Exercices — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes. On énumérera les contraintes une à une, puis on donnera la réponse sous forme de réunion d'intervalles.

On rappelle que pour un exposant $\alpha \mathrm{\notin }\mathbb{Z}$, la puissance $u^{\alpha }$ est définie par $u^{\alpha }=e^{\alpha \ln u}$ : elle exige donc $u>0$, inégalité stricte.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, vérifier que son ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$, puis dire si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.

2. Pour chacune des deux fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, déterminer la plus petite période strictement positive, puis un intervalle d'étude aussi petit que possible en précisant les transformations qui permettent de reconstituer la courbe entière.

3. Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$ symétrique par rapport à $0$ et $f$ une fonction définie sur $D$.

a. Montrer qu'il existe un unique couple $(p,i)$ de fonctions définies sur $D$, avec $p$ paire et $i$ impaire, tel que $f=p+i$.

b. Appliquer ce résultat à la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ et identifier les deux fonctions obtenues.

c. En déduire, sans aucun calcul supplémentaire, la relation ${\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)=1$.

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes. Pour chacune, on précisera l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité, on nommera la formule utilisée, et on simplifiera le résultat autant que possible.

On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à sa courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$, et que pour $x$ proche de $a$ on dispose de l'approximation affine $f(x)\approx f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$.

1. Soit $f$ la fonction racine carrée, définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $4$.

b. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{\mathrm{4,02}}$ par le calcul mental.

c. Comparer à la valeur donnée par la calculatrice. Démontrer ensuite, à l'aide d'une identité algébrique, que l'approximation obtenue est par excès pour toute valeur de $x$.

d. Reprendre la même démarche avec la fonction $g:x\mapsto \ln (1+x)$ au point d'abscisse $0$, pour obtenir une valeur approchée de $\ln (\mathrm{1,01})$. Que dit l'inégalité de cours $\ln (1+x)⩽x$ sur la nature de cette approximation ?

2. Soit $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction exponentielle. Vérifier que l'origine $O$ du repère n'appartient pas à $\mathcal{C}$, puis déterminer toutes les tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $O$.

3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(x^2+1)e^{-x}$.

a. Déterminer les points de ${\mathcal{C}}_h$ en lesquels la tangente est horizontale.

b. Étudier le signe de $h^{\mathrm{\prime }}$. La tangente horizontale trouvée correspond-elle à un extremum de $h$ ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes. Pour chacune, on suivra systématiquement les trois temps de la méthode : déterminer d'abord l'ensemble sur lequel l'expression a un sens, résoudre ensuite, puis vérifier que les solutions obtenues appartiennent bien à cet ensemble.

On note $\log$ le logarithme décimal, défini sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $\log x={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln 10}}$, et l'on rappelle que pour $a>0$, $a^x$ désigne $e^{x\ln a}$.

On rappelle les croissances comparées du cours, admises, valables pour tout réel $\alpha >0$ :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }\ln x=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^{\alpha }}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^x=0(n\in \mathbb{N})$$

Déterminer les limites suivantes. Chaque réponse doit être justifiée par une croissance comparée ci-dessus, par un taux d'accroissement, ou par un changement de variable qui ramène à l'une de ces deux situations. Dans la question c., $n$ désigne un entier naturel non nul.

Tout l'exercice repose sur une seule idée : chacune des trois fonctions circulaires réciproques renvoie un angle situé dans son intervalle image, et jamais ailleurs.

• $\mathrm{Arcsin}a$ est l'unique réel $\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ tel que $\sin \theta =a$, pour $a\in [-1,1]$ ;
• $\mathrm{Arccos}a$ est l'unique réel $\theta \in [0,\pi ]$ tel que $\cos \theta =a$, pour $a\in [-1,1]$ ;
• $\mathrm{Arctan}a$ est l'unique réel $\theta \in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ tel que $\tan \theta =a$, pour $a\in \mathbb{R}$.

