que $1\le {\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+t^2}dt\le \sqrt{2}}$.

2. a. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, on a ${\mathrm{e}}^{-1}\le {\mathrm{e}}^{-x^2}\le 1$. On pourra commencer par encadrer $-x^2$.

   b. En déduire un encadrement de ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x^2}dx}$.

3. a. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, on a $x^2\le x$.

   b. En déduire que ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}dx\le \mathrm{e}-1}$.

Partie A — Température d'une serre.

La température (en °C) d'une serre est modélisée, pour $t\in [0;12]$ (temps en heures écoulé depuis 8 h du matin), par :

1. Déterminer une primitive de $T$ sur $[0;12]$.
2. Calculer la valeur exacte de la température moyenne de la serre sur $[0;12]$, puis en donner une valeur approchée au dixième.

Partie B — Vitesse d'un mobile.

Un mobile se déplace en ligne droite avec la vitesse $v(t)=3t^2$ (en m/s), pour $t\in [0;4]$ (temps en secondes).

3. Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants $t=0$ et $t=4$.
4. En déduire la vitesse moyenne du mobile sur ce trajet.
5. Vérifier que cette vitesse moyenne est exactement la valeur moyenne de la fonction $v$ sur $[0;4]$. Expliquer pourquoi ce n'est pas une coïncidence.

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties, en suivant l'indication donnée.

a. ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x}dx}$, en posant $u^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x$ et $v(x)=x$.

b. ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}x\ln xdx}$, en posant $u^{\mathrm{\prime }}(x)=x$ et $v(x)=\ln x$.

c. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }t\sin tdt}$, en posant $u^{\mathrm{\prime }}(t)=\sin t$ et $v(t)=t$.

Partie A — L'astuce du facteur $1$.

On souhaite calculer $I={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}\ln tdt}$, alors qu'aucune primitive de $\ln$ ne figure dans le cours.

1. Justifier que l'on peut écrire $\ln t=1\times \ln t$, puis calculer $I$ par intégration par parties en posant $u^{\mathrm{\prime }}(t)=1$ et $v(t)=\ln t$.

Partie B — Deux intégrations par parties successives.

On pose $J={\displaystyle {\int }_0^1{t}^2{\mathrm{e}}^{t}dt}$ et $K={\displaystyle {\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{t}dt}$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $J$ en fonction de $K$.
3. Calculer $K$ par une nouvelle intégration par parties.
4. En déduire la valeur exacte de $J$.

Dans un repère orthogonal d'unités $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée, on considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=f(x)$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=g(x)$, où :

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $\mathbb{R}$. Interpréter graphiquement le résultat en termes de position relative de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$.
2. Retrouver par le calcul les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$.
3. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre les deux courbes pour $x\in [0;3]$.
4. Convertir cette aire en cm${}^2$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=x^2-4$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier le signe de $f(x)$ sur $[0;3]$.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}f(x)dx}$. Expliquer pourquoi ce nombre ne peut pas être l'aire d'un domaine du plan.

3. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$.

On veut encadrer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx}$, dont on connaît la valeur exacte ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, par la méthode des rectangles. Pour un entier $n\ge 1$, on découpe $[0;1]$ en $n$ intervalles de même longueur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ : le $k$-ième intervalle est $[{\displaystyle \frac{k}{n}};{\displaystyle \frac{k+1}{n}}]$, pour $k$ allant de $0$ à $n-1$.

La fonction carré $f:x\mapsto x^2$ étant croissante sur $[0;1]$, sur chacun de ces intervalles son minimum est atteint à gauche et son maximum à droite. On pose alors :

• $s_n$ = somme des aires des $n$ rectangles « sous la courbe », de largeur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ et de hauteurs $f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ ;

• $S_n$ = somme des aires des $n$ rectangles « au-dessus de la courbe », de largeur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ et de hauteurs $f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$ pour $k$ allant de $1$ à $n$.

1. Justifier soigneusement l'encadrement $s_n\le I\le S_n$.

2. Calculer $s_5$ et $S_5$ à la main, sous forme de fractions puis en écriture décimale. Vérifier que l'on obtient bien un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

3. Montrer que, pour tout entier $n\ge 1$ :

   $$S_n-s_n={\displaystyle \frac{f(1)-f(0)}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$

4. Compléter les trois pointillés du programme Python suivant pour que rectangles(n) renvoie le couple $(s_n;S_n)$ :

   def f(x):
       return x**2
   
   def rectangles(n):
       s = 0
       S = 0
       for k in range(n):
           s = s + ...
           S = S + ...
       return ...
   

5. Quelle valeur de $n$ garantit un encadrement de $I$ d'amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-2}$ ?

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

1. Calculer $I_0$.

2. Vérifier que, pour tout $x\in [0;1]$, ${\displaystyle \frac{x}{1+x}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}$, et en déduire la valeur de $I_1$.

3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$I_n+I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\mathrm{.}$$

4. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et que tous ses termes sont positifs. En déduire qu'elle converge.

5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\le I_n\le {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.

6. Approfondissement. En utilisant la relation de la question 3 pour $n=0$, $1$, $2$ puis $3$, exprimer $I_4$ en fonction de $\ln 2$. En déduire, à l'aide de la question 5, un encadrement de $\ln 2$ par deux fractions.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera justifiée à l'aide d'un théorème du cours ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple explicite.

a. « Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=0}$, alors $f$ est nulle sur $[a;b]$. »

b. « Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a;b]$ (avec $a<b$) et si $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in [a;b]$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx}$. »

c. « Si $f$ est continue sur $[0;2]$ et ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx\ge 0}$, alors $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in [0;2]$. »

d. « Toute fonction $f$ continue sur $[a;b]$ (avec $a<b$) atteint sa valeur moyenne : il existe $c\in [a;b]$ tel que $f(c)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$. »

e. « ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}dx={\left[{\mathrm{e}}^{x^2}\right]}_0^1=\mathrm{e}-1}$. »

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=(2x-1){\mathrm{e}}^{-x}$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x\in [0;3]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;3]$. On précisera les valeurs de $f$ aux bornes et au point où le maximum est atteint.

2. Étudier le signe de $f(x)$ sur $[0;3]$.

3. Vérifier que la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x)=-(2x+1){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{1\mathrm{/}2}f(x)dx}$ et ${\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^{3}f(x)dx}$. On donnera les valeurs exactes.

5. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose :

1. Calculer $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.

2. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier $n\ge 1$ :

   $$I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n\mathrm{.}$$

3. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et que tous ses termes sont positifs.

4. Montrer que, pour tout entier $n\ge 1$, $0\le I_n\le {\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{n+1}}$. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.

5. En déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n{I}_n$.