Nombres complexes

Il existe des équations très simples que les nombres réels ne savent pas résoudre. La plus élémentaire est $x^2=-1$ : comme le carré d'un réel est toujours positif ou nul, aucun réel ne convient. Le réflexe naturel serait de s'arrêter là et de déclarer l'équation impossible. L'histoire a choisi l'autre voie : on fabrique un nombre nouveau dont le carré vaut $-1$, on l'appelle $i$, on l'ajoute aux réels, et on regarde ce que devient le calcul. Le résultat dépasse de très loin le problème de départ. Dans l'ensemble ainsi obtenu, noté $\mathbb{C}$, toute équation du second degré a des solutions, la trigonométrie devient un chapitre de calcul algébrique, les rotations du plan s'écrivent comme des multiplications, et les signaux sinusoïdaux de l'électrocinétique se manipulent comme des nombres.

Ce chapitre est donc à la fois un chapitre de calcul et un chapitre d'outils. Trois écritures d'un même nombre complexe vont cohabiter : l'écriture algébrique $z=x+iy$, adaptée aux sommes et aux parties réelle et imaginaire ; l'écriture trigonométrique $z=r{e}^{i\theta }$, adaptée aux produits, aux puissances et aux racines ; l'écriture exponentielle $e^z$, qui unifie les deux. Savoir passer de l'une à l'autre au bon moment est l'unique compétence réellement décisive du chapitre, et c'est aussi celle qui distingue un calcul de trois lignes d'un calcul de deux pages.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. Les lettres $z$, $z^{\prime }$, $w$ désignent des nombres complexes, les lettres $x$, $y$, $a$, $b$, $r$, $t$, $\theta$ des réels, les lettres $n$, $k$, $p$ des entiers. Les ensembles de nombres sont notés $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, avec ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ et ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Toutes les propriétés de $\mathbb{R}$ et toute la trigonométrie du lycée (formules d'addition, de duplication, valeurs remarquables) sont supposées connues et utilisées librement.

L'ensemble $\mathbb{C}$ et l'écriture algébrique

Ce que l'on admet

Le point de départ est un acte de foi contrôlé : on admet qu'un ensemble de nombres possédant les propriétés voulues existe. Cette existence se démontre, en construisant $\mathbb{C}$ à partir de $\mathbb{R}$, mais cette construction est hors programme et n'apporte rien au calcul. Ce qui compte, et qu'il faut connaître par cœur, c'est la liste exacte des propriétés admises : tout le reste du chapitre en découle.

Unicité de l'écriture algébrique

La propriété 4 affirme que tout complexe s'écrit sous la forme $x+iy$. Elle ne dit rien de l'unicité d'une telle écriture, qui est pourtant le fait le plus utilisé du chapitre : c'est lui qui autorise à identifier les parties réelles et les parties imaginaires de deux expressions égales.

Démonstration. L'existence est exactement la propriété 4 de la définition. Démontrons l'unicité.

Soient $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$ deux couples de réels tels que $x+iy=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$. En regroupant, il vient

$$x-x^{\prime }=i(y^{\prime }-y).$$

Raisonnons par l'absurde en supposant $y\ne y^{\prime }$. Alors $y^{\prime }-y$ est un réel non nul, donc inversible, et on peut écrire

$$i=\frac{x-x^{\prime }}{y^{\prime }-y}.$$

Le membre de droite est un quotient de deux réels, donc un réel : $i$ serait un nombre réel. Or le carré d'un réel est positif ou nul, ce qui donnerait $i^2⩾0$, en contradiction avec $i^2=-1<0$.

L'hypothèse $y\ne y^{\prime }$ est donc absurde : $y=y^{\prime }$. En reportant dans l'égalité $x-x^{\prime }=i(y^{\prime }-y)=0$, on obtient $x=x^{\prime }$. Les deux couples sont égaux. $\square$

Partie réelle, partie imaginaire

Démonstration. Le point 1 est une reformulation du théorème d'unicité : le sens direct traduit exactement l'unicité, puisque deux écritures algébriques d'un même nombre ont même couple de coefficients ; la réciproque est immédiate, en écrivant $z=\mathrm{Re}(z)+i\mathrm{Im}(z)$ et $z^{\prime }=\mathrm{Re}(z^{\prime })+i\mathrm{Im}(z^{\prime })$. Le point 2 est le cas particulier $z^{\prime }=0=0+i\times 0$ du point 1. Le point 3 est la définition. Pour le point 4, si $z$ est à la fois réel et imaginaire pur, alors $\mathrm{Im}(z)=0$ et $\mathrm{Re}(z)=0$, donc $z=0$ d'après le point 2 ; réciproquement $0$ appartient bien aux deux ensembles. $\square$

Opérations en écriture algébrique

Démonstration. Pour la somme, la commutativité et l'associativité de l'addition permettent de regrouper les termes, et la distributivité donne $iy+i{y}^{\prime }=i(y+y^{\prime })$. Comme $x+x^{\prime }$ et $y+y^{\prime }$ sont réels, l'écriture obtenue est bien l'écriture algébrique de $z+z^{\prime }$.

