Exercices — Statistiques et probabilités

On a demandé aux $25$ élèves d'une classe de 4e quel était leur fruit préféré. Les réponses sont regroupées dans le tableau ci-dessous, mais une case a été effacée.

1. Recopier et compléter le tableau.

2. Calculer la fréquence de chaque fruit sous forme de fraction (simplifiée quand c'est possible).

3. Exprimer chacune de ces fréquences en pourcentage.

4. Vérifier que la somme des fréquences vaut $1$, c'est-à-dire 100 %.

On a interrogé les $40$ élèves de deux classes sur leur activité préférée pendant la pause de midi. Le tableau ci-dessous donne les effectifs ; la première ligne est complétée en exemple.

1. Recopier et compléter le tableau.

2. Quelle proportion des élèves a choisi le sport ? Exprimer la réponse par une fraction la plus simple possible, puis par une phrase.

3. Une activité a été choisie par 15 % des élèves. Laquelle ? Combien d'élèves cela représente-t-il ?

Le diagramme circulaire ci-dessous représente les sports préférés des $120$ élèves de 4e d'un collège. Les angles des secteurs sont indiqués sur la figure.

a. Vérifier que la somme des angles des quatre secteurs fait bien ${360}^{\circ }$.

b. Quelle fraction des élèves préfère le football ? Donner la fraction la plus simple possible.

c. Calculer l'effectif correspondant à chaque sport.

d. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des élèves qui préfèrent le tennis ? Arrondir au dixième.

On a demandé aux $72$ élèves de 4e d'un collège comment ils viennent en cours le matin. Voici les résultats :

1. Par quel nombre faut-il multiplier chaque effectif pour obtenir l'angle du secteur correspondant ? Recopier et compléter le tableau.

2. Construire le diagramme circulaire représentant cette répartition (utiliser le compas et le rapporteur, et écrire le nom de chaque secteur).

a. Voici les cinq notes de Sarah en histoire ce trimestre : $8$ ; $11$ ; $13$ ; $14$ ; $9$. Calculer sa moyenne.

b. Un météorologue a relevé la température, en °C, chaque matin pendant une semaine de février :

Calculer la température moyenne de la semaine.

c. Après trois contrôles de mathématiques, Tom a obtenu $10$, $11$ et $13$. Quelle note doit-il obtenir au quatrième contrôle pour avoir exactement $12$ de moyenne ?

On a demandé aux élèves d'un groupe combien de SMS ils avaient envoyés la veille au soir. Les réponses sont regroupées dans le tableau :

1. Combien d'élèves ont été interrogés ?

2. Léa calcule ${\displaystyle \frac{0+1+2+3+4}{5}}=2$ et affirme que la moyenne de la série est $2$. Expliquer pourquoi son calcul est faux.

3. Calculer la moyenne pondérée du nombre de SMS envoyés par élève.

4. Comparer le résultat avec celui de Léa et expliquer la différence.

En mathématiques, la moyenne du trimestre de Malo est calculée avec des coefficients. Voici ses notes actuelles :

1. Calculer la moyenne pondérée actuelle de Malo.

2. Un dernier contrôle, de coefficient $2$, aura lieu avant la fin du trimestre. Quelle note Malo doit-il obtenir pour que sa moyenne du trimestre soit exactement $12$ ?

a. Voici les tailles, en cm, des $9$ joueuses d'une équipe de basket :

Ordonner cette série, puis déterminer sa médiane.

b. On a relevé le temps de trajet, en minutes, entre le domicile et le collège de $10$ élèves :

Déterminer la médiane de cette série.

c. Kevin affirme : « Pas besoin d'ordonner la série de la question a. : comme il y a $9$ valeurs, la médiane est la 5e valeur de la liste, donc $151$ cm. » Expliquer son erreur.

Une petite entreprise de menuiserie emploie $8$ personnes, dirigeant compris. Voici les salaires mensuels nets, en euros, rangés dans l'ordre croissant (le dernier est celui du dirigeant) :

1. Calculer le salaire mensuel moyen dans cette entreprise.

2. Déterminer le salaire médian.

3. Combien de personnes gagnent moins que le salaire moyen ?

4. Un candidat à l'embauche demande : « Quel est le salaire typique dans votre entreprise ? » Quel indicateur, la moyenne ou la médiane, représente le mieux ce salaire typique ? Justifier.

Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition des notes (sur $10$) obtenues par les élèves d'une classe lors d'un contrôle de mathématiques.

1. Vérifier que la classe compte $25$ élèves.

2. Calculer la fréquence de la note $7$, sous forme de fraction puis en pourcentage.

3. Calculer la note moyenne de la classe.

4. Déterminer la note médiane. On expliquera la démarche.

5. Comparer la moyenne et la médiane de cette série. Que remarque-t-on ?

Une urne contient $10$ boules numérotées de $1$ à $10$. Les boules numérotées de $1$ à $4$ sont rouges, les boules numérotées de $5$ à $10$ sont bleues. On tire une boule au hasard et on lit son numéro.

1. Expliquer pourquoi ce tirage est une expérience aléatoire.

2. Faire la liste de toutes les issues de cette expérience.

3. Pour chacun des événements suivants, écrire la liste des issues qui le réalisent :

   a. A : « obtenir un nombre pair » ;

   b. B : « obtenir une boule rouge ».

