Exercices — Calcul littéral

1. Recopier chaque expression en supprimant les signes $\times$ lorsque c'est possible :

   a. $5\times x$

   b. $x\times y$

   c. $3\times (a+2)$

   d. $a\times a$

   e. $7\times 4$

   f. $x\times x\times x$

   g. $2\times x+3$

   h. $(-5)\times b$

2. Réécrire chaque expression en faisant apparaître tous les signes $\times$ :

   a. $7ab$

   b. $3(x-4)$

   c. $x^2+5x$

   d. $-2a^3$

   e. $6(a+b)$

3. Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent le même nombre, quelle que soit la valeur de $a$ ? Justifier.

   $$2a{a}^{2}a+aa\times a$$

1. Traduire chaque phrase par une expression littérale, écrite le plus simplement possible :

   a. Le double de $x$, augmenté de $7$.

   b. Le produit de $x$ par la somme de $x$ et de $3$.

   c. Le tiers de $x$, diminué de $5$.

   d. La somme du carré de $x$ et de $10$.

   e. Le triple de la différence entre $x$ et $4$.

   f. La moitié de la somme de $x$ et de $9$.

2. Au cinéma, une place coûte $x$ euros et un pop-corn coûte $4$ euros. Exprimer en fonction de $x$ la dépense totale d'une famille qui achète $3$ places et $2$ pop-corns.

3. Léa a $a$ ans. Son frère a $3$ ans de plus qu'elle, et sa mère a le triple de l'âge du frère.

   a. Exprimer l'âge du frère en fonction de $a$.

   b. Exprimer l'âge de la mère en fonction de $a$, sous la forme la plus simple possible.

   c. Léa a $12$ ans. Quel est l'âge de sa mère ?

1. On considère les expressions suivantes :

   a. $A=3x+7$

   b. $B=5x^2$

   c. $C=4(x-2)$

   d. $D=x^3+x$

   Calculer la valeur de chacune de ces expressions pour $x=2$, puis pour $x=5$.

2. Calculer $E=2a+3b$ pour $a=4$ et $b=6$.

3. Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donné par $P=2(L+l)$. Calculer $P$ pour $L=\mathrm{8,5}$ et $l=\mathrm{3,5}$.

1. Calculer la valeur de chacune des expressions suivantes pour $x=-2$. On prendra soin d'écrire $(-2)$ entre parenthèses à chaque substitution.

   a. $A=5x+3$

   b. $B=x^2$

   c. $C=-2x+1$

   d. $D=3x^2-x$

2. a. Calculer $-x^2$ puis $(-x{)}^2$ pour $x=3$.

   b. Calculer $-x^2$ puis $(-x{)}^2$ pour $x=-4$.

   c. Que remarque-t-on ? Répondre en une phrase.

3. Calculer $E={\displaystyle \frac{2a-b}{a+b}}$ pour $a=-1$ et $b=3$.

1. Réduire chaque expression :

   a. $3x+5x$

   b. $7a-2a$

   c. $x+x$

   d. $9y-y$

   e. $4x+3+2x$

   f. $5+2b-3+b$

   g. $6x-8x$

   h. $2x^2+5x^2$

2. Expliquer en une phrase pourquoi on ne peut réduire ni $3x+5$, ni $x^2+x$.

3. Réduire l'expression $F=5x+2-3x+7-x$.

1. Réduire chaque produit :

   a. $3\times 2x$

   b. $5x\times 4$

   c. $2x\times 3x$

   d. $(-3x)\times 5x$

   e. $x\times x^2$

   f. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6x$

2. Réduire chaque expression en commençant par effectuer les produits :

   a. $A=3x\times 2+5x$

   b. $B=4x^2+2x\times 3x$

   c. $C=7x-2\times 5x$

3. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier en une phrase (on pourra corriger l'égalité si elle est fausse) :

   a. « $2x\times 3x=6x$ »

   b. « $3x+4x=7x^2$ »

   c. « $x\times x=2x$ »

1. Développer les expressions suivantes :

   a. $3(x+5)$

   b. $7(a-2)$

   c. $5(2x+3)$

   d. $4(3-x)$

   e. $10(\mathrm{0,5}x+\mathrm{1,2})$

   f. $6(2a-7)$

   g. $x(x+3)$

   h. $2x(x-4)$

2. Recopier et compléter les égalités suivantes :

   a. $5(x+\dots )=5x+35$

   b. $\dots (2x-3)=8x-12$

   c. $3(\dots +\dots )=3x^2+21x$

1. Développer les expressions suivantes :

   a. $-2(x+5)$

   b. $-3(4x-1)$

   c. $-(x-7)$

   d. $-5(-2x+3)$

   e. $-x(x+6)$

   f. $-4x(2x-3)$

2. Développer puis réduire les expressions suivantes :

   a. $A=4(2x+3)-5(x-1)$

   b. $B=3x(x-2)+2(x^2+5x)$

   c. $C=7-2(3x-4)$

1. Factoriser les expressions suivantes en repérant le facteur commun :

   a. $5x+5\times 3$

   b. $7a+7b$

   c. $12x+18$

   d. $15-10x$

   e. $x^2+3x$

   f. $8x^2-6x$

   g. $4x+4$

   h. $9a-9$

2. Vérifier les factorisations des items a. et c. de la question 1 en développant le résultat obtenu. Rédiger la vérification.

