Exercices — Proportionnalité

Pour chacun des tableaux suivants, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier la réponse en calculant des quotients.

a. Prix de baguettes à la boulangerie :

b.

c. Prix de pommes au marché :

d.

Pour chacune des situations suivantes, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifier en une phrase.

a. À la station-service, l'essence coûte $\mathrm{1,80}$ € le litre. Le prix payé est-il proportionnel au volume d'essence acheté ?

b. Louis mesurait $85$ cm à $2$ ans. Sa taille est-elle proportionnelle à son âge ?

c. Un forfait téléphonique coûte $10$ € d'abonnement par mois, plus $2$ € par gigaoctet de données consommé. Le prix payé chaque mois est-il proportionnel au nombre de gigaoctets consommés ?

d. Pour un repas, on prévoit $75$ g de riz par invité. La quantité de riz est-elle proportionnelle au nombre d'invités ?

e. Le périmètre d'un carré est-il proportionnel à la longueur de son côté ?

f. Sur un site de vente en ligne, chaque tee-shirt coûte $8$ € et les frais de livraison sont de $5$ €, quel que soit le nombre de tee-shirts commandés. Le prix payé est-il proportionnel au nombre de tee-shirts ?

1. Au cinéma, toutes les places sont au même prix. Le tableau ci-dessous est donc un tableau de proportionnalité.

   Nombre de places	$2$	$5$	…	$9$
   Prix (en €)	$14$	…	$49$	…

   a. Calculer le coefficient de proportionnalité.

   b. Recopier et compléter le tableau.

2. Au marché, les pommes sont vendues au kilogramme. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité.

   Masse de pommes (en kg)	$2$	…	$6$	$11$
   Prix (en €)	$5$	$10$	…	…

   a. Calculer le coefficient de proportionnalité.

   b. Recopier et compléter le tableau.

3. Pour le tableau de la question 1, exprimer par une phrase comment calculer le prix en fonction du nombre de places.

1. Chacun des tableaux suivants est un tableau de proportionnalité. Calculer la valeur de $x$ à l'aide d'un produit en croix.

   a.

   $3$	$5$
   $12$	$x$

   b.

   $4$	$7$
   $10$	$x$

   c.

   $6$	$x$
   $9$	$24$

   d.

   $5$	$8$
   $x$	$20$

2. Pour préparer $14$ crêpes, il faut $350$ g de farine.

   a. Quelle masse de farine faut-il pour préparer $20$ crêpes ?

   b. Combien de crêpes peut-on préparer avec $900$ g de farine ?

Un pâtissier propose une recette de gâteau au yaourt pour $6$ personnes :

• $240$ g de farine ;
• $90$ g de sucre ;
• $30$ cl de lait.

Les quantités d'ingrédients sont proportionnelles au nombre de personnes. Dans cet exercice, on répondra sans poser de produit en croix, en utilisant les propriétés de linéarité.

1. Calculer les quantités de chaque ingrédient pour $3$ personnes.

2. En remarquant que $9=6+3$, en déduire les quantités de chaque ingrédient pour $9$ personnes (propriété d'additivité).

3. Calculer les quantités de chaque ingrédient pour $2$ personnes.

4. a. Quelle masse de sucre faut-il pour $1$ personne ?

   b. En déduire la masse de sucre nécessaire pour $7$ personnes.

Un randonneur marche à allure régulière : il parcourt $9\text{ km}$ en $2$ h. Comme son allure est régulière, la distance parcourue est proportionnelle à la durée de marche.

1. Quelle distance parcourt-il en $1$ h ? En $30$ min ?

2. En déduire la distance qu'il parcourt en $3$ h $30$ min.

3. Quelle durée de marche lui faut-il pour parcourir $\mathrm{22,5}\text{ km}$ ?

4. Le randonneur veut faire un parcours de $30\text{ km}$. Il part à $8$ h et doit être arrivé au plus tard à $15$ h ; il prévoit aussi $1$ h de pause pour le déjeuner. Peut-il terminer son parcours à temps ? Justifier.