4. Donner un exemple d'événement certain, puis un exemple d'événement impossible.

5. Les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont-ils contraires l'un de l'autre ? Et les événements « obtenir une boule rouge » et « obtenir un nombre pair » ? Justifier chaque réponse.

1. On lance un dé classique à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. Pour chaque événement, dire s'il est certain, impossible, ou ni l'un ni l'autre :

   a. « obtenir un nombre inférieur ou égal à $6$ » ;

   b. « obtenir $7$ » ;

   c. « obtenir un nombre pair ».

2. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes (du $7$ à l'as, dans les quatre couleurs habituelles). Mêmes questions pour :

   a. « tirer une carte rouge ou noire » ;

   b. « tirer un $5$ » ;

   c. « tirer un roi ».

3. Décrire en français l'événement contraire de chacun des événements suivants :

   a. avec le dé : « obtenir au moins $3$ » ;

   b. avec le dé : « obtenir un nombre pair » ;

   c. avec les cartes : « tirer un cœur » ;

   d. avec les cartes : « tirer une figure (valet, dame ou roi) ».

4. À un jeu de tombola, la probabilité de gagner un lot est $\mathrm{0,4}$. Quelle est la probabilité de ne rien gagner ?

Dans chaque situation, toutes les issues ont la même probabilité.

1. On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. Calculer :

   a. la probabilité d'obtenir un nombre pair ;

   b. la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$.

2. Une urne contient $2$ boules rouges, $5$ boules bleues et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité d'obtenir chaque couleur, sous forme de fraction puis en pourcentage.

3. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Calculer :

   a. la probabilité de tirer un roi ;

   b. la probabilité de tirer un cœur.

1. À la kermesse de l'école, une roue de loterie est partagée en quatre secteurs de tailles différentes : rouge, bleu, vert et jaune. La roue est lancée et on note la couleur du secteur qui s'arrête devant le repère. On sait que :

   $$P(\text{rouge})=\mathrm{0,4}P(\text{bleu})=\mathrm{0,25}P(\text{vert})=\mathrm{0,15}$$

   a. Calculer la probabilité que la roue s'arrête sur le secteur jaune. Justifier.

   b. Calculer la probabilité que la roue ne s'arrête pas sur le rouge, en utilisant l'événement contraire.

   c. Exprimer la probabilité du secteur jaune sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.

2. Un osselet peut retomber sur quatre positions notées S, I, K et D, qui n'ont pas toutes la même chance de se produire. En le lançant un très grand nombre de fois, on admet que :

   $$P(\text{S})=\mathrm{0,45}P(\text{I})=\mathrm{0,35}P(\text{K})=\mathrm{0,15}$$

   a. En déduire la probabilité de la position D.

   b. Tom affirme qu'avec un autre osselet, plus déséquilibré, on aurait $P(\text{S})=\mathrm{1,2}$. Expliquer pourquoi c'est impossible.

Une cible carrée est quadrillée en $16$ cases identiques : $2$ cases sont rouges, $6$ cases sont bleues et $8$ cases sont grises.

On lance une fléchette qui atteint la cible au hasard : chaque point de la cible a la même chance d'être atteint, et la fléchette touche toujours la cible.

1. Justifier que la probabilité de toucher une case rouge est ${\displaystyle \frac{2}{16}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

2. Calculer la probabilité de toucher une case bleue, puis une case grise. Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

3. Vérifier que la somme des trois probabilités trouvées vaut $1$. Pourquoi était-ce prévisible ?

4. Calculer la probabilité de ne pas toucher une case grise, en utilisant l'événement contraire.

5. Exprimer la probabilité de toucher une case bleue en pourcentage.

Le foyer du collège a interrogé les $24$ élèves du club lecture sur le nombre de livres lus pendant le premier trimestre. Voici les résultats :

1. Calculer la fréquence des élèves n'ayant lu aucun livre, puis celle des élèves ayant lu exactement $3$ livres. Donner chaque résultat sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.

2. Calculer le nombre moyen de livres lus par élève.

3. Déterminer la médiane de cette série. On expliquera la démarche.

4. Le foyer veut représenter ces résultats par un diagramme circulaire. Calculer l'angle de chaque secteur (on pourra d'abord déterminer l'angle qui correspond à un élève).

Partie A. Dans une classe de $20$ élèves ($12$ filles et $8$ garçons), la moyenne d'un contrôle de mathématiques est $\mathrm{11,2}$. La moyenne des $12$ filles est $12$.

1. Calculer la somme des notes de toute la classe, puis la somme des notes des filles.

2. En déduire la moyenne des $8$ garçons.

3. Le professeur annonce que la médiane de la classe est $\mathrm{11,5}$. On range les $20$ notes dans l'ordre croissant. Que peut-on dire des notes des 10e et 11e élèves de ce classement ? Peut-on connaître ces deux notes avec certitude ? Justifier.

Partie B. Le professeur mélange les $20$ copies et en tire une au hasard.

4. Calculer la probabilité que ce soit la copie d'une fille. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en écriture décimale.

5. En déduire, à l'aide de l'événement contraire, la probabilité que ce soit la copie d'un garçon.

6. Exprimer ces deux probabilités en pourcentage.