Exercices — Triangles : cas d'égalité et cosinus

Les triangles $ABC$ et $MNP$ ci-dessus sont égaux, avec $AB=MN$, $BC=NP$ et $CA=PM$. On donne $AB=5$ cm, $BC=7$ cm et $\widehat{BAC}={74}^{\circ }$.

1. Citer les trois paires de sommets homologues de ces deux triangles.

2. En déduire, sans mesurer, les longueurs $MN$ et $NP$, puis la mesure de l'angle $\widehat{NMP}$.

Les codages de la figure indiquent les égalités suivantes.

Pour chaque paire, dire si les deux triangles sont égaux et, si oui, nommer le cas d'égalité utilisé.

Aucune figure n'est donnée. Pour chacune des quatre situations suivantes, dire si l'affirmation « ces données permettent d'affirmer que les deux triangles sont égaux » est vraie ou fausse, puis justifier : citer le cas d'égalité utilisé, ou expliquer pourquoi on ne peut pas conclure.

$ABCD$ est un quadrilatère tel que $AB=AD$ et $CB=CD$ (une forme de « cerf-volant »). On trace la diagonale $[AC]$.

1. Démontrer que les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux.

2. En déduire que $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

3. Démontrer que la demi-droite $[AC)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$.

$H$ est le milieu d'un segment $[AB]$ et $(d)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$. $M$ est un point de $(d)$ distinct de $H$.

1. Démontrer que les triangles $AMH$ et $BMH$ sont égaux.

2. En déduire que $MA=MB$.

3. Comment s'appelle la droite $(d)$ pour le segment $[AB]$ ? Quelle propriété du cours vient-on de redémontrer ?

$ABCD$ est un parallélogramme et l'on trace sa diagonale $[AC]$. L'objectif de cet exercice est de démontrer une propriété du cours : les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.

1. Rappeler pourquoi $(AB)\parallel (CD)$ et $(AD)\parallel (BC)$.

2. Les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(AC)$. Justifier que $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$.

3. Justifier de même que $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$.

4. Démontrer que les triangles $ABC$ et $CDA$ sont égaux.

5. En déduire que $AB=CD$ et $BC=DA$.

On considère les trois triangles rectangles ci-dessus : $RST$ rectangle en $S$, $EFG$ rectangle en $G$ et $KLM$ rectangle en $L$.

Pour chacun d'eux :

1. nommer l'hypoténuse ;

2. nommer le côté adjacent à l'angle marqué sur la figure ($\widehat{R}$ dans $RST$, $\widehat{F}$ dans $EFG$, $\widehat{M}$ dans $KLM$).

1. Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$. Sans calcul, exprimer $\cos (\widehat{D})$ puis $\cos (\widehat{F})$ en fonction des longueurs $DE$, $EF$ et $DF$.

2. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=6$ cm et $AC=10$ cm. Calculer $\cos (\widehat{A})$.

3. Expliquer pourquoi le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est toujours strictement inférieur à $1$.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AC=8$ cm et $\widehat{BAC}={35}^{\circ }$. Calculer $AB$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$, avec $DE=12$ m et $\widehat{EDF}={52}^{\circ }$. Calculer $DF$, arrondi au dixième de mètre.

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$, avec $GH=5$ cm et $\widehat{HGI}={40}^{\circ }$.

1. Calculer $GI$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Sans faire aucun calcul, expliquer pourquoi l'hypoténuse trouvée est forcément plus grande que le côté de $5$ cm donné dans l'énoncé.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, avec $MN=\mathrm{4,5}$ cm et $MP=7$ cm.

1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{NMP}$, arrondie au degré.

2. En déduire, sans calculatrice, une mesure approchée de l'angle $\widehat{MPN}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse.

1. « Il existe un angle aigu dont le cosinus vaut $\mathrm{1,2}$. »

2. « Dans un triangle rectangle, plus l'angle aigu est grand, plus son cosinus est petit. » (On pourra faire des essais à la calculatrice.)

3. « Si $\cos (\widehat{A})=\mathrm{0,5}$, alors $\widehat{A}={60}^{\circ }$. »

4. « Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$, avec $RS=3$ cm et $RT=5$ cm, on a $\cos (\widehat{SRT})={\displaystyle \frac{5}{3}}$. »

Une rampe d'accès de $6$ m de long est posée sur un sol horizontal : elle fait un angle de ${\mathrm{4,6}}^{\circ }$ avec le sol.

1. Calculer la longueur occupée au sol par la rampe, arrondie au centimètre.

2. À l'aide du théorème de Pythagore et de la valeur arrondie trouvée à la question 1, en déduire la hauteur atteinte par le haut de la rampe, arrondie au centimètre.

3. La réglementation impose qu'une telle rampe ne dépasse pas une hauteur de $\mathrm{0,50}$ m. Cette rampe est-elle conforme ?

Pour installer une tyrolienne, on tend un câble de $25$ m entre le sommet d'un mât vertical et un point d'ancrage $A$ situé au sol, à $24$ m du pied du mât. Le sol est horizontal.

1. Calculer la mesure de l'angle que fait le câble avec le sol, arrondie au degré.

2. La notice d'installation exige que cet angle ne dépasse pas ${20}^{\circ }$, pour que la descente ne soit pas trop rapide. Cette installation est-elle conforme ?

3. Sans calculatrice, en déduire une mesure approchée de l'angle que fait le câble avec le mât, au sommet.

$ABCD$ est un losange de côté $6$ cm. Ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $O$, et $AC=\mathrm{9,6}$ cm.

On rappelle qu'un losange est un parallélogramme, et que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

1. Démontrer que les triangles $ABO$ et $ADO$ sont égaux.

2. En déduire que $\widehat{AOB}={90}^{\circ }$.

3. Calculer $\cos (\widehat{BAO})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAO}$ arrondie au degré.

4. En déduire une mesure approchée de l'angle $\widehat{BAD}$ du losange.