1. Donner la valeur exacte de chacun des réels suivants.

2. Simplifier les expressions suivantes. Attention : la réponse n'est pas toujours le réel écrit à l'intérieur.

3. Compléter, puis justifier chaque réponse en une phrase : l'égalité $\mathrm{Arcsin}(\sin x)=x$ est vraie si et seulement si $x$ appartient à $\dots$, alors que l'égalité $\sin (\mathrm{Arcsin}a)=a$ est vraie pour tout $a$ appartenant à $\dots$

Une primitive se cherche toujours sur un intervalle. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est

$$\{x\mapsto F(x)+C;C\in \mathbb{R}\}$$

et deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante. Cette description tombe en défaut dès que l'ensemble de travail n'est plus un intervalle : c'est l'objet de la question 2.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, sur l'intervalle indiqué.

2. La fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est aussi définie sur $]-\mathrm{\infty },0[$ : y déterminer une primitive. Expliquer ensuite pourquoi la phrase « les primitives de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ sont les $x\mapsto \ln \mid x\mid +C$ » est fausse.

3. Vérifier par dérivation les réponses obtenues aux questions 1.h., 1.m. et 1.n.

Toutes les équations ci-dessous sont de la forme $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b(x)$, où $a$ est une constante réelle et $b$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. On rappelle la méthode : on résout d'abord l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }}+ay=0$, dont les solutions sur un intervalle $I$ sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-ax}$, où $\lambda$ décrit $\mathbb{R}$ ; on cherche ensuite une solution particulière de l'équation complète ; la solution générale est la somme des deux.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes, d'inconnue une fonction $y$ dérivable de la variable réelle $x$.

Indications. Pour c. et d., chercher une solution particulière constante. Pour e., la chercher de la forme $x\mapsto a{e}^{2x}$, et pour g. de la forme $x\mapsto a\cos x+b\sin x$. Pour f., commencer par constater qu'aucune fonction $x\mapsto a{e}^{3x}$ ne peut convenir, puis chercher une solution particulière de la forme $x\mapsto ax{e}^{3x}$.

Dans chaque cas, vérifier la solution obtenue en la reportant dans l'équation.

La courbe ci-dessus est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3,4]$. Les points $A$ et $B$ sont ses deux extremums locaux ; les tangentes en ces points, horizontales, sont tracées en pointillés.

1. Lire les valeurs exactes de $f(-3)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(2)$ et $f(4)$, ainsi qu'une valeur approchée de $f(0)$. En déduire les coordonnées de $A$ et de $B$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3,4]$.

3. Déterminer le signe de $f$ sur $[-3,4]$. On notera $\alpha$ l'abscisse, non lisible exactement, du zéro situé entre $0$ et $1$.

4. Donner le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ sur $[-3,4]$, en précisant les valeurs en lesquelles $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

5. Discuter, selon le réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ sur $[-3,4]$.

6. Pour chacune des fonctions ci-dessous, et sans tracer sa courbe, préciser son ensemble de définition, la transformation géométrique qui envoie ${\mathcal{C}}_f$ sur sa courbe, les images des points $A$ et $B$, et ses variations.

On rappelle qu'une fonction $f$ définie sur une partie $D$ de $\mathbb{R}$ est bornée si et seulement si $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est majorée, c'est-à-dire s'il existe un réel $M$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $x\in D$.

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$.

a. Démontrer que pour tout réel $x$, $2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽1+x^2$, et préciser les cas d'égalité.

b. En déduire que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, puis déterminer son maximum et son minimum.

c. Retrouver ces résultats en étudiant les variations de $f$.

2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$. Montrer que $g$ est bornée. Admet-elle un maximum ? un minimum ?

3. Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sin x+\cos x$. Écrire $h(x)$ sous la forme $\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$, puis en déduire que $h$ est bornée et déterminer les réels en lesquels elle atteint son maximum et son minimum.

4. Soit $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x\sin x$. Démontrer que $u$ n'est pas bornée.

5. Soit $v$ définie sur $\mathbb{R}$ par $v(x)={\displaystyle \frac{3\sin x-1}{2+\cos x}}$. Vérifier que $v$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, puis montrer qu'elle est bornée en majorant $\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$.

