Exercices — Opérations sur les nombres relatifs

1. Calcule les produits suivants :

   a. $(-4)\times (-7)$

   b. $6\times (-9)$

   c. $(-8)\times 5$

   d. $(-3)\times (-12)$

   e. $(-11)\times (-5)$

   f. $(-10)\times 6$

   g. $(-\mathrm{0,5})\times 8$

   h. $\mathrm{2,5}\times (-4)$

   i. $(-\mathrm{1,5})\times (-6)$

   j. $\mathrm{0,1}\times (-7)$

   k. $(-\mathrm{0,25})\times (-8)$

   l. $(-3)\times \mathrm{1,5}$

2. Recopie et complète la phrase de la règle des signes :

   « Le produit de deux nombres relatifs de même signe est $\dots$ Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est $\dots$ »

Recopie chaque égalité et remplace les pointillés par le nombre relatif qui convient.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, justifie-la à l'aide de la règle des signes. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.

1. Le produit de deux nombres négatifs est négatif.

2. Si un produit de deux facteurs est positif, alors ses deux facteurs sont positifs.

3. $(-3)+(-5)$ est positif, car « moins par moins donne plus ».

4. Si un produit de deux facteurs est négatif, alors ses deux facteurs sont de signes contraires.

5. Multiplier un nombre relatif par $-1$ revient à prendre son opposé.

6. Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est toujours inférieur au facteur négatif.

1. Calcule les produits suivants :

   a. $(-\mathrm{0,5})\times 18$

   b. $\mathrm{2,5}\times (-4)$

   c. $(-\mathrm{1,25})\times 8$

   d. $(-\mathrm{0,2})\times (-45)$

   e. $\mathrm{3,5}\times (-6)$

   f. $(-\mathrm{0,75})\times (-4)$

2. Justine doit calculer $(-\mathrm{2,5})\times 17\times 4$. Elle commence par poser la multiplication $(-\mathrm{2,5})\times 17$ et trouve le calcul pénible.

   a. Explique pourquoi on a le droit de changer l'ordre des facteurs dans ce produit, et quel regroupement rend le calcul beaucoup plus simple.

   b. Effectue le calcul avec ce regroupement.

   c. En utilisant la même astuce, calcule $\mathrm{0,5}\times (-37)\times 2$.

1. Pour chacun des produits suivants, donne son signe sans effectuer le calcul :

   a. $(-2)\times 5\times (-3)$

   b. $(-4)\times (-1)\times (-6)$

   c. $7\times (-2)\times 3$

   d. $(-1)\times (-2)\times (-3)\times (-4)$

   e. $(-5)\times 2\times (-\mathrm{0,5})\times (-8)$

   f. $(-\mathrm{1,5})\times (-2)\times 4\times (-10)\times (-3)$

   g. $6\times (-3)\times (-7)\times 2\times (-1)\times (-9)$

   h. $(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times 5$

2. Explique en une phrase la méthode qui permet de trouver le signe d'un produit sans le calculer.

Calcule les produits suivants. Pense à déterminer d'abord le signe du résultat, puis à regrouper astucieusement les facteurs pour simplifier les calculs.

Dans cet exercice, on étudie des produits dont tous les facteurs sont égaux à $-2$.

1. Calcule les produits suivants :

   a. $(-2)\times (-2)$

   b. $(-2)\times (-2)\times (-2)$

   c. $(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)$

   d. $(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)$

   e. $(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)$

2. Observe le signe des résultats obtenus à la question 1. Énonce une conjecture : quel est le signe d'un produit de facteurs tous égaux à $-2$, selon que le nombre de facteurs est pair ou impair ? Justifie ta conjecture à l'aide de la règle donnant le signe d'un produit de plusieurs facteurs.

3. Sans effectuer aucun calcul, réponds en rédigeant une phrase :

   a. Quel est le signe d'un produit de $100$ facteurs tous égaux à $-2$ ?

   b. Quel est le signe d'un produit de $101$ facteurs tous égaux à $-2$ ?

4. Mêmes questions pour un produit de $100$ facteurs tous égaux à $-\mathrm{0,5}$, puis de $101$ facteurs tous égaux à $-\mathrm{0,5}$. Le raisonnement change-t-il ?

1. Calcule les quotients suivants (ils tombent tous juste) :

   a. $(-24)÷6$

   b. $(-35)÷(-7)$

   c. $42÷(-6)$

   d. $(-56)÷(-8)$

   e. $(-81)÷9$

   f. $(-100)÷(-4)$

   g. $(-\mathrm{7,2})÷8$

   h. $15÷(-2)$

   i. $(-\mathrm{4,5})÷(-9)$

   j. $(-1)÷4$

   k. $0÷(-13)$

   l. $(-\mathrm{6,3})÷(-7)$

2. Vérifie le résultat que tu as obtenu au c. en effectuant une multiplication : quel produit dois-tu calculer, et que dois-tu trouver ?