Pour le produit, on développe en utilisant la distributivité, puis on remplace $i^2$ par $-1$ :

$$\begin{array}{rl}z{z}^{\prime }& =(x+iy)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })\\ & =x{x}^{\prime }+xi{y}^{\prime }+iy{x}^{\prime }+iyi{y}^{\prime }\\ & =x{x}^{\prime }+i(x{y}^{\prime })+i(y{x}^{\prime })+i^2(y{y}^{\prime })\\ & =(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })+i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).\end{array}$$

Les deux coefficients obtenus sont réels, donc il s'agit bien de l'écriture algébrique du produit. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ sous forme algébrique. D'après la propriété précédente, $z+z^{\prime }=(x+x^{\prime })+i(y+y^{\prime })$ avec $x+x^{\prime }$ et $y+y^{\prime }$ réels : par unicité de l'écriture algébrique, $\mathrm{Re}(z+z^{\prime })=x+x^{\prime }$ et $\mathrm{Im}(z+z^{\prime })=y+y^{\prime }$, ce qui est l'égalité annoncée.

De même, $\lambda$ étant réel, $\lambda z=\lambda x+i(\lambda y)$ avec $\lambda x$ et $\lambda y$ réels, d'où $\mathrm{Re}(\lambda z)=\lambda x$ et $\mathrm{Im}(\lambda z)=\lambda y$. $\square$

Démonstration. Si $z=0$ ou $z^{\prime }=0$, le produit est nul. Réciproquement, supposons $z{z}^{\prime }=0$ et $z\ne 0$. Comme $z$ est non nul, il admet un inverse $z^{-1}$, et

$$z^{\prime }=1\times z^{\prime }=(z^{-1}z)z^{\prime }=z^{-1}(z{z}^{\prime })=z^{-1}\times 0=0.$$

Donc $z=0$ ou $z^{\prime }=0$. $\square$

Inverse et quotient

Démonstration. Si $x^2+y^2$ était nul, comme $x^2⩾0$ et $y^2⩾0$ sont deux réels, on aurait $x=y=0$, donc $z=0$, exclu. Donc $x^2+y^2$ est un réel strictement positif, et le nombre $w=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$ est bien défini. Calculons $zw$ :

$$zw=\frac{(x+iy)(x-iy)}{x^2+y^2}=\frac{x^2-(iy{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1.$$

On a utilisé l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, valable dans $\mathbb{C}$, et $(iy{)}^2=i^2{y}^2=-y^2$. Ainsi $w$ est l'inverse de $z$. La seconde écriture s'obtient en séparant les deux termes, les coefficients $\frac{x}{x^2+y^2}$ et $\frac{-y}{x^2+y^2}$ étant réels. $\square$

Puissances de $i$

Démonstration. On calcule d'abord les quatre premières puissances : $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$ par définition, et $i^3=i^2\times i=-i$. Puis $i^4=i^2\times i^2=(-1)\times (-1)=1$.

Soit maintenant $n$ un entier naturel, et soit $n=4q+r$ sa division euclidienne par $4$, avec $q\in \mathbb{N}$ et $0⩽r⩽3$. Alors

$$i^n=i^{4q+r}={\left(i^4\right)}^q\times i^r=1^q\times i^r=i^r.$$

Les quatre égalités annoncées s'obtiennent en prenant successivement $r=0,1,2,3$ et en reportant les valeurs calculées plus haut. $\square$

Les formules de calcul disponibles dans $\mathbb{C}$

Les identités algébriques du chapitre de calcul se démontrent uniquement à partir de la commutativité, de l'associativité et de la distributivité. Comme la propriété 2 de la définition garantit ces trois règles dans $\mathbb{C}$, toutes ces identités y restent valables, sans aucune adaptation, et il est inutile de les redémontrer.

