Exercices — Notion de fonction (approche)

Voici six situations de la vie courante. Dans chacune, on considère deux grandeurs.

a. Le prix payé à la boulangerie et le nombre de baguettes achetées.

b. Un jour donné, la température extérieure et l'heure de la journée.

c. La pointure d'un élève et sa moyenne en mathématiques.

d. La distance parcourue par un randonneur et la durée de sa marche.

e. L'âge d'une personne et son numéro de téléphone.

f. L'aire d'un carré et la longueur de son côté.

1. Pour chaque situation, dire si l'une des deux grandeurs dépend de l'autre. Justifier en une phrase.

2. Pour chaque situation où il y a dépendance, recopier et compléter la phrase : « … dépend de … ».

Pour chacune des trois situations suivantes :

1. identifier les deux grandeurs en jeu ;

2. préciser laquelle dépend de l'autre ;

3. décrire avec des phrases comment évolue la grandeur qui dépend de l'autre.

Situation A — La bougie. Une bougie neuve mesure $20$ cm. On l'allume à $18$ h ; elle se consume régulièrement et s'éteint $5$ heures plus tard, entièrement fondue.

Situation B — La piscine gonflable. Tom remplit une piscine gonflable au tuyau d'arrosage. Pendant les $10$ premières minutes, il ouvre peu le robinet. Ensuite, il ouvre le robinet en grand. Au bout de $30$ minutes, la piscine est pleine et Tom coupe l'eau.

Situation C — Le chemin du collège. Lisa part de chez elle à pied en direction du collège. En route, elle s'arrête $5$ minutes à la boulangerie, puis repart et arrive au collège.

1. Dans chaque cas, écrire une formule qui exprime la première grandeur en fonction de la lettre indiquée, le plus simplement possible.

   a. Le prix (en €) de $n$ cahiers à $\mathrm{2,50}$ € l'un.

   b. Le périmètre (en cm) d'un carré de côté $x$ cm.

   c. La distance (en km) parcourue en $t$ heures à $4$ km/h.

   d. Le nombre de bouteilles dans $n$ packs de $6$ bouteilles.

   e. La monnaie rendue (en €) sur un billet de $20$ € pour un achat de $p$ euros.

   f. L'aire (en ${\text{cm}}^2$) d'un carré de côté $x$ cm.

2. Utiliser les formules du 1. pour calculer :

   a. le prix de $12$ cahiers ;

   b. la distance parcourue en $\mathrm{2,5}$ heures de marche.

On considère un rectangle dont la largeur mesure $x$ cm et la longueur mesure $x+3$ cm, où $x$ désigne un nombre positif.

1. Faire un schéma à main levée du rectangle en indiquant les dimensions.

2. Exprimer le périmètre de ce rectangle en fonction de $x$, sous la forme la plus réduite possible.

3. Exprimer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$, sous la forme la plus réduite possible.

4. Calculer le périmètre et l'aire du rectangle lorsque $x=5$.

5. Calculer le périmètre et l'aire du rectangle lorsque $x=\mathrm{2,5}$.

Un loueur de vélos affiche le tarif suivant : « $5$ € de forfait, plus $2$ € par heure de location ». Ainsi, pour une location de $h$ heures, le prix payé en euros se calcule avec la formule :

1. Dans cette formule, que représente le nombre $5$ ? Et le nombre $2$ ?

2. Calculer le prix payé pour une location de $3$ heures, puis pour une journée complète de $8$ heures.

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

   Durée $h$ (en heures)	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
   Prix payé (en €)	…	…	…	…	…

4. Zoé a payé $15$ €. Pendant combien d'heures a-t-elle loué son vélo ?

5. Malo dispose de $12$ € et le loueur ne facture que des heures entières. Combien d'heures au maximum peut-il louer un vélo ?