1. Pour chacun des trois graphiques ci-dessous, dire s'il représente une situation de proportionnalité. Justifier la réponse.

   a.

   

   b.

   

   c.

   

2. Pour le graphique qui représente une situation de proportionnalité, déterminer le coefficient de proportionnalité.

Sur un marché, les cerises sont vendues $4$ € le kilogramme. Le tableau ci-dessous donne le prix payé pour quelques masses de cerises.

1. Vérifier par le calcul que ce tableau est un tableau de proportionnalité.

2. Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère : en abscisse la masse (en kg, $1$ cm pour $1$ kg) et en ordonnée le prix (en €, $1$ cm pour $2$ €). Placer les trois points correspondant au tableau.

3. À quoi reconnaît-on, sur le graphique, que la situation est une situation de proportionnalité ?

4. Sans faire de tracé supplémentaire, le point de coordonnées $(5;20)$ sera-t-il sur la droite ? Expliquer.

Dans une mercerie, le prix d'un tissu est proportionnel à la longueur achetée. Le graphique ci-dessous représente le prix payé (en €) en fonction de la longueur de tissu achetée (en m).

1. Comment le graphique confirme-t-il que le prix est proportionnel à la longueur achetée ?

2. Lire sur le graphique le prix de $4$ m de tissu, puis le prix de $6$ m.

3. En déduire le coefficient de proportionnalité. Que représente-t-il concrètement ?

4. Calculer (sans lecture graphique) :

   a. le prix de $11$ m de tissu ;

   b. la longueur de tissu que l'on peut acheter avec $30$ €.

1. Calculer :

   a. 10 % de $250$

   b. 25 % de $84$

   c. 50 % de $37$

   d. 20 % de $45$

   e. 5 % de $60$

   f. 75 % de $128$

2. Un collège compte $240$ élèves. 30 % d'entre eux mangent à la cantine. Combien d'élèves mangent à la cantine ?

3. Un jeu vidéo coûte $68$ €. Le vendeur accorde une remise de 15 %. Calculer le montant de la remise, puis le prix payé.

Pour chaque situation, déterminer le pourcentage demandé. On présentera la démarche : écrire la proportion, puis la ramener à une proportion « sur $100$ » (à l'aide d'un tableau de proportionnalité par exemple).

1. Dans une classe de $30$ élèves, $12$ sont gauchers. Quel pourcentage des élèves de la classe cela représente-t-il ?

2. Un collège compte $600$ élèves, dont $210$ filles. Quel est le pourcentage de filles dans ce collège ?

3. Pendant les soldes, un article passe de $80$ € à $60$ €. La remise représente quel pourcentage du prix initial ?

C'est le premier jour des soldes dans un magasin de sport. Léa s'intéresse à trois articles.

1. Article A. Une paire de baskets coûte $54$ €. L'étiquette annonce « $-30$ % ». Calculer le montant de la remise, puis le prix soldé.

2. Article B. Un sweat est affiché $42$ € : cette étiquette indique le prix après une remise de 25 %.

   a. Expliquer pourquoi le prix affiché représente 75 % du prix initial.

   b. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous, puis en déduire le prix initial du sweat.

   Pourcentage du prix initial	$75$	$100$
   Prix (en €)	$42$	$?$

3. Article C. Le prix d'un ballon passe de $35$ € à $28$ €. Quel est le pourcentage de remise appliqué ?

4. Léa achète les trois articles aux prix soldés. Combien dépense-t-elle en tout ?

On dispose d'une carte routière à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{250000}}$.

1. Expliquer en une phrase ce que signifie cette échelle.

2. Recopier et compléter le tableau suivant, en détaillant les conversions pour la première colonne :

   Distance sur la carte (cm)	$4$	$\mathrm{6,8}$	$12$
   Distance réelle (km)

3. Deux villes sont distantes de $45\text{ km}$ dans la réalité. Quelle distance, en centimètres, les sépare sur la carte ?

L'échelle d'un plan ou d'une maquette est le quotient :

où les deux longueurs sont exprimées dans la même unité.