6. Soit $w$ définie sur $\mathbb{R}$ par $w(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}$.

a. Montrer que $w$ est bornée, et qu'elle admet un minimum que l'on précisera.

b. Montrer que $1$ majore $w$, mais que $w$ ne prend jamais la valeur $1$.

c. Montrer qu'aucun réel strictement inférieur à $1$ ne majore $w$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel et $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$, avec la convention $f^{(0)}=f$. Chaque formule conjecturée devra être démontrée par récurrence.

1. Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{ax}$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, conjecturer une expression de $f^{(n)}$ et la démontrer.

2. a. Soit $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et les réécrire de façon à faire apparaître un signe alterné et une factorielle. Conjecturer $g^{(n)}$ et le démontrer.

b. Soit $a$ un réel fixé et $G(x)={\displaystyle \frac{1}{x-a}}$, définie sur $]-\mathrm{\infty },a[$ et sur $]a,+\mathrm{\infty }[$. En déduire $G^{(n)}$.

3. Soit $h$ définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=\ln (1+x)$. Déterminer $h^{(n)}$ pour $n⩾1$. Pourquoi faut-il exclure $n=0$ ?

4. Soit $k$ la fonction cosinus. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$, $k^{(n)}(x)=\cos (x+n{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. En déduire la dérivée $n$-ième de la fonction sinus.

5. Soit $m$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$ par $m(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$.

a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $m(x)={\displaystyle \frac{a}{x-1}}+{\displaystyle \frac{b}{x+1}}$, et vérifier l'identité obtenue.

b. En déduire $m^{(n)}(x)$, puis contrôler le résultat pour $n=1$ par un calcul direct.

Soit $f$ une fonction de deux variables $(x,y)$. On appelle dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$, notée ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$, la dérivée de la fonction d'une seule variable obtenue en figeant $y$, c'est-à-dire en traitant $y$ comme une constante. On définit de même ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ en figeant $x$. Aucune technique nouvelle n'est requise : ce sont les règles de dérivation habituelles, appliquées à une variable à la fois. Par exemple, pour $f(x,y)=3x^{2}y+y^5$, on obtient ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}=6xy$ (le terme $y^5$ est une constante vis-à-vis de $x$) et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}=3x^2+5y^4$.

1. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ pour chacune des fonctions suivantes, en précisant à chaque fois l'ensemble des couples $(x,y)$ pour lesquels le calcul a un sens.

2. Loi des gaz parfaits. La pression d'un gaz parfait s'écrit $P(V,T)={\displaystyle \frac{nRT}{V}}$, où $n$ et $R$ sont des constantes strictement positives, $V>0$ le volume et $T>0$ la température. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }V}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }T}}$, puis interpréter le signe de chacune.

3. Équation des ondes. Soient $A$, $k$ et $\omega$ trois constantes strictement positives et

$$u(x,t)=A\cos (kx-\omega t)$$

Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }t}}$, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{t}^2}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$, où ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{t}^2}}$ désigne la dérivée partielle par rapport à $t$ de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }t}}$. En déduire que $u$ vérifie l'égalité

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{t}^2}=c^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}\text{avec}c=\frac{\omega }{k}$$

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x)e^{-x}$, et l'on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. En déduire l'existence d'une asymptote à ${\mathcal{C}}_f$, dont on donnera une équation.

2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}(x^2-4x+2)$, puis factoriser $x^2-4x+2$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Préciser les extremums (valeurs exactes puis approchées à ${10}^{-3}$ près) et dire, pour chacun, s'il est local ou global.

4. Étudier le signe de $f(x)$ et déterminer les points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ avec l'axe des abscisses.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$, puis au point d'abscisse $2$.

6. Étudier la limite de ${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$ en $-\mathrm{\infty }$ et en déduire la nature de la branche infinie de ${\mathcal{C}}_f$ en $-\mathrm{\infty }$. Décrire enfin l'allure de la courbe.

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$.

1. Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son domaine et en déduire les asymptotes à sa courbe.

2. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, dresser le tableau de variations de $g$ et montrer que $g$ admet un maximum global égal à ${\displaystyle \frac{1}{e}}$, atteint en $x=e$.

3. Étudier le signe de $g(x)$ et déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $1$.

4. En comparant $g(e)$ et $g(\pi )$, démontrer que $e^{\pi }>{\pi }^e$.

On rappelle la définition du cours : pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x>0$, on pose

$$x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$$

Les fonctions puissances sont donc définies sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et prolongées en $0$ le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur $]-\mathrm{\infty },0[$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'ensemble de définition au sens du cours, puis dire si un prolongement en $0$ est possible et par quelle valeur.

2. Simplifier les expressions suivantes, la lettre $x$ désignant un réel strictement positif.

3. Calculer les dérivées suivantes, en revenant à chaque fois à la définition par l'exponentielle : a. $x\mapsto x^{\alpha }$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, où $\alpha$ est un réel fixé ; b. $x\mapsto x^x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ; c. $x\mapsto x^{\ln x}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ; d. $x\mapsto {(\ln x)}^x$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$.

4. Soit $\alpha$ un réel non nul et $f_{\alpha }:x\mapsto x^{\alpha }$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Déterminer les limites de $f_{\alpha }$ en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$, puis dresser son tableau de variations en distinguant les cas $\alpha >0$ et $\alpha <0$.

5. Soit $\alpha >1$. a. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{\alpha }}{{\alpha }^x}}$. b. Dans le cas $\alpha =2$, vérifier que $2$ et $4$ sont solutions de l'équation $2^x=x^2$, puis commenter la position relative de $x^2$ et $2^x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

6. Expliquer pourquoi l'écriture $(-8{)}^{1\mathrm{/}3}$ n'a aucun sens avec la définition du cours. Montrer de plus qu'en décidant d'écrire $(-8{)}^{1\mathrm{/}3}=-2$, on ruinerait la règle ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$.

Toutes les simplifications de cet exercice suivent le même schéma : on pose $\theta$ égal à l'arc concerné, on écrit les deux informations que fournit la définition (la valeur d'une ligne trigonométrique, et l'intervalle auquel $\theta$ appartient), puis on utilise la trigonométrie. L'intervalle sert à trancher un signe : sans lui, la simplification est fausse une fois sur deux.

1. Soit $x\in [-1,1]$. Simplifier $\cos (\mathrm{Arcsin}x)$, puis $\sin (\mathrm{Arccos}x)$. On justifiera avec soin le signe de la racine carrée obtenue.

2. Soit $x\in ]-1,1[$. Simplifier $\tan (\mathrm{Arcsin}x)$. Pourquoi les valeurs $x=1$ et $x=-1$ sont-elles exclues ?

3. Soit $x\in \mathbb{R}$. Simplifier $\cos (\mathrm{Arctan}x)$, puis $\sin (\mathrm{Arctan}x)$.

4. On pose, pour $x\in [-1,1]$, $h(x)=\mathrm{Arccos}x+\mathrm{Arcsin}x$.

a. Justifier que $h$ est dérivable sur $]-1,1[$ et calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$. Qu'en déduit-on pour $h$ sur cet intervalle ?

b. Calculer $h(0)$, puis $h(1)$ et $h(-1)$. Conclure que $\mathrm{Arccos}x+\mathrm{Arcsin}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $x\in [-1,1]$, bornes comprises.

5. Soit $x\in \mathbb{R}$. Établir les deux formules

$$\cos (2\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}\text{et}\sin (2\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$$

Ce sont les formules dites de la tangente de l'arc moitié, omniprésentes dès qu'il s'agit de paramétrer un cercle ou de rendre rationnelle une expression trigonométrique.

6. Application numérique : calculer les valeurs exactes de $\cos (2\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{2}})$ et $\sin (2\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{2}})$, puis contrôler le résultat avec la relation ${\cos }^2+{\sin }^2=1$.

