Devoir surveillé — Calcul intégral

Calculer les intégrales suivantes. On donnera les valeurs exactes et on détaillera les calculs (primitive utilisée, valeurs aux bornes).

On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

$$F(x)={\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t^2}dt\mathrm{.}$$

1. Justifier que $F$ est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et déterminer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x\ge 0$. (1 pt)

2. En déduire le sens de variation de $F$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. (0,5 pt)

3. À l'aide d'une primitive de $t\mapsto t{\mathrm{e}}^{-t^2}$, montrer que pour tout réel $x\ge 0$ :

   $$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})\mathrm{.}$$

   (1,5 pts)

4. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)$ et interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe représentative de $F$. (1 pt)

Dans un repère orthogonal d'unités graphiques $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée, on considère la parabole $\mathcal{P}$, courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+2x+3$, et la droite $\mathcal{D}$, représentation graphique de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x+1$.

1. Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=-x^2+x+2$, puis étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $\mathbb{R}$. En déduire la position relative de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}$. (1,5 pts)
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes pour $x\in [-1;2]$ (domaine hachuré sur la figure). (1,5 pts)
3. Exprimer cette aire en ${\text{cm}}^2$. (0,5 pt)
4. Calculer la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f-g$ sur l'intervalle $[-1;2]$, puis interpréter graphiquement ce résultat. (1,5 pts)

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

$$I_n={\int }_1^{\mathrm{e}}(\ln x{)}^{n}dx,$$

avec la convention $(\ln x{)}^0=1$ pour tout $x\in [1;\mathrm{e}]$.

1. Calculer $I_0$. (0,5 pt)

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$ (on pourra écrire $\ln x=1\times \ln x$). (1 pt)

3. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n$ :

   $$I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n\mathrm{.}$$

   (1,5 pts)

4. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et que, pour tout entier naturel $n$, $I_n\ge 0$. (1 pt)

5. Déduire de la relation de la question 3 que pour tout entier naturel $n$ :

   $$0\le I_n\le {\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{n+1}},$$

   puis déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n$. (1 pt)

6. En déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n{I}_n$. (1 pt)