Devoir surveillé — Racine carrée et théorème de Pythagore

1. (1,5 pt — 0,25 pt par racine) Sans calculatrice, donner la valeur de chacune des racines carrées suivantes.

   a. $\sqrt{64}$

   b. $\sqrt{100}$

   c. $\sqrt{144}$

   d. $\sqrt{1}$

   e. $\sqrt{25}$

   f. $\sqrt{81}$

2. (1,5 pt — 0,5 pt par question) On s'intéresse au nombre $\sqrt{60}$.

   a. Le nombre $\sqrt{60}$ est-il un nombre entier ? Justifier.

   b. Entre quels nombres entiers consécutifs le nombre $\sqrt{60}$ se trouve-t-il ? Justifier.

   c. Donner l'arrondi au dixième de $\sqrt{60}$ (la calculatrice est autorisée pour cette question uniquement).

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=\mathrm{4,5}$ cm et $AC=6$ cm.

1. (3 pts) Calculer la longueur $BC$. On attend une rédaction complète (citer le théorème utilisé et détailler les calculs).
2. (1 pt) Avant tout calcul, un élève affirme : « l'hypoténuse de ce triangle mesure moins de $6$ cm ». Expliquer, sans faire de calcul, pourquoi cette affirmation est impossible.

1. (2,5 pts) Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$, avec $DE=\mathrm{8,5}$ m et $DF=4$ m. Calculer la longueur $EF$. On attend une rédaction complète.
2. (2,5 pts) Un câble de $13$ m relie le sommet d'un mât vertical au sol. Il est ancré au sol à $5$ m du pied du mât. Calculer la hauteur du mât. On attend une rédaction complète.

Dans chaque cas, dire si le triangle est rectangle ou non. Justifier par des calculs et une rédaction complète.

1. (2 pts) Le triangle $RST$ tel que $RS=\mathrm{10,5}$ cm, $ST=14$ cm et $RT=\mathrm{17,5}$ cm.
2. (2 pts) Le triangle $UVW$ tel que $UV=6$ cm, $VW=8$ cm et $UW=11$ cm.

La figure représente la façade d'une cabane, vue de face : un mur rectangulaire surmonté d'un toit en forme de triangle isocèle. La cabane a une largeur de $3$ m. On note $A$ et $B$ les deux coins supérieurs du mur, $M$ le milieu de $[AB]$ et $S$ le sommet du toit. Le sommet $S$ est situé exactement à la verticale de $M$, à $1$ m au-dessus du haut des murs.

1. (1 pt) Justifier que le triangle $SMA$ est rectangle en $M$.
2. (2 pts) Calculer la longueur $SA$ d'un versant du toit. Donner la valeur exacte, puis l'arrondi au centimètre.
3. (1 pt) Les deux versants du toit doivent être entièrement recouverts de tôle. La cabane a une profondeur de $4$ m. Quelle surface de tôle faut-il prévoir, arrondie au mètre carré ? Justifier le choix de l'arrondi.