On admet la formule de dérivation d'une fonction réciproque : si $f$ est une bijection dérivable d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$, et si $y\in J$ vérifie $f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(y))\mathrm{\ne }0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y$ et

$${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(y))}}$$

1. On note $s$ la restriction de $\sin$ à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ ; c'est une bijection de cet intervalle sur $[-1,1]$, de réciproque $\mathrm{Arcsin}$.

a. Calculer $s^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{Arcsin}y)$ en fonction de $y$, et déterminer pour quels $y\in [-1,1]$ cette quantité est non nulle.

b. En déduire que $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable sur $]-1,1[$, avec ${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}$.

c. Que se passe-t-il en $y=1$ et en $y=-1$ ? Interpréter géométriquement, sachant que les courbes de $s$ et de $\mathrm{Arcsin}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

2. Mener le même travail avec $\mathrm{Arccos}$, réciproque de la restriction de $\cos$ à $[0,\pi ]$, et montrer que ${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(y)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}$ sur $]-1,1[$. Vérifier la cohérence de ce résultat avec l'identité $\mathrm{Arccos}y+\mathrm{Arcsin}y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

3. Mener le même travail avec $\mathrm{Arctan}$, réciproque de la restriction de $\tan$ à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, et montrer que ${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{1+y^2}}$. Pourquoi n'y a-t-il, cette fois, aucun point à exclure ?

4. Dériver chacune des fonctions suivantes, en précisant à chaque fois son ensemble de définition et son ensemble de dérivabilité.

On définit sur $\mathbb{R}$ le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique par

$$\mathrm{ch}x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{et}\mathrm{sh}x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$

1. Exprimer $e^x$ et $e^{-x}$ à l'aide de $\mathrm{ch}x$ et $\mathrm{sh}x$. Déterminer la parité de $\mathrm{ch}$ et celle de $\mathrm{sh}$. Montrer enfin que $\mathrm{ch}x⩾1$ pour tout réel $x$, l'égalité n'ayant lieu qu'en $0$.

2. Calculer ${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}$ et ${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}$. Déterminer les limites de $\mathrm{ch}$ et de $\mathrm{sh}$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, puis dresser les deux tableaux de variations.

3. Étudier la position de la courbe de $\mathrm{ch}$, puis celle de la courbe de $\mathrm{sh}$, par rapport à la courbe d'équation $y={\displaystyle \frac{e^x}{2}}$. Que devient l'écart lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ?

4. Démontrer que, pour tout réel $x$, ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$. C'est la seule formule du paragraphe à connaître par cœur.

5. Les deux formules d'addition ci-dessous ne sont pas à apprendre par cœur, mais il faut savoir les retrouver en une ligne à partir des définitions. Le faire, pour tous réels $a$ et $b$ :

$$\mathrm{ch}(a+b)=\mathrm{ch}a\mathrm{ch}b+\mathrm{sh}a\mathrm{sh}b\text{et}\mathrm{sh}(a+b)=\mathrm{sh}a\mathrm{ch}b+\mathrm{ch}a\mathrm{sh}b$$

6. En déduire $\mathrm{sh}(2x)$, puis $\mathrm{ch}(2x)$ sous trois formes : en fonction de $\mathrm{ch}x$ et $\mathrm{sh}x$, en fonction de $\mathrm{ch}x$ seul, en fonction de $\mathrm{sh}x$ seul.

7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les deux équations suivantes, en posant à chaque fois $X=e^x$.

Commenter la différence entre les nombres de solutions obtenus.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{C}$. On note $u=\mathrm{Re}(f)$ et $v=\mathrm{Im}(f)$, de sorte que $f=u+iv$ avec $u$ et $v$ à valeurs réelles. Par définition, $f$ est dérivable lorsque $u$ et $v$ le sont, et on pose alors $f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$. Les règles de calcul usuelles (combinaison linéaire, produit, quotient) restent valables, et l'on admet que pour $\phi :I\to \mathbb{C}$ dérivable,

$${\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }$$

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=e^{(1+2i)t}$.

a. Déterminer $\mathrm{Re}(f(t))$, $\mathrm{Im}(f(t))$ et $\mid f(t)\mid$.

b. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ en dérivant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

c. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ directement par la formule admise ci-dessus, et vérifier que les deux calculs donnent le même nombre complexe.