Conjugaison

La conjugaison est l'opération qui change $i$ en $-i$. C'est l'outil le plus économique du chapitre : elle transforme les questions de nature (« ce nombre est-il réel ? ») en équations, et elle donne le seul moyen efficace de manipuler un quotient.

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ sous forme algébrique.

Point 1. Par définition $\overline{z}=x+i(-y)$, écriture algébrique puisque $x$ et $-y$ sont réels. En conjuguant une seconde fois, $\overline{\overline{z}}=x-i(-y)=x+iy=z$.

Point 2. On a $z+z^{\prime }=(x+x^{\prime })+i(y+y^{\prime })$, donc par définition du conjugué

$$\overline{z+z^{\prime }}=(x+x^{\prime })-i(y+y^{\prime })=(x-iy)+(x^{\prime }-i{y}^{\prime })=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}.$$

Le cas de l'opposé s'obtient avec $z^{\prime }=-z$, ou directement : $\overline{-z}=-x-i(-y)=-(x-iy)=-\overline{z}$.

Point 3. On a vu que $z{z}^{\prime }=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })+i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y)$, donc

$$\overline{z{z}^{\prime }}=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })-i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).$$

D'autre part, en appliquant la formule du produit aux complexes $\overline{z}=x+i(-y)$ et $\overline{z^{\prime }}=x^{\prime }+i(-y^{\prime })$ :

$$\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}=(x{x}^{\prime }-(-y)(-y^{\prime }))+i(x(-y^{\prime })+x^{\prime }(-y))=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })-i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).$$

Les deux résultats coïncident.

Point 4. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$, les deux membres valent $\overline{1}=1$. Supposons $\overline{z^n}={\left(\overline{z}\right)}^n$ pour un certain entier $n$. Alors, en utilisant le point 3 puis l'hypothèse de récurrence,

$$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times \overline{z}={\left(\overline{z}\right)}^n\times \overline{z}={\left(\overline{z}\right)}^{n+1}.$$

La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$.

Point 5. Supposons $z^{\prime }\ne 0$. Si l'on avait $\overline{z^{\prime }}=0$, alors en conjuguant et en utilisant le point 1, $z^{\prime }=\overline{\overline{z^{\prime }}}=\overline{0}=0$, exclu : donc $\overline{z^{\prime }}\ne 0$. En conjuguant l'égalité $z^{\prime }\times \frac{1}{z^{\prime }}=1$ et en utilisant le point 3, il vient

$$\overline{z^{\prime }}\times \overline{\left(\frac{1}{z^{\prime }}\right)}=\overline{1}=1,$$

ce qui signifie exactement que $\overline{\left(\frac{1}{z^{\prime }}\right)}$ est l'inverse de $\overline{z^{\prime }}$. La formule du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{z}{z^{\prime }}=z\times \frac{1}{z^{\prime }}$ et en appliquant le point 3. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ sous forme algébrique.

Pour la première équivalence : $\overline{z}=z$ s'écrit $x-iy=x+iy$, ce qui, par unicité de l'écriture algébrique, équivaut à $-y=y$, c'est-à-dire $2y=0$, c'est-à-dire $y=0$ ; et $y=\mathrm{Im}(z)=0$ équivaut à $z\in \mathbb{R}$.

Pour la seconde : $\overline{z}=-z$ s'écrit $x-iy=-x-iy$, ce qui équivaut à $x=-x$, c'est-à-dire $x=0$, c'est-à-dire $z\in i\mathbb{R}$. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$. Alors $z+\overline{z}=(x+iy)+(x-iy)=2x$, d'où $\frac{z+\overline{z}}{2}=x=\mathrm{Re}(z)$.

De même $z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy$, et comme $2i\ne 0$, on peut diviser : $\frac{z-\overline{z}}{2i}=y=\mathrm{Im}(z)$. $\square$

Module

Définition et premières propriétés

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ sous forme algébrique.

Point 1. La racine carrée d'un réel positif est positive, donc $|z|⩾0$. De plus $|z|=0$ équivaut à $x^2+y^2=0$, et comme $x^2⩾0$ et $y^2⩾0$, cette somme de deux réels positifs est nulle si et seulement si $x^2=y^2=0$, c'est-à-dire $x=y=0$, c'est-à-dire $z=0$.

Point 2. On calcule directement

$$z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy{)}^2=x^2+y^2=|z{|}^2.$$

Point 3. Si $z$ est réel, alors $y=0$ et $|z|=\sqrt{x^2}$, qui est la valeur absolue de $x$.

