Exercices — Puissances

1. Écrire chaque produit sous la forme d'une puissance :

   a. $7\times 7\times 7\times 7\times 7$

   b. $\mathrm{3,5}\times \mathrm{3,5}$

   c. $(-2)\times (-2)\times (-2)$

   d. $10\times 10\times 10\times 10$

   e. $\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}$

   f. $(-\mathrm{1,5})\times (-\mathrm{1,5})\times (-\mathrm{1,5})\times (-\mathrm{1,5})$

2. Écrire chaque puissance sous la forme d'un produit, sans effectuer le calcul :

   a. $4^3$

   b. ${\mathrm{2,7}}^4$

   c. $(-6{)}^5$

   d. $8^1$

3. On considère l'écriture ${13}^9$. Préciser la base et l'exposant, puis répondre en une phrase : de combien de facteurs le produit correspondant est-il composé, et quels sont ces facteurs ?

1. Calculer :

   a. $2^5$

   b. $3^4$

   c. ${10}^4$

   d. $5^1$

   e. $1^7$

   f. $0^3$

   g. ${\mathrm{0,1}}^2$

   h. ${\mathrm{0,2}}^3$

   i. $6^2$

2. Léo affirme : « $2^5=10$, car $2\times 5=10$. » Expliquer son erreur, puis donner le bon résultat.

3. Quel est le plus grand des deux nombres $2^5$ et $5^2$ ? Justifier par un calcul.

1. Calculer :

   a. $(-3{)}^2$

   b. $(-3{)}^3$

   c. $(-1{)}^5$

   d. $(-1{)}^8$

   e. $(-2{)}^4$

   f. $(-2{)}^5$

   g. $(-10{)}^3$

   h. $(-\mathrm{0,5}{)}^2$

   i. $(-\mathrm{0,1}{)}^3$

2. Observer le signe des résultats de la question 1. Énoncer une règle donnant le signe de la puissance d'un nombre négatif selon la parité de l'exposant, puis la justifier à l'aide de la règle du signe d'un produit de plusieurs facteurs.

3. Sans effectuer aucun calcul, donner en une phrase le signe de chacun des nombres suivants :

   a. $(-7{)}^{15}$

   b. $(-\mathrm{3,2}{)}^{24}$

   c. $(-1{)}^{100}$

1. Calculer en détaillant les étapes :

   a. $3\times 2^3$

   b. $(3\times 2{)}^3$

   c. $5+4^2$

   d. $(5+4{)}^2$

   e. $100-5^2$

   f. $4^2-2^4$

2. Calculer $-2^4$ puis $(-2{)}^4$. Expliquer en une phrase pourquoi les deux résultats sont différents.

3. Jade affirme : « $-3^2=9$, puisqu'un nombre négatif au carré donne un résultat positif. » Expliquer son erreur et donner le bon résultat.

1. Écrire chaque nombre sous la forme d'une puissance de $10$ :

   a. $10000$

   b. $1000000$

   c. un milliard

   d. $100$

   e. $10$

   f. $1$

2. Donner l'écriture décimale de chaque puissance :

   a. ${10}^5$

   b. ${10}^0$

   c. ${10}^1$

   d. ${10}^3$

   e. ${10}^7$

3. Recopier et compléter chaque phrase :

   a. Un million s'écrit ${10}^{\dots }$.

   b. ${10}^9$ se lit « un $\dots$ ».

   c. L'écriture décimale de ${10}^{12}$ est un $1$ suivi de $\dots$ zéros.

1. Écrire chaque nombre sous la forme d'une puissance de $10$ :

   a. $\mathrm{0,001}$

   b. $\mathrm{0,000}01$

   c. $\mathrm{0,1}$

   d. $\mathrm{0,000}0001$

2. Donner l'écriture décimale de chaque puissance :

   a. ${10}^{-4}$

   b. ${10}^{-7}$

   c. ${10}^{-2}$

3. Écrire chaque puissance sous la forme d'une fraction de numérateur $1$, de deux façons : avec une puissance de $10$ au dénominateur, puis avec son écriture décimale.

   a. ${10}^{-3}$

   b. ${10}^{-6}$

4. Ranger les nombres suivants par ordre croissant : ${10}^{-4}$ ; ${10}^2$ ; ${10}^{-1}$ ; ${10}^0$ ; ${10}^{-6}$ ; ${10}^3$.