2. Dériver les deux fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$.

Pour b., on donnera le résultat sous deux formes : celle que fournit la règle du quotient, et celle que fournit la séparation des parties réelle et imaginaire. On vérifiera qu'il s'agit bien du même nombre complexe.

3. a. Montrer que la fonction $t\mapsto e^{it}$ est de module constant, et interpréter géométriquement.

b. Soit $f:I\to \mathbb{C}$ dérivable sur un intervalle $I$ et telle que $\mid f\mid$ soit constante. Démontrer que pour tout $t\in I$,

$$\mathrm{Re}(\overline{f(t)}{f}^{\mathrm{\prime }}(t))=0$$

Contrôler cette identité sur l'exemple de la question a.

4. Deux points de vigilance.

a. Expliquer pourquoi la phrase « la fonction $t\mapsto e^{it}$ est croissante » n'a aucun sens. Quelles quantités associées à $f$ peut-on, en revanche, légitimement étudier ?

b. Démontrer que le théorème « une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante » reste vrai pour les fonctions à valeurs complexes. Qu'en déduit-on sur l'ensemble des primitives, sur un intervalle, d'une fonction à valeurs complexes ?

La quasi-totalité des primitives que l'on sait calculer sans technique particulière se ramène à l'une des sept formes ci-dessous, où $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Déterminer une primitive de chacune des douze fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. Pour chacune, on nommera explicitement la fonction $u$ choisie, on écrira la forme reconnue, et on contrôlera la réponse en la dérivant.

On rappelle le théorème d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)dx$$

Tout l'art consiste à choisir lequel des deux facteurs on dérive. On dérive celui qui se simplifie en étant dérivé (un polynôme, un logarithme, une fonction circulaire réciproque), et on intègre celui dont une primitive est immédiate. Trois situations types reviennent sans cesse : le produit d'un polynôme par une exponentielle ou une fonction trigonométrique, la fonction seule que l'on multiplie par le facteur $1$, et le produit d'une exponentielle par une fonction trigonométrique, qui se referme sur lui-même.

Calculer les intégrales suivantes. Pour chacune, on précisera les fonctions $u$ et $v$ choisies, on justifiera qu'elles sont de classe $C^1$ sur le segment d'intégration, et on motivera le choix du facteur dérivé.

On rappelle le théorème de changement de variable : si $\phi$ est de classe $C^1$ sur un segment $[\alpha ,\beta ]$ et si $f$ est continue sur un intervalle contenant $\phi \left([\alpha ,\beta ]\right)$, alors

$${\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$$

On l'utilise dans les deux sens. Sens direct : on repère dans l'intégrande un morceau $u$ accompagné de sa dérivée $u^{\mathrm{\prime }}$, et on pose $u=\phi (x)$ pour simplifier l'écriture. Sens inverse, dit « à rebours » : on remplace la variable d'intégration elle-même par une fonction bien choisie, $x=\sin t$ ou $x=\tan t$, pour faire disparaître une racine ou une puissance gênante.

1. Changements directs. Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué.

2. Changements à rebours. Calculer de même les deux intégrales suivantes.

Pour 2.a., interpréter géométriquement la valeur obtenue.

3. Le traitement des bornes. En reprenant le changement de variable $u=\sin x$ de la question 1.c., un élève écrit

$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{du}{1+u^2}$$

Calculer la valeur qu'il obtient, la comparer à la bonne, et expliquer précisément la règle qu'il a oubliée. Décrire enfin une méthode de rédaction qui dispense complètement de changer les bornes.

Remarque de rédaction. Le programme précise que, pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité. On les écrira malgré tout intégralement à la question 1.a., une fois pour toutes, afin de savoir ce qu'elles recouvrent.

