Devoir surveillé — Triangles : cas d'égalité et cosinus

Pour cet exercice, la calculatrice n'est pas autorisée. Pour les questions a. à c., on considère un triangle $RST$ rectangle en $T$.

a. (1 pt) Nommer l'hypoténuse de ce triangle, puis le côté adjacent à l'angle $\widehat{R}$.

b. (1 pt) Écrire la relation qui définit $\cos \left(\widehat{R}\right)$ avec les longueurs des côtés du triangle.

c. (1 pt) Un élève annonce que $\cos \left(\widehat{R}\right)=\mathrm{1,3}$. Expliquer pourquoi c'est impossible.

d. (1 pt) Citer les trois cas d'égalité des triangles (des énoncés courts sont acceptés).

Les triangles de la figure ne sont pas dessinés en vraie grandeur. Pour chaque paire de triangles, dire si l'on peut affirmer que les triangles sont égaux. Si oui, citer le cas d'égalité utilisé ; si non, expliquer pourquoi on ne peut pas conclure. Justifier soigneusement.

1. (2 pts) Paire 1 : les triangles $ABC$ et $DEF$, avec $AB=DE=5$ cm, $AC=DF=3$ cm et $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}={40}^{\circ }$.
2. (2 pts) Paire 2 : les triangles $GHI$ et $JKL$, avec $GH=JK=6$ cm, $GI=JL=4$ cm et $\widehat{GHI}=\widehat{JKL}={35}^{\circ }$.

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $M$ est le milieu du segment $[BC]$. L'objectif de l'exercice est de démontrer que les droites $(AM)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. On pourra s'appuyer sur une figure à main levée.

1. (1,5 pt) Démontrer que les triangles $ABM$ et $ACM$ sont égaux.
2. (1,5 pt) En déduire que $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$.
3. (1 pt) Justifier que $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^{\circ }$, puis en déduire que $(AM)\perp (BC)$.

Les deux triangles de la figure ne sont pas dessinés en vraie grandeur. On attend une rédaction complète pour les questions 1 et 2.

1. (1,5 pt) Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DF=9$ cm et $\widehat{EDF}={28}^{\circ }$. Calculer la longueur $DE$, arrondie au dixième de centimètre.
2. (2 pts) Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, avec $KL=\mathrm{5,2}$ cm et $KM=9$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{LKM}$, arrondie au degré.
3. (1 pt) Sans utiliser la calculatrice, déduire de la question 2 la mesure de l'angle $\widehat{KML}$, arrondie au degré.

Un toboggan doit être installé dans un jardin. Il est constitué d'une échelle verticale $[AB]$ et d'une rampe de glisse $[BC]$ de longueur $\mathrm{3,50}$ m. Le sol est horizontal, $A$ est le pied de l'échelle et la rampe fait avec le sol un angle $\widehat{BCA}={26}^{\circ }$. L'échelle étant verticale et le sol horizontal, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

1. (1,5 pt) Calculer la distance $AC$ entre le pied de l'échelle et le bas de la rampe, arrondie au centimètre.
2. (1,5 pt) Calculer la hauteur $AB$ de l'échelle, arrondie au centimètre. On utilisera la valeur de $AC$ trouvée à la question 1.
3. (0,5 pt) La notice précise que, pour des enfants de moins de $6$ ans, la hauteur de l'échelle ne doit pas dépasser $\mathrm{1,60}$ m. Ce toboggan convient-il à des enfants de moins de $6$ ans ? Justifier.