Exercices — Racine carrée et théorème de Pythagore

1. Calculer les carrés suivants :

   a. $8^2$

   b. ${12}^2$

   c. $(-9{)}^2$

   d. ${\mathrm{0,5}}^2$

   e. ${11}^2$

   f. ${30}^2$

2. Donner, sans calculatrice, les racines carrées suivantes :

   a. $\sqrt{49}$

   b. $\sqrt{121}$

   c. $\sqrt{1}$

   d. $\sqrt{0}$

   e. $\sqrt{144}$

   f. $\sqrt{10000}$

1. À la calculatrice, donner l'arrondi au centième de chacune des racines carrées suivantes :

   a. $\sqrt{7}$

   b. $\sqrt{40}$

   c. $\sqrt{150}$

   d. $\sqrt{2}$

   e. $\sqrt{85}$

   f. $\sqrt{300}$

2. Le nombre $\sqrt{56}$ est-il un nombre entier ? Justifier.

3. Entre quels entiers consécutifs le nombre $\sqrt{56}$ est-il compris ? Justifier sans calculatrice, en calculant $7^2$ et $8^2$.

1. Un jardin carré a une aire de $169{\text{m}}^2$. Quelle est la longueur de son côté ?

2. Une terrasse carrée a une aire de $90{\text{m}}^2$. Donner la longueur de son côté arrondie au dixième de mètre.

3. Bonus. Quelle longueur de grillage faut-il pour entourer complètement le jardin de la question 1 ?

Pour chacun des trois triangles rectangles ci-dessus :

1. nommer l'hypoténuse ;

2. écrire l'égalité donnée par le théorème de Pythagore (aucun calcul n'est demandé).

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=9$ cm et $AC=12$ cm. Calculer $BC$.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DE=8$ m et $EF=15$ m. Calculer $DF$.

1. Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, avec $MN=7$ cm et $NP=4$ cm. Calculer $MP$ : donner d'abord la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième de centimètre.

2. Un rectangle a pour dimensions $6$ cm et $9$ cm. Calculer la longueur de l'une de ses diagonales, arrondie au dixième de centimètre.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AC=25$ cm et $AB=24$ cm. Calculer $BC$.

2. Le triangle $IJK$ est rectangle en $K$, avec $IJ=\mathrm{6,5}$ m et $IK=\mathrm{2,5}$ m. Calculer $JK$.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $BC=10$ cm et $AC=8$ cm. Léa doit calculer $AB$. Voici sa copie :

« Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{B}^2={10}^2+8^2=100+64=164$. Donc $AB=\sqrt{164}\approx \mathrm{12,8}$ cm. »

1. La réponse de Léa est-elle correcte ? Expliquer son erreur.

2. Rédiger le calcul correct et donner la valeur de $AB$.

3. Sans refaire aucun calcul, quel détail du résultat de Léa aurait dû lui mettre la puce à l'oreille ?

Pour chacun des triangles suivants, donnés par les longueurs de leurs trois côtés, déterminer s'il est rectangle. Si oui, préciser en quel sommet se trouve l'angle droit.

1. Le triangle $ABC$ tel que $AB=20$ cm, $BC=21$ cm et $AC=29$ cm.

2. Le triangle $DEF$ tel que $DE=\mathrm{5,6}$ m, $EF=\mathrm{3,3}$ m et $DF=\mathrm{6,5}$ m.

3. Le triangle $GHI$ tel que $GH=6$ cm, $HI=7$ cm et $GI=9$ cm.

1. Le triangle $RST$ est tel que $RS=4$ cm, $ST=5$ cm et $RT=6$ cm. Démontrer que ce triangle n'est pas rectangle.

2. Un charpentier assemble un cadre en bois : deux montants de $45$ cm et $60$ cm forment un coin, et il mesure la diagonale qui relie leurs extrémités : il trouve $76$ cm. L'angle du coin est-il droit ? Justifier.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse par un calcul.

1. « $\sqrt{36}+\sqrt{64}=\sqrt{100}$. »

2. « Un triangle dont les côtés mesurent $9$ cm, $12$ cm et $15$ cm est rectangle. »

3. « Dans le triangle $ABC$ tel que $AB=2$ cm, $AC=3$ cm et $BC=4$ cm, l'angle $\widehat{BAC}$ est droit. »

4. « Le double de $\sqrt{25}$ est $\sqrt{50}$. »

Un écran de télévision rectangulaire mesure $124$ cm de large et $70$ cm de haut. La « taille » d'un écran, annoncée par les fabricants, est la longueur de sa diagonale, exprimée en pouces ($1$ pouce $=\mathrm{2,54}$ cm).

1. Calculer la longueur de la diagonale de cet écran, arrondie au centimètre.

2. En déduire la taille de cet écran en pouces, arrondie à l'unité.

Une échelle de $\mathrm{5,5}$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est placé à $\mathrm{1,5}$ m du bas du mur, sur un sol horizontal.

1. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Donner la valeur exacte, puis l'arrondi au centimètre.

2. Pour des raisons de sécurité, le haut de l'échelle doit atteindre une hauteur d'au moins $\mathrm{5,3}$ m. Cette installation convient-elle ? Sinon, que faudrait-il faire ?

Sur la figure ci-dessous, les triangles $ABC$ et $ACD$ sont accolés le long du côté $[AC]$ :

• le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=6$ cm et $BC=\mathrm{4,5}$ cm ;
• le triangle $ACD$ est rectangle en $C$, avec $CD=10$ cm.

1. Calculer la longueur $AC$.

2. En déduire la longueur $AD$.

Le quadrilatère $KITE$ ci-dessous représente un cerf-volant. Ses diagonales $[IE]$ et $[KT]$ se coupent au point $H$. On donne :

• $KI=IT=2$ dm ;
• $KT=\mathrm{2,4}$ dm, et $H$ est le milieu de $[KT]$ ;
• $IE=\mathrm{5,2}$ dm et $IH=\mathrm{1,6}$ dm.

1. Démontrer que le triangle $KIH$ est rectangle en $H$. Que peut-on en déduire pour les diagonales du cerf-volant ?

2. Calculer $HE$, puis en déduire la longueur $KE$, arrondie au dixième de décimètre.

3. Calculer l'aire du cerf-volant $KITE$.