On considère des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants, du type $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=0$ avec $a$ et $b$ réels. On rappelle la méthode : on écrit l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$, on calcule son discriminant $\mathrm{\Delta }$, et la forme des solutions dépend du signe de $\mathrm{\Delta }$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$, en donnant les solutions réelles, les équations suivantes. Pour chacune, écrire l'équation caractéristique, calculer $\mathrm{\Delta }$ et donner ses racines.

2. Dans le cas $\mathrm{\Delta }<0$, expliquer comment on passe des solutions complexes $x\mapsto e^{(\alpha \pm i\omega )x}$ à la forme réelle $x\mapsto e^{\alpha x}(\lambda \cos (\omega x)+\mu \sin (\omega x))$.

3. Résoudre les deux problèmes de Cauchy suivants, et vérifier chaque solution par substitution dans l'équation.

L'objectif est de savoir primitiver ${\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}$, puis ${\displaystyle \frac{\alpha x+\beta }{a{x}^2+bx+c}}$. Deux outils suffisent, et c'est le signe du discriminant qui décide lequel s'applique :

$$\int \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}dx=\ln \mid u(x)\mid +C\text{et}\int \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{Arctan}x+C$$

Toutes les décompositions demandées s'obtiennent à la main, par identification des coefficients ou par évaluation en une valeur bien choisie : on n'invoque aucun résultat général sur les fractions rationnelles.

Pour chaque fonction, déterminer les intervalles sur lesquels elle est définie, puis y déterminer toutes ses primitives. Chaque résultat sera vérifié par dérivation.

1. Discriminant strictement positif : $f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+6}}$. On discutera soigneusement les trois intervalles de validité.

2. Discriminant nul : $f_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-4x+4}}$.

3. Discriminant strictement négatif : $f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+5}}$.

4. Numérateur affine. Dans les deux cas suivants, on fera apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, plus un reste constant.

5. En déduire la valeur exacte des deux intégrales suivantes. Pour la seconde, on justifiera d'abord qu'elle a un sens.

On considère une équation différentielle linéaire du premier ordre $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)$, où $a$ et $b$ sont continues sur un intervalle $I$. Si $A$ est une primitive de $a$ sur $I$, les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, où $\lambda$ décrit $\mathbb{R}$. La méthode de variation de la constante consiste à chercher une solution de l'équation complète sous la forme

$$y(x)=\lambda (x)e^{-A(x)},$$

où la constante $\lambda$ est remplacée par une fonction dérivable $\lambda$ à déterminer.

1. Injecter cette expression dans l'équation et montrer que les termes contenant $\lambda (x)$ se simplifient toujours, quelles que soient $a$ et $b$. Expliquer pourquoi, et dire en quoi cette disparition sert de contrôle de calcul.

2. Résoudre par cette méthode les équations suivantes, sur l'intervalle indiqué.

3. Pour c., déterminer aussi une solution particulière évidente, et comparer les deux méthodes.

4. Pour d., mettre d'abord l'équation sous forme résolue, puis remarquer que le membre de gauche est la dérivée de la fonction $x\mapsto (1+x^2)y(x)$, et retrouver le résultat par cette seule remarque.

5. Vérifier chacune des quatre solutions obtenues en la reportant dans l'équation de départ.

Pour une équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f(x)$ à coefficients constants, la solution générale s'obtient en ajoutant à une solution particulière la famille complète des solutions de l'équation homogène associée. Tout le travail consiste donc à fabriquer une solution particulière, en devinant sa forme d'après le second membre.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

Indications. Pour a., chercher une solution particulière polynomiale de degré $2$. Pour b., la chercher de la forme $x\mapsto a{e}^{3x}$. Pour c., constater que $1$ est racine simple de l'équation caractéristique et chercher $x\mapsto ax{e}^x$. Pour d., constater que $1$ est racine double et chercher $x\mapsto a{x}^2{e}^x$. Pour f., passer par les complexes : le second membre est la partie réelle de $x\mapsto e^{ix}$, et $i$ est racine de l'équation caractéristique.