1. Factoriser au maximum les expressions suivantes :

   a. $24x+36$

   b. $14x^2-21x$

   c. $5x^2+5x$

   d. $18a+27b-9$

2. Pour factoriser $12x+8$, Zoé a écrit : $12x+8=2(6x+4)$.

   Sa réponse est-elle fausse ? Peut-on faire mieux ? Expliquer.

3. Factoriser l'expression suivante, puis réduire à l'intérieur de la parenthèse :

   $$D=6(x+2)+9(x+2)$$

   Indication : le facteur commun est la parenthèse $(x+2)$.

1. Calculer astucieusement, sans calculatrice, en développant. Détailler la méthode comme dans l'exemple : $7\times 103=7\times (100+3)$.

   a. $7\times 103$

   b. $25\times 98$

   c. $12\times 1001$

   d. $4\times \mathrm{9,9}$

2. Calculer astucieusement, sans calculatrice, en factorisant :

   a. $37\times 12+37\times 88$

   b. $54\times 63-54\times 53$

   c. $\mathrm{2,5}\times 17+\mathrm{2,5}\times 3$

3. Défi rapide. Montrer que $101\times 99$ peut se calculer à l'aide de l'écriture $101\times (100-1)$, puis donner le résultat.

Voici deux programmes de calcul.

Programme A

1. Choisir un nombre.
2. Le multiplier par $3$.
3. Ajouter $12$.

Programme B

1. Choisir un nombre.

2. Ajouter $4$.

3. Multiplier le résultat par $3$.

4. Appliquer les deux programmes au nombre $5$, puis au nombre $-2$. Que remarque-t-on ?

5. On note $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat du programme A, puis celui du programme B.

6. Démontrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par une démonstration avec le calcul littéral si elle est vraie, par un contre-exemple numérique si elle est fausse.

a. « Pour tout nombre $x$, $3(x+5)=3x+5$. »

b. « Pour tout nombre $x$, $2x+3x=5x$. »

c. « Pour tout nombre $x$, $(2x{)}^2=2x^2$. »

d. « Pour tout nombre $x$, $x^2\ge x$. »

e. « L'expression $4(x-3)+12$ est égale à $4x$ pour tout $x$. »

Rappel : un exemple qui marche ne prouve pas ; un contre-exemple suffit à réfuter.

La figure ci-dessous représente une figure en L, où $x$ désigne une longueur en centimètres ($x>0$). Elle est formée d'un rectangle de largeur $4x$ et de hauteur $3$, surmonté à sa gauche d'un rectangle de largeur $x$ et de hauteur $2$.

1. Exprimer en fonction de $x$ les deux longueurs qui ne sont pas marquées sur la figure : le côté gauche de la figure, et le segment horizontal situé entre les deux rectangles.

2. Montrer que le périmètre de la figure s'écrit $P=8x+10$.

3. Exprimer l'aire $A$ de la figure en fonction de $x$, sous forme réduite.

4. Calculer $P$ et $A$ pour $x=\mathrm{2,5}$.

1. On s'intéresse à la somme de trois entiers consécutifs.

   a. Calculer $4+5+6$, puis $11+12+13$. Que remarque-t-on ?

   b. On note $n$ le premier des trois entiers. Exprimer les deux entiers suivants en fonction de $n$, puis écrire la somme des trois entiers.

   c. Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours égale au triple du deuxième entier.

2. Démontrer que la somme d'un nombre entier et de son double est toujours un multiple de $3$.

Le professeur annonce à la classe :

« Choisis un nombre. Ajoute $3$. Multiplie le résultat par $2$. Retranche $6$. Divise par $2$. Tu retrouves ton nombre de départ ! »

1. Vérifier que le tour fonctionne avec le nombre $7$, puis avec le nombre $-5$.

2. Démontrer que le tour fonctionne pour n'importe quel nombre choisi au départ.

3. Le professeur enchaîne : « Reprends ton résultat. Multiplie-le par $5$. Ajoute $35$. Divise par $5$. Annonce ton résultat. » Il devine alors le nombre de départ de chaque élève en retranchant $7$ au nombre annoncé. Expliquer pourquoi ce deuxième tour fonctionne toujours.