1. Écrire chaque nombre sous la forme d'une seule puissance de $10$ :

   a. ${10}^3\times {10}^5$

   b. ${10}^7\times {10}^{-2}$

   c. ${10}^{-4}\times {10}^{-3}$

   d. ${\displaystyle \frac{{10}^8}{{10}^3}}$

   e. ${\displaystyle \frac{{10}^2}{{10}^6}}$

   f. ${\displaystyle \frac{{10}^{-5}}{{10}^{-2}}}$

   g. ${\left({10}^3\right)}^2$

   h. ${\left({10}^{-2}\right)}^3$

2. Écrire $D={\displaystyle \frac{{10}^4\times {10}^{-6}}{{10}^{-3}}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$, puis donner son écriture décimale.

3. Tom écrit : « ${10}^3\times {10}^5={10}^{15}$ ». Expliquer son erreur en revenant au nombre de facteurs $10$, puis donner la bonne réponse.

1. Calculer :

   a. $\mathrm{3,25}\times {10}^3$

   b. $47\times {10}^{-2}$

   c. $\mathrm{0,8}\times {10}^4$

   d. $5600\times {10}^{-3}$

   e. $\mathrm{7,4}\times {10}^5$

   f. $\mathrm{12,5}\times {10}^{-3}$

   g. $\mathrm{0,06}\times {10}^2$

   h. $92\times {10}^{-4}$

2. Recopier et compléter avec l'exposant qui convient :

   a. $\mathrm{0,072}=\mathrm{7,2}\times {10}^{\dots }$

   b. $45000=\mathrm{4,5}\times {10}^{\dots }$

   c. $\mathrm{3,8}=3800\times {10}^{\dots }$

   d. $\mathrm{0,5}=5\times {10}^{\dots }$

3. Un cheveu a un diamètre d'environ $8\times {10}^{-2}$ mm. Écrire ce diamètre en écriture décimale, en millimètres.

On rappelle qu'un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme $a\times {10}^n$, où $a$ est un nombre décimal vérifiant $1\le a<10$ et $n$ un entier relatif.

1. Pour chacune des écritures suivantes, indiquer si elle est une notation scientifique. Lorsque ce n'est pas le cas, expliquer en une phrase pourquoi.

   a. $\mathrm{3,2}\times {10}^4$

   b. $35\times {10}^3$

   c. $\mathrm{0,8}\times {10}^{-2}$

   d. $7\times {10}^{-5}$

   e. $10\times {10}^6$

   f. $\mathrm{9,99}\times {10}^{12}$

2. Écrire chacun des nombres suivants en notation scientifique :

   a. $4500$

   b. $380000$

   c. $\mathrm{0,006}$

   d. $\mathrm{0,000}052$

1. Donner l'écriture décimale de chacun des nombres suivants :

   a. $\mathrm{6,02}\times {10}^5$

   b. $\mathrm{1,25}\times {10}^7$

   c. $\mathrm{9,46}\times {10}^{-4}$

   d. $\mathrm{3,7}\times {10}^{-6}$

2. Écrire chacun des nombres suivants en notation scientifique :

   a. $123400000$

   b. $59200$

   c. $\mathrm{0,032}$

   d. $\mathrm{0,000}00708$

3. Les écritures suivantes ne sont pas des notations scientifiques. Les réécrire en notation scientifique.

   a. $45\times {10}^6$

   b. $\mathrm{0,3}\times {10}^{-4}$

   c. $512\times {10}^{-3}$

   d. $\mathrm{0,07}\times {10}^5$

1. Dans chaque cas, comparer les deux nombres proposés (on pourra comparer d'abord les exposants, puis si besoin les premiers facteurs) :

   a. $3\times {10}^5$ et $8\times {10}^4$

   b. $\mathrm{2,7}\times {10}^{-3}$ et $\mathrm{9,1}\times {10}^{-4}$

   c. $\mathrm{4,2}\times {10}^6$ et $\mathrm{4,09}\times {10}^6$

   d. $5\times {10}^{-8}$ et $5\times {10}^{-6}$

2. Le tableau ci-dessous donne la distance moyenne de six planètes au Soleil, écrite sous des formes variées :

   Planète	Distance au Soleil
   Mercure	$57900000\text{ km}$
   Vénus	$\mathrm{1,082}\times {10}^8\text{ km}$
   Terre	$1496\times {10}^5\text{ km}$
   Mars	$228\times {10}^6\text{ km}$
   Jupiter	$\mathrm{7,78}\times {10}^8\text{ km}$
   Saturne	$\mathrm{0,143}\times {10}^{10}\text{ km}$

   a. Écrire chacune de ces six distances en notation scientifique.

   b. Ranger les six planètes de la plus proche du Soleil à la plus éloignée.

