Devoir surveillé — Divisibilité et nombres premiers

1. (1,5 pt) Question de cours : donner la définition d'un nombre premier, puis expliquer pourquoi $1$ n'est pas un nombre premier.

2. (2 pts) Pour chacun des nombres suivants, dire s'il est premier ou non. Justifier chaque réponse.

   a. $23$

   b. $58$

   c. $83$

   d. $91$

3. (1,5 pt) Léa affirme : « tous les nombres impairs plus grands que $1$ sont premiers ». A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

1. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Présenter les calculs (divisions successives ou autre méthode au choix) et écrire le résultat avec des exposants.

   a. (1 pt) $252$

   b. (1,5 pt) $540$

2. (1,5 pt) Calculer le nombre $A$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est :

   $$A=2^2\times 3\times 5^2$$

3. On considère le nombre $N=2^2\times 5^2\times 13$. Sans calculer $N$, répondre aux questions suivantes en justifiant à partir de la décomposition.

   a. (1 pt) $N$ est-il divisible par $10$ ?

   b. (1 pt) $N$ est-il divisible par $8$ ?

1. Simplifier au maximum les fractions suivantes. Pour a., on pourra utiliser les critères de divisibilité ; pour b. et c., on utilisera les décompositions en produit de facteurs premiers.

   a. (1 pt) ${\displaystyle \frac{60}{84}}$

   b. (1,5 pt) ${\displaystyle \frac{126}{168}}$

   c. (1,5 pt) ${\displaystyle \frac{264}{440}}$

2. (1 pt) Pour l'une des fractions obtenues, expliquer comment on peut être certain qu'on ne peut plus la simplifier.

Pour la kermesse de fin d'année, un club de handball prépare des lots identiques à offrir aux visiteurs. Il dispose de $120$ porte-clés et de $105$ autocollants. Tous les objets doivent être utilisés : chaque lot doit contenir le même nombre de porte-clés et le même nombre d'autocollants, sans qu'il reste d'objet.

1. (1 pt) Décomposer $120$ et $105$ en produit de facteurs premiers.

2. (1,5 pt) Quel est le nombre maximal de lots que le club peut préparer ? Expliquer le raisonnement à l'aide des décompositions.

3. (0,5 pt) Dans ce cas, donner la composition d'un lot.

4. (1 pt) Le club hésite : il aimerait faire moins de lots, mais plus garnis. Proposer un autre nombre de lots possible (plus grand que $1$) et donner la composition d'un lot dans ce cas.