2. Justifier proprement le passage par les complexes : si une fonction $\underset{‾}{y}$ à valeurs complexes vérifie ${\underset{‾}{y}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{\underset{‾}{y}}^{\mathrm{\prime }}+b\underset{‾}{y}=e^{i\omega x}$ avec $a$ et $b$ réels, alors $\mathrm{Re}\left(\underset{‾}{y}\right)$ est solution de la même équation de second membre $\cos (\omega x)$.

3. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=x^2+e^{3x}$ en invoquant le principe de superposition et en réutilisant les questions 1. a. et 1. b.

4. Vérifier par substitution chacune des solutions particulières trouvées.

Les trois parties sont indépendantes et décrivent trois phénomènes sans rapport apparent. La partie D les compare.

Partie A. Refroidissement de Newton.

Un corps est placé dans une pièce maintenue à la température constante $T_{\text{ext}}=20{}^{\circ }\text{C}$. On note $T(t)$ sa température en degrés Celsius à l'instant $t$, exprimé en minutes. La loi de Newton s'écrit $T^{\mathrm{\prime }}(t)=-k(T(t)-T_{\text{ext}})$, où $k>0$. On mesure $T(0)=90{}^{\circ }\text{C}$ et $T(10)=70{}^{\circ }\text{C}$.

1. Poser $\theta (t)=T(t)-20$, résoudre l'équation vérifiée par $\theta$, puis exprimer $T(t)$ en fonction de $k$.

2. Déterminer la valeur exacte de $k$, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près. Vérifier que la fonction obtenue redonne bien les deux mesures.

3. Déterminer l'instant exact, sous forme de logarithmes, auquel la température vaut $30{}^{\circ }\text{C}$, puis en donner une valeur approchée en minutes et secondes. Vérifier le résultat.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }T(t)}$ et interpréter physiquement.

Partie B. Circuit RC.

Un générateur de tension constante $E$ alimente un conducteur ohmique de résistance $R$ en série avec un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé. On note $u(t)$ la tension aux bornes du condensateur et $i(t)$ l'intensité du courant. On admet la loi des mailles $E=Ri(t)+u(t)$ et la relation $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

5. Établir que $u$ vérifie $RC{u}^{\mathrm{\prime }}+u=E$. On pose $\tau =RC$ ; justifier que $\tau$ est homogène à un temps.

6. Résoudre le problème de Cauchy correspondant à $u(0)=0$, et vérifier la solution par substitution.

7. Déterminer l'instant $t_{95}$ auquel la tension atteint $95\mathrm{\%}$ de $E$, en fonction de $\tau$, et vérifier qu'il vaut environ $3\tau$. Application numérique avec $R=10\text{ k}\mathrm{\Omega }$ et $C=100\mu \text{F}$.

8. Décrire l'allure de la courbe représentative de $u$ (valeur initiale, pente à l'origine, valeur en $t=\tau$, asymptote), et la tracer à main levée.

Partie C. Cinétique chimique d'ordre 1.

La concentration $[A](t)$ d'un réactif, exprimée en moles par litre, vérifie $[A{]}^{\mathrm{\prime }}(t)=-k[A](t)$, où $k>0$ est exprimée en ${\text{s}}^{-1}$. On note $[A{]}_0$ la concentration initiale, supposée strictement positive.

9. Résoudre cette équation avec la condition initiale, et vérifier la solution.

10. Le temps de demi-réaction $t_{1\mathrm{/}2}$ est la durée au bout de laquelle la concentration a été divisée par deux. Montrer que $t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{k}}$, et qu'il ne dépend pas de l'instant à partir duquel on compte.

11. Application numérique avec $k=\mathrm{2,5}\times {10}^{-3}{\text{s}}^{-1}$ : calculer $t_{1\mathrm{/}2}$, puis la durée nécessaire pour que $90\mathrm{\%}$ du réactif ait disparu.

Partie D.

12. Ces trois situations mènent à la même équation différentielle : laquelle ? Que représente la constante de temps dans chacun des trois cas ?