1. Compléter chaque égalité par le nombre manquant.

   a. $\dots ÷(-4)=-7$

   b. $\dots ÷6=-9$

   c. $(-45)÷\dots =5$

   d. $\dots ÷(-8)=\mathrm{0,5}$

   e. $63÷\dots =-7$

   f. $\dots ÷(-\mathrm{2,5})=4$

2. Les quotients suivants ne tombent pas juste. Pour chacun, donner la valeur arrondie au centième. On pourra utiliser la calculatrice.

   a. $-17÷3$

   b. $25÷(-7)$

   c. $(-11)÷(-6)$

   d. $-2÷\mathrm{0,7}$

3. Sans calculatrice, donner le signe du quotient $-119÷(-\mathrm{3,9})$, puis un ordre de grandeur de sa valeur. Expliquer la démarche.

Une station météo de montagne relève la température chaque matin à $8$ h. Voici les relevés de la première semaine de janvier (en degrés Celsius) :

1. Calculer la somme des sept températures relevées.

2. En déduire la température moyenne de cette semaine. Rappel : la moyenne s'obtient en divisant la somme des relevés par le nombre de relevés.

3. La semaine suivante, les relevés sont les suivants :

   Lun	Mar	Mer	Jeu	Ven	Sam	Dim
   $-1$	$-4$	$2$	$-2$	$-5$	$3$	$0$

   Calculer la température moyenne de cette deuxième semaine, puis comparer les deux semaines : laquelle a été la plus froide en moyenne ?

Calculer chaque expression en détaillant les étapes. On rappelle que les calculs entre parenthèses sont prioritaires, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

1. Calculer chaque expression. On rappelle qu'une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant d'effectuer la division.

   a. ${\displaystyle \frac{5-9\times 2}{-4+2}}$

   b. ${\displaystyle \frac{-7+3\times 5}{2-6}}$

   c. ${\displaystyle \frac{4\times (-6)}{-3-5}}$

   d. ${\displaystyle \frac{-10-2}{-2\times 3}}$

   e. ${\displaystyle \frac{-9+4}{2\times (-2)}}$

   f. ${\displaystyle \frac{6\times (-3)+2}{-4}}$

2. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer l'expression suivante :

   $${\displaystyle \frac{7-2\times 5}{3\times 2-6}}$$

Voici deux programmes de calcul.

Programme A :

• choisir un nombre ;
• multiplier ce nombre par $-3$ ;
• ajouter $5$ au résultat ;
• écrire le nombre obtenu.

Programme B :

• choisir un nombre ;
• soustraire $5$ à ce nombre ;
• multiplier le résultat par $2$ ;
• écrire le nombre obtenu.

1. Exécuter le programme A, puis le programme B, avec chacun des nombres de départ suivants : $4$, puis $-2$, puis $\mathrm{1,5}$.

2. Pour le nombre de départ $-2$, écrire chaque programme sous la forme d'une seule expression numérique avec des parenthèses, puis vérifier qu'elle redonne bien le résultat de la question 1.

3. On cherche un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat. Tester les nombres de départ $-2$, $0$, $3$ et $5$, puis conclure.

1. Calculer chaque expression.

   a. $(-2)\times (-5)\times (-3)$

   b. $(-1)\times 4\times (-\mathrm{2,5})$

   c. $-36÷(-9)$

   d. $\mathrm{5,4}÷(-6)$

   e. $-8+6\times (-2)$

   f. $(-15+3)÷(-4)-2$

2. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Si elle est fausse, donner le résultat correct ou un contre-exemple.

   a. $-4-6\times (-3)=30$

   b. Le produit de trois nombres négatifs est un nombre négatif.

   c. Le quotient de deux nombres négatifs est toujours négatif.

3. Voici un extrait de la copie d'un élève. Elle contient deux erreurs : les identifier, expliquer chacune en une phrase, puis écrire les calculs corrects.

   $$-6+8÷(-2)=2÷(-2)=-1$$ $$(-3)\times (-4)-10=-12-10=-22$$

On donne la liste de nombres suivante :

Dans chaque question, on choisit des nombres différents de la liste (un nombre ne peut être utilisé qu'une seule fois dans un même produit).

1. Choisir deux nombres de la liste dont le produit est le plus grand possible. Justifier que l'on ne peut pas faire mieux.

2. Même question avec trois nombres de la liste.

3. Choisir maintenant trois nombres de la liste dont le produit est le plus petit possible. Justifier soigneusement en comparant les différents choix envisageables.

4. Rédiger en quelques phrases la stratégie générale pour ce type de défi : sur quoi faut-il d'abord raisonner, et comment choisit-on ensuite les nombres ?