Exercices — Fractions et nombres rationnels

1. Donner le signe de chacun des quotients suivants, sans effectuer de calcul.

   a. ${\displaystyle \frac{-5}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{-3}{-7}}$

   c. ${\displaystyle \frac{9}{-4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{7}{12}}$

   e. ${\displaystyle \frac{-15}{-2}}$

   f. $-{\displaystyle \frac{4}{-9}}$

2. Écrire chacune des fractions suivantes avec un dénominateur positif.

   a. ${\displaystyle \frac{4}{-9}}$

   b. ${\displaystyle \frac{-2}{-11}}$

   c. ${\displaystyle \frac{-7}{-3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5}{-6}}$

   e. ${\displaystyle \frac{-1}{-8}}$

   f. $-{\displaystyle \frac{10}{-7}}$

Simplifier au maximum chacune des fractions suivantes. On commencera par déterminer le signe du quotient et par écrire la fraction avec un dénominateur positif, puis on simplifiera.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par une règle du cours et un calcul si elle est vraie, par un contre-exemple ou un calcul si elle est fausse.

Dans les affirmations 3 et 4, $a$ et $b$ désignent des entiers strictement positifs.

1. Le quotient de deux nombres négatifs est négatif.

2. ${\displaystyle \frac{-3}{5}}={\displaystyle \frac{3}{-5}}$

3. ${\displaystyle \frac{-a}{-b}}=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$

4. ${\displaystyle \frac{-a}{b}}={\displaystyle \frac{a}{-b}}$

5. ${\displaystyle \frac{-10}{15}}={\displaystyle \frac{-15}{20}}$

6. L'opposé du nombre ${\displaystyle \frac{-7}{4}}$ est le nombre ${\displaystyle \frac{7}{4}}$.

Comparer les deux nombres de chaque paire en utilisant le symbole $<$ ou $>$. Justifier chaque réponse en une phrase ou un calcul court (signes, ou dénominateur commun).

1. Ranger les cinq nombres suivants dans l'ordre croissant. On pourra les écrire avec le même dénominateur.

   $${\displaystyle \frac{5}{6}};-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{-7}{12}};{\displaystyle \frac{1}{3}};-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$

2. La droite ci-dessous est graduée : chaque unité est partagée en quatre parts égales.

   

   Donner l'abscisse de chacun des points $A$, $B$, $C$ et $D$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $4$, puis simplifier lorsque c'est possible.

Calculer les sommes et les différences suivantes. On écrira les fractions avec le plus petit dénominateur commun possible, et on simplifiera le résultat quand c'est possible.

Calculer les expressions suivantes. Écrire d'abord tous les termes avec le même dénominateur, puis calculer et simplifier le résultat si possible.

Calculer les produits suivants. On commencera par déterminer le signe du résultat, puis on donnera le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

Calculer les produits suivants en simplifiant avant d'effectuer les multiplications : écrire le produit des numérateurs et des dénominateurs sans l'effectuer, simplifier au maximum, puis seulement calculer. Aucune multiplication de grands nombres ne doit apparaître dans le calcul.

Le réservoir d'eau d'un camping-car a une contenance de $45$ L. Chaque réponse sera conclue par une phrase.

1. Lundi, le réservoir est plein. Pendant la journée, la famille utilise les ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ du réservoir pour les douches et la vaisselle. Calculer, en litres, le volume d'eau utilisé lundi.

2. Mardi matin, le réservoir est rempli aux ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de sa contenance. Pendant la journée, la famille utilise les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de cette eau.

   a. Quelle fraction de la contenance du réservoir le volume d'eau utilisé mardi représente-t-il ?

   b. En déduire, en litres, le volume d'eau utilisé mardi.

1. Donner l'inverse de chacun des nombres suivants. On écrira le résultat sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

   a. $4$

   b. ${\displaystyle \frac{2}{7}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{5}{3}}$

   d. $\mathrm{0,25}$

   e. $-1$

   f. ${\displaystyle \frac{1}{6}}$

   g. $-10$

   h. $\mathrm{1,5}$

2. Répondre aux questions suivantes en justifiant.

   a. Pourquoi le nombre $0$ n'a-t-il pas d'inverse ?

   b. Quels sont les nombres égaux à leur propre inverse ?

Calculer les quotients suivants. Pour chaque calcul, transformer d'abord la division en multiplication par l'inverse, puis calculer et simplifier le résultat.

Calculer les expressions suivantes en respectant les priorités opératoires : d'abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. Détailler les étapes et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A

• Choisir un nombre.
• Multiplier ce nombre par ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
• Ajouter ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ au résultat.

Programme B

• Choisir un nombre.
• Ajouter ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ à ce nombre.
• Multiplier le résultat par ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

1. Appliquer le programme A au nombre ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Détailler chaque étape.

2. Appliquer le programme A au nombre $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$. Que remarque-t-on ?

3. Appliquer le programme B au nombre ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, puis au nombre $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

4. Pour le nombre de départ ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, lequel des deux programmes donne le plus grand résultat ? Justifier en comparant les deux résultats obtenus.

Léa a rempli un grand récipient de lait pour préparer deux recettes dans la journée.

Le matin, pour la pâte à crêpes, elle verse ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ du contenu du récipient. Le soir, pour un gâteau, elle verse ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ du lait restant.

Répondre à chaque question par une phrase.

1. Quelle fraction du contenu du récipient reste-t-il après la préparation de la pâte à crêpes ?

2. Montrer que le soir, Léa verse ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ du contenu initial du récipient.

3. Le récipient contenait $750$ mL de lait au départ. Quelle quantité de lait, en millilitres, reste-t-il à la fin de la journée ?

1. La cible. On applique à un nombre de départ le programme de calcul suivant :

   • Étape 1 : multiplier par ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ ;
   • Étape 2 : ajouter ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ ;
   • Étape 3 : diviser par ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ ;
   • Étape 4 : soustraire ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

   Le résultat final obtenu est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

   Retrouver le nombre de départ en remontant le programme à l'envers : partir de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et défaire les étapes une par une, de la dernière à la première, en appliquant à chaque fois l'opération réciproque (ajouter au lieu de soustraire, multiplier au lieu de diviser…). Détailler les quatre calculs, puis vérifier le résultat en appliquant le programme au nombre trouvé.

2. Le quotient en cascade. On veut calculer le nombre suivant :

   $${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$

   a. Calculer $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sous la forme d'une fraction.

   b. En déduire la valeur de ${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$ : c'est l'inverse de la fraction trouvée à la question précédente.

   c. En procédant de la même façon (calculer d'abord le dénominateur, puis prendre l'inverse), calculer :

   $${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}}$$