1. Sur le plan d'un collège, un couloir de $15\text{ m}$ de long est représenté par un segment de $5\text{ cm}$. Déterminer l'échelle de ce plan, sous la forme d'une fraction de numérateur $1$.

2. Une maquette reproduit une voiture qui mesure $\mathrm{4,20}\text{ m}$ de long dans la réalité. La maquette mesure $\mathrm{10,5}\text{ cm}$ de long. Déterminer l'échelle de cette maquette, sous la forme d'une fraction de numérateur $1$.

3. Laquelle de ces deux représentations est la plus réduite par rapport à la réalité ? Justifier en comparant les deux échelles.

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=3\text{ cm}$, $AC=\mathrm{4,5}\text{ cm}$ et $BC=6\text{ cm}$.

1. On agrandit ce triangle avec le coefficient $\mathrm{2,5}$ : toutes les longueurs sont multipliées par $\mathrm{2,5}$. Calculer les longueurs des trois côtés du triangle agrandi.

2. On réalise maintenant une réduction du triangle $ABC$, dans laquelle le plus grand côté mesure $4\text{ cm}$.

   a. Déterminer le coefficient de cette réduction, sous la forme d'une fraction.

   b. Calculer les longueurs des deux autres côtés du triangle réduit.

3. Que peut-on dire des angles du triangle $ABC$ après un agrandissement ou une réduction ?

Une classe de quatrième construit la maquette de son collège à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{150}}$ : chaque longueur réelle est divisée par $150$ sur la maquette.

1. Le bâtiment principal mesure $45\text{ m}$ de long. Quelle sera sa longueur sur la maquette, en centimètres ?

2. Sur la maquette, le gymnase mesure $16\text{ cm}$ de long. Quelle est la longueur réelle du gymnase, en mètres ?

3. La cour de récréation est un rectangle de $60\text{ m}$ de long sur $\mathrm{37,5}\text{ m}$ de large. Quelles seront ses dimensions sur la maquette ?

4. Le préau de la maquette est un rectangle de $8\text{ cm}$ sur $6\text{ cm}$ : son aire est donc de $48{\text{cm}}^2$. Un élève affirme : « L'aire réelle du préau est $48\times 150=7200{\text{cm}}^2$. »

   a. Calculer les dimensions réelles du préau, puis son aire réelle en ${\text{m}}^2$.

   b. L'élève a-t-il raison ? Expliquer son erreur.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul, une propriété du cours ou un contre-exemple.

1. Dans un tableau de proportionnalité, si on double une valeur de la première grandeur, alors la valeur correspondante de la deuxième grandeur double aussi.

2. Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de son côté.

3. L'aire d'un carré est proportionnelle à la longueur de son côté.

4. 20 % de $50$ est égal à 50 % de $20$.

5. Si les points d'un graphique sont alignés avec l'origine du repère, alors le graphique traduit une situation de proportionnalité.

6. Sur une carte à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{100000}}$, $1\text{ cm}$ sur la carte représente $10\text{ km}$ dans la réalité.

Une photocopieuse permet de réduire ou d'agrandir un document. Quand on choisit le réglage $p$ %, toutes les longueurs du document sont multipliées par ${\displaystyle \frac{p}{100}}$. Par exemple, le réglage 100 % recopie le document à l'identique.

Sur un document A4, un segment mesure $12\text{ cm}$.

1. On photocopie le document avec le réglage 75 %. Quelle est la longueur du segment sur la photocopie ?

2. On photocopie le document original avec le réglage 80 %, puis on photocopie la photocopie obtenue avec le réglage 50 %.

   a. Calculer la longueur du segment après la première photocopie, puis après la seconde.

   b. Quel réglage unique aurait donné directement le même résultat à partir du document original ? Expliquer comment on peut le trouver sans refaire les deux photocopies.

3. Question ouverte. Après une photocopie au réglage 80 %, existe-t-il un réglage unique qui permette de revenir exactement à la taille du document original ? Si oui, lequel ? Justifier par un calcul.