Devoir surveillé — Calcul littéral

1. (2 pts — 0,5 pt par écriture) Simplifier chaque écriture.

   a. $3\times a$

   b. $x\times x$

   c. $2\times (x+5)$

   d. $b\times 7$

2. (3 pts — 1 pt par calcul) Calculer les expressions suivantes pour $x=-3$. On détaillera les calculs, en pensant aux parenthèses lors du remplacement.

   $A=4x-5$

   $B=x^2+3$

   $C=2x^2-3x$

1. (2 pts) Réduire chaque expression.

   a. $7x+2-3x+8$

   b. $4x\times 3x$

   c. $5x^2-x^2+2x$

2. (2 pts) Développer et réduire l'expression suivante.

   $$D=5(2x+3)-4(x-2)$$

3. (2 pts — 1 pt par factorisation) Factoriser chaque expression.

   a. $21x+14$

   b. $x^2-9x$

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.
• Le multiplier par $4$.
• Ajouter $20$.
• Diviser le résultat par $4$.

1. (1 pt — 0,5 pt par nombre) Appliquer ce programme au nombre $3$, puis au nombre $-7$.

2. (1 pt) Que peut-on conjecturer sur le résultat obtenu ?

3. (2 pts) Démontrer cette conjecture. On notera $x$ le nombre choisi au départ.

La figure ci-dessous représente un jardin rectangulaire de longueur $5x$ et de largeur $x+4$, où les longueurs sont exprimées en mètres et $x$ désigne un nombre strictement positif.

1. (1,5 pt) Montrer que le périmètre du jardin s'écrit $P=12x+8$.

2. (1 pt) Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ du jardin en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.

3. (0,5 pt) Calculer $P$ et $\mathcal{A}$ pour $x=3$.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : un calcul littéral prouve qu'une affirmation est vraie, un contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse.

a. (1 pt) « Pour tout nombre $x$, on a $4(x+2)-8=4x$. »

b. (1 pt) « Pour tout nombre $x$, on a $(3x{)}^2=3x^2$. »