On choisit un nombre de départ $x$. La valeur obtenue s'écrit alors $3x-2$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (attention aux nombres relatifs) :

   Nombre de départ $x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	…
   Valeur obtenue $3x-2$	…	…	…	…	$10$

2. Quelle valeur obtient-on pour le nombre de départ $-10$ ?

3. Quel nombre de départ donne la valeur $-20$ ?

Léon a semé un plant de tournesol et mesure sa hauteur chaque semaine, toujours le même jour. Voici ses relevés :

1. Quelles sont les deux grandeurs de ce tableau ? Laquelle dépend de l'autre ?

2. Quelle était la hauteur du plant au moment du premier relevé ? Et au bout de $3$ semaines ?

3. Au bout de combien de semaines le plant mesurait-il $18$ cm ?

4. De combien de centimètres le plant a-t-il grandi entre la semaine $2$ et la semaine $5$ ?

5. Un camarade affirme : « au bout de $2$ semaines et demie, le plant mesurait exactement $\mathrm{11,5}$ cm ». A-t-il raison de l'affirmer ? Expliquer.

6. La hauteur du plant est-elle proportionnelle au nombre de semaines ? Justifier.

Maëlle fait couler un bain, se baigne, puis vide la baignoire. Le graphique ci-dessous représente la hauteur d'eau dans la baignoire (en cm) en fonction du temps écoulé (en min).

1. Quelle grandeur est représentée sur l'axe horizontal ? Sur l'axe vertical ? Laquelle dépend de l'autre ?

2. Quelle est la hauteur d'eau au bout de $5$ minutes ?

3. Quelle est la hauteur d'eau maximale atteinte ? Au bout de combien de temps est-elle atteinte pour la première fois ?

4. a. Trouver tous les instants où la hauteur d'eau vaut $15$ cm.

   b. Dans le vocabulaire du cours, comment appelle-t-on ces nombres pour la valeur $15$ ?

5. Que se passe-t-il dans la salle de bain entre $t=10$ min et $t=25$ min ? Et entre $t=25$ min et $t=35$ min ?

6. Au bout de combien de temps la baignoire est-elle vide ?

Une famille part en randonnée à $9$ h du matin. Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (en km) en fonction du temps écoulé depuis le départ (en h).

1. Quelles sont les deux grandeurs représentées sur ce graphique ? Laquelle est exprimée en fonction de l'autre ?

2. Quelle distance la famille a-t-elle parcourue au bout de $1$ h de marche ? Au bout de $4$ h ?

3. Au bout de combien de temps la famille a-t-elle parcouru $6$ km ?

4. La famille a fait une pause pour pique-niquer.

   a. Entre quels instants cette pause a-t-elle eu lieu ? Comment le voit-on sur le graphique ?

   b. Quelle distance avait-elle parcourue au moment de s'arrêter ?

5. La famille avance-t-elle plus vite avant ou après la pause ? Expliquer en observant le graphique, puis vérifier par un calcul.

Lors d'un entraînement, on filme le plongeon d'un nageur depuis un tremplin. Le graphique ci-dessous représente la hauteur du plongeur par rapport à la surface de l'eau (en m) en fonction du temps écoulé depuis le début du plongeon (en s). Une hauteur négative signifie que le plongeur est sous l'eau.

1. De quelle hauteur le plongeur s'élance-t-il au départ ?

2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le plongeur ? À quel instant est-elle atteinte ?

3. À quel instant le plongeur entre-t-il dans l'eau ? Expliquer comment on le lit sur le graphique.

4. À quels instants la hauteur du plongeur est-elle égale à $2$ m ? Que remarque-t-on ?

5. Que signifie le point le plus bas de la courbe ? Donner la profondeur maximale atteinte et l'instant correspondant.

6. À quel instant le plongeur revient-il à la surface de l'eau ?

On sort une tasse de chocolat chaud du micro-ondes et on mesure sa température toutes les $5$ minutes. Les résultats sont regroupés dans le tableau de valeurs ci-dessous.

1. Quelle est la température du chocolat au moment où on le sort du micro-ondes ?

2. Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère : en abscisse le temps écoulé (en min, $1$ cm pour $5$ min) et en ordonnée la température (en °C, $1$ cm pour $10$ °C). Placer les sept points du tableau, puis les relier par une courbe régulière tracée à main levée.

3. À l'aide de ton graphique, estimer la température du chocolat au bout de $12$ minutes.

4. Léa ne boit son chocolat que lorsqu'il est à $40$ °C au maximum. À l'aide de ton graphique, estimer à partir de combien de minutes elle peut commencer à le boire.

5. La température du chocolat est-elle proportionnelle au temps écoulé ? Justifier à l'aide du graphique ou du tableau.

La piscine municipale propose deux tarifs :

• Tarif A (sans abonnement) : $3$ € par séance ;
• Tarif B (avec abonnement) : un abonnement annuel de $15$ €, puis $\mathrm{1,50}$ € par séance.