On rappelle la signification des principaux préfixes d'unités :

1. Effectuer les conversions suivantes (donner le résultat avec une puissance de $10$ quand c'est utile) :

   a. $1\text{ nm}$ en m

   b. $\mathrm{3,5}\text{ km}$ en m

   c. $6\mu \text{m}$ en m

   d. $250\text{ cm}$ en m

   e. $\mathrm{0,8}\text{ Go}$ en octets

   f. $2500000\text{ W}$ en MW

2. Associer chaque objet à son ordre de grandeur, choisi parmi : ${10}^{-7}\text{ m}$ ; ${10}^{-4}\text{ m}$ ; ${10}^2\text{ m}$ ; ${10}^6\text{ m}$.

   a. La taille d'un virus.

   b. L'épaisseur d'un cheveu.

   c. La hauteur de la tour Eiffel (environ $324\text{ m}$).

   d. La distance de Paris à Marseille (environ $750\text{ km}$).

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul, une définition ou un contre-exemple.

1. $2^3=6$.

2. $(-5{)}^2=-25$.

3. $(-2{)}^3$ est un nombre négatif.

4. ${10}^3\times {10}^4={10}^{12}$.

5. ${10}^{-2}=-100$.

6. $\mathrm{0,5}\times {10}^3$ est une notation scientifique.

7. $3^2\times 3^3=3^5$.

8. ${10}^0=0$.

Dans le vide, la lumière se déplace à la vitesse d'environ $c=3\times {10}^8\text{ m/s}$ : elle parcourt $3\times {10}^8$ mètres à chaque seconde.

1. Exprimer en kilomètres la distance parcourue par la lumière en une seconde. Quel est l'ordre de grandeur de cette distance, en km ?

2. Calculer, en mètres puis en notation scientifique, la distance parcourue par la lumière :

   a. en une minute ;

   b. en une heure ($1\text{ h}=3600\text{ s}$).

3. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. Une année dure environ $\mathrm{3,156}\times {10}^7$ secondes.

   a. Montrer qu'une année-lumière vaut environ $\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{ m}$.

   b. Exprimer cette distance en kilomètres, en notation scientifique.

   c. L'exprimer en gigamètres (Gm), sachant que $1\text{ Gm}={10}^9\text{ m}$. Que constate-t-on, même avec le plus grand des préfixes usuels ?

4. La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ $\mathrm{1,5}\times {10}^{11}\text{ m}$. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour nous parvenir ? Donner le résultat en secondes, puis en minutes et secondes.

Une feuille de papier a une épaisseur de $\mathrm{0,1}\text{ mm}$, c'est-à-dire ${10}^{-4}\text{ m}$. À chaque pliage en deux, l'épaisseur double. On suppose que l'on peut plier la feuille autant de fois que l'on veut (en réalité, le record est d'une douzaine de pliages !).

On donne : $2^{10}=1024$.

1. Justifier qu'après $3$ pliages, l'épaisseur vaut $2^3\times {10}^{-4}\text{ m}$, puis calculer cette épaisseur en mm.

2. Calculer l'épaisseur après $10$ pliages, en mètres puis en centimètres.

3. On s'intéresse à $2^{20}$, c'est-à-dire un produit de $20$ facteurs égaux à $2$. En remarquant que $2^{20}$, c'est $2^{10}\times 2^{10}$, calculer $2^{20}$, puis l'épaisseur de la feuille après $20$ pliages. Comparer à la hauteur d'un immeuble de $30$ étages (environ $100\text{ m}$).

4. Le défi. Après $42$ pliages, l'épaisseur dépasse-t-elle la distance Terre-Lune, qui vaut environ $\mathrm{3,8}\times {10}^8\text{ m}$ ?

   a. Expliquer pourquoi $2^{42}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10}\times 2^2$.

   b. En utilisant l'approximation $2^{10}=1024\approx {10}^3$, donner un ordre de grandeur de $2^{42}$ en notation scientifique.

   c. En déduire un ordre de grandeur de l'épaisseur après $42$ pliages, et conclure.