Exercices — Divisibilité et nombres premiers

1. Écris la liste de tous les diviseurs de chacun des nombres suivants. Pour ne rien oublier, tu peux chercher les diviseurs deux par deux : si $18=2\times 9$, alors $2$ et $9$ sont deux diviseurs de $18$.

   a. $18$

   b. $23$

   c. $30$

   d. $36$

   e. $41$

   f. $49$

2. Parmi ces six nombres, lesquels sont des nombres premiers ? Justifie ta réponse à l'aide de la définition du cours.

Reproduis le tableau ci-dessous, qui contient tous les entiers de $2$ à $50$.

1. Entoure $2$, puis barre tous les multiples de $2$ sauf $2$.

2. Entoure $3$, puis barre tous les multiples de $3$ qui ne sont pas déjà barrés.

3. Fais de même avec $5$, puis avec $7$.

4. Écris la liste des nombres qui ne sont pas barrés. Que peux-tu dire de ces nombres ?

5. Pourquoi n'a-t-on pas besoin de barrer les multiples de $11$ dans ce tableau ? Tu pourras remarquer que $11\times 2$, $11\times 3$ et $11\times 4$ sont déjà barrés, et calculer $11\times 11$.

Tous les nombres de cet exercice sont inférieurs à $100$ : pour savoir s'ils sont premiers, il suffit donc de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$.

Pour chacun des nombres suivants, dis s'il est premier ou non. Si le nombre n'est pas premier, donne un diviseur autre que $1$ et lui-même ; s'il est premier, indique les tests que tu as effectués.

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie : par une propriété du cours si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. Tous les nombres premiers sont impairs.

2. $1$ est un nombre premier.

3. Un nombre pair supérieur à $2$ n'est jamais premier.

4. La somme de deux nombres premiers est toujours paire.

5. $53$ est un nombre premier.

6. Le produit de deux nombres premiers n'est jamais premier.

1. Recopie et complète chaque égalité pour obtenir une décomposition en produit de facteurs premiers.

   a. $84=2\times \dots \times 3\times \dots$

   b. $45=3\times \dots \times 5$

   c. $140=2\times 2\times \dots \times 7$

2. Pour décomposer $60$, Jade commence par écrire $60=6\times 10$. Mais $6$ et $10$ ne sont pas premiers ! Décompose $6$, puis $10$, et écris la décomposition de $60$ en produit de facteurs premiers, avec un exposant.

3. Recopie et termine la présentation en colonne ci-dessous, qui décompose $90$ par divisions successives. Puis écris la décomposition de $90$ avec un exposant.

   90 | 2
   45 | 3
   .. | .
   .. | .
    1 |
   

Décompose chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers. Présente tes calculs par divisions successives (présentation en colonne), et écris chaque résultat avec des exposants.

1. Calcule le nombre dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers.

   a. $2^2\times 3\times 5$

   b. $2\times 3^3$

   c. $2^4\times 7$

   d. $3^2\times 5^2$

   e. $2\times 5\times 13$

   f. $2^3\times 3\times 11$

2. On considère le nombre $N=2^3\times 3^2\times 5$. Sans calculer $N$, réponds aux questions suivantes en justifiant à l'aide de la décomposition.

   a. $N$ est-il divisible par $6$ ?

   b. $N$ est-il divisible par $4$ ?

   c. $N$ est-il divisible par $9$ ?

   d. $N$ est-il divisible par $25$ ?

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse.

1. L'écriture $90=2\times 45$ est une décomposition de $90$ en produit de facteurs premiers.

2. $60=2^2\times 3\times 5$

3. L'écriture $72=2^3\times 9$ est une décomposition de $72$ en produit de facteurs premiers.

4. Deux nombres entiers différents peuvent avoir la même décomposition en produit de facteurs premiers.

5. $126=2\times 3^2\times 7$

6. Dans la décomposition en facteurs premiers d'un nombre pair, le facteur $2$ apparaît toujours.

Simplifie chaque fraction au maximum, à l'aide des critères de divisibilité et des tables de multiplication. Attention : l'une de ces fractions est déjà simplifiée au maximum, sauras-tu la repérer ?

1. Décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers, puis simplifie chaque fraction au maximum.

   a. ${\displaystyle \frac{72}{120}}$

   b. ${\displaystyle \frac{120}{150}}$

   c. ${\displaystyle \frac{90}{108}}$

   d. ${\displaystyle \frac{168}{180}}$

2. Quand on simplifie une fraction, comment être sûr qu'on ne peut plus la simplifier davantage ? Explique en une phrase, en utilisant les décompositions en facteurs premiers.

Pour ces fractions, les critères de divisibilité ne suffisent plus : il faut passer par les décompositions complètes en facteurs premiers.

1. Décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers (avec les exposants), puis simplifie chaque fraction au maximum.

   a. ${\displaystyle \frac{504}{588}}$

   b. ${\displaystyle \frac{630}{924}}$

   c. ${\displaystyle \frac{432}{648}}$

2. Pour la fraction obtenue au b., vérifie à l'aide des décompositions en facteurs premiers qu'elle ne peut plus être simplifiée.

Un fleuriste a reçu $72$ roses et $90$ tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet), en utilisant toutes les fleurs, sans qu'il en reste.

1. Peut-il faire $6$ bouquets ? Si oui, indique la composition de chaque bouquet.

2. Peut-il faire $4$ bouquets ? Justifie.

3. Dresse la liste de tous les nombres de bouquets possibles. Tu peux t'aider des décompositions en facteurs premiers de $72$ et de $90$.

4. Le fleuriste choisit de faire le plus grand nombre possible de bouquets. Combien de roses et combien de tulipes contient alors chaque bouquet ?

Les parents de Chloé veulent carreler leur terrasse rectangulaire de $300$ cm sur $420$ cm avec des carreaux carrés, tous identiques, dont le côté mesure un nombre entier de centimètres. Ils veulent recouvrir exactement la terrasse, sans découper aucun carreau.

1. Un carreau de $12$ cm de côté convient-il ? Justifie.

2. Un carreau de $25$ cm de côté convient-il ? Justifie.

3. Décompose $300$ et $420$ en produits de facteurs premiers.

4. Quelle est la plus grande taille de carreau possible ? Explique comment les décompositions permettent de la trouver.

5. Avec cette taille de carreau, combien de carreaux faut-il pour couvrir toute la terrasse ?

Retrouve chaque nombre mystère à partir des indices. Pour chaque énigme, il n'y a qu'une seule réponse possible : explique pourquoi.

a. « Je suis un nombre entier compris entre $100$ et $200$. Ma décomposition en facteurs premiers ne contient que des facteurs $2$, $3$ et $7$. Je suis divisible par $12$. Je suis aussi divisible par $7$. Qui suis-je ? »

b. « Je suis un nombre entier impair compris entre $100$ et $120$. Je suis divisible par $5$. Je suis le produit de trois nombres premiers tous différents. Qui suis-je ? »

Trois défis pour raisonner avec les nombres premiers. Prends le temps d'essayer plusieurs exemples avant de conclure, puis justifie soigneusement.

1. La somme de deux nombres premiers peut-elle être un nombre premier ?

   a. Trouve un exemple où la somme de deux nombres premiers est un nombre premier.

   b. Que peut-on dire de la somme de deux nombres premiers impairs ? Peut-elle être un nombre premier ?

   c. Déduis-en une condition nécessaire : si la somme de deux nombres premiers est un nombre premier, que peut-on dire de l'un des deux ?

2. Le produit de deux nombres entiers consécutifs (comme $4$ et $5$, ou $10$ et $11$) peut-il être un nombre premier ?

   a. Calcule $1\times 2$, $2\times 3$, $3\times 4$ et $4\times 5$. Lesquels de ces produits sont premiers ?

   b. Explique pourquoi, dès que $n\ge 2$, le produit $n\times (n+1)$ ne peut pas être un nombre premier.

3. Trouve tous les nombres premiers $p$ tels que $p+10$ et $p+20$ soient aussi des nombres premiers.

   a. Teste $p=2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$. Quelles valeurs conviennent ?

   b. Défi ultime : tout nombre entier s'écrit sous l'une des trois formes $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ (où $k$ est un entier). En examinant les trois cas, montre qu'il n'y a pas d'autre solution que celle trouvée au a.