Le graphique ci-dessous représente, pour chaque tarif, le prix payé sur l'année (en €) en fonction du nombre de séances.

1. L'un des deux tarifs correspond à une situation de proportionnalité entre le prix payé et le nombre de séances. Lequel ? Justifier à l'aide du graphique, puis à l'aide de la description des tarifs.

2. Lire sur le graphique le prix payé pour $6$ séances avec le tarif A, puis avec le tarif B.

3. Lire sur le graphique le nombre de séances que l'on peut faire avec $24$ € selon le tarif choisi.

4. Les deux représentations se croisent en un point.

   a. Lire les coordonnées de ce point.

   b. Que signifie ce point pour un nageur qui hésite entre les deux tarifs ?

5. Yanis compte aller à la piscine $16$ fois cette année. Quel tarif a-t-il intérêt à choisir ? Combien économise-t-il par rapport à l'autre tarif ?

Un récupérateur d'eau de pluie est installé dans un jardin. Le graphique ci-dessous représente le volume d'eau (en L) qu'il contient en fonction du temps (en min), un après-midi d'orage. Le graphique est découpé en quatre phases notées A, B, C et D.

1. Quel volume d'eau le réservoir contient-il au début ? Et au bout de $20$ minutes ?

2. Voici quatre phrases qui racontent cet après-midi, données dans le désordre. Associer chaque phrase à l'une des phases A, B, C ou D du graphique, en justifiant.

   Phrase 1. La pluie s'arrête : le volume d'eau ne change plus.

   Phrase 2. On arrose le potager avec l'eau du réservoir.

   Phrase 3. L'orage éclate et le réservoir, vide, se remplit régulièrement.

   Phrase 4. On referme le robinet d'arrosage et on rentre à la maison.

3. À quels instants le réservoir contient-il exactement $40$ L d'eau ? Que remarque-t-on ?

4. Quel volume d'eau a-t-on utilisé pour arroser le potager ?

5. D'après le graphique, raconter en deux ou trois phrases ce qui se passe entre la ${25}^{\text{e}}$ et la ${45}^{\text{e}}$ minute (volumes et durées à l'appui).

Une entreprise de location de trottinettes électriques propose deux offres :

• Offre 1 : $2$ € par kilomètre parcouru ;
• Offre 2 : $6$ € de frais de déblocage, puis $1$ € par kilomètre parcouru.

On note $k$ le nombre de kilomètres parcourus.

1. Exprimer, en fonction de $k$, le prix payé (en €) avec l'offre 1, puis avec l'offre 2.

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

   Nombre de kilomètres $k$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
   Prix offre 1 (en €)
   Prix offre 2 (en €)

3. Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère : en abscisse le nombre de kilomètres ($1$ cm pour $1$ km) et en ordonnée le prix en € ($1$ cm pour $2$ €). Placer les points du tableau pour chaque offre et relier ceux d'une même offre par une droite.

4. Lire sur ton graphique pour quelle distance les deux offres coûtent le même prix. Retrouver ce résultat en résolvant une équation.

5. Zoé hésite entre les deux offres. Que lui conseiller, selon la distance qu'elle compte parcourir ?

Dans une feuille de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés identiques de côté $x$ cm, puis on plie les quatre bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Après pliage, exprimer en fonction de $x$ :

   a. la hauteur de la boîte ;

   b. le côté du fond carré de la boîte.

2. En déduire que le volume $V$ de la boîte (en cm³) s'exprime par la formule $V=x(12-2x{)}^2$. On ne demande pas de développer cette expression.

3. Expliquer pourquoi $x$ doit être compris entre $0$ et $6$.

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

   $x$ (en cm)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $V$ (en cm³)

5. Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère : en abscisse $x$ (en cm, $2$ cm pour $1$ cm) et en ordonnée $V$ (en cm³, $1$ cm pour $10$ cm³). Placer les points du tableau et les relier par une courbe régulière.

6. D'après le tableau et le graphique, pour quelle valeur de $x$ (parmi celles testées) le volume semble-t-il le plus grand ?

7. Bonus. Calculer le volume pour $x=\mathrm{2,5}$. Ce résultat confirme-t-il ta conjecture ?