Point 4. Le conjugué $\overline{z}=x+i(-y)$ a pour module $\sqrt{x^2+(-y{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$, et le même calcul vaut pour $-z=(-x)+i(-y)$.

Point 5. Comme $y^2⩾0$, on a $x^2⩽x^2+y^2$, et la fonction racine carrée étant croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$,

$$|\mathrm{Re}(z)|=\sqrt{x^2}⩽\sqrt{x^2+y^2}=|z|.$$

L'égalité a lieu si et seulement si $x^2=x^2+y^2$, c'est-à-dire $y^2=0$, c'est-à-dire $y=0$, c'est-à-dire $z\in \mathbb{R}$. Le raisonnement pour la partie imaginaire est identique en échangeant les rôles de $x$ et $y$. $\square$

Démonstration.

Point 1. Les deux membres étant des réels positifs, il suffit de démontrer l'égalité de leurs carrés. Or, en utilisant $|w{|}^2=w\overline{w}$, la règle $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\overline{z^{\prime }}$ et la commutativité,

$$|z{z}^{\prime }{|}^2=(z{z}^{\prime })\overline{(z{z}^{\prime })}=z{z}^{\prime }\overline{z}\overline{z^{\prime }}=(z\overline{z})(z^{\prime }\overline{z^{\prime }})=|z{|}^2|z^{\prime }{|}^2=(|z||z^{\prime }|{)}^2.$$

Deux réels positifs de même carré sont égaux, donc $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$.

Point 2. Soit $z\ne 0$. En appliquant le point 1 à l'égalité $z\times \frac{1}{z}=1$, il vient $|z|\times \left|\frac{1}{z}\right|=|1|=1$, et comme $|z|\ne 0$ on peut diviser. La formule du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{z}{z^{\prime }}=z\times \frac{1}{z^{\prime }}$.

Point 3. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$ les deux membres valent $1$. Si $|z^n|=|z{|}^n$, alors $|z^{n+1}|=|z^n\times z|=|z^n||z|=|z{|}^n|z|=|z{|}^{n+1}$ d'après le point 1. Pour un exposant négatif $n=-m$ avec $m\in \mathbb{N}$ et $z\ne 0$, on combine avec le point 2 : $|z^{-m}|=\frac{1}{|z^m|}=\frac{1}{|z{|}^m}=|z{|}^{-m}$. $\square$

Inégalité triangulaire

Démonstration. Commençons par établir une identité utile, en développant à l'aide de $|w{|}^2=w\overline{w}$ :

$$\begin{array}{rl}{\left|z+z^{\prime }\right|}^2& =(z+z^{\prime })\overline{(z+z^{\prime })}\\ & =(z+z^{\prime })(\overline{z}+\overline{z^{\prime }})\\ & =z\overline{z}+z\overline{z^{\prime }}+z^{\prime }\overline{z}+z^{\prime }\overline{z^{\prime }}\\ & =|z{|}^2+(z\overline{z^{\prime }}+\overline{z\overline{z^{\prime }}})+|z^{\prime }{|}^2\\ & =|z{|}^2+2\mathrm{Re}(z\overline{z^{\prime }})+|z^{\prime }{|}^2.\end{array}$$

À l'avant-dernière ligne, on a reconnu $z^{\prime }\overline{z}=\overline{z\overline{z^{\prime }}}$, et à la dernière on a utilisé $w+\overline{w}=2\mathrm{Re}(w)$.

L'inégalité. D'après la majoration $|\mathrm{Re}(w)|⩽|w|$ appliquée à $w=z\overline{z^{\prime }}$, puis la multiplicativité du module,

$$\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)⩽\left|z\overline{z^{\prime }}\right|=|z|\left|\overline{z^{\prime }}\right|=|z||z^{\prime }|.$$

En reportant dans l'identité précédente,

$$|z+z^{\prime }{|}^2⩽|z{|}^2+2|z||z^{\prime }|+|z^{\prime }{|}^2=(|z|+|z^{\prime }|{)}^2.$$

Les deux nombres $|z+z^{\prime }|$ et $|z|+|z^{\prime }|$ sont des réels positifs, et la fonction racine carrée est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : on en déduit $|z+z^{\prime }|⩽|z|+|z^{\prime }|$.

Le cas d'égalité. En reprenant les deux étapes ci-dessus, l'égalité $|z+z^{\prime }|=|z|+|z^{\prime }|$ a lieu si et seulement si

$$\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=|z||z^{\prime }|=\left|z\overline{z^{\prime }}\right|,$$

c'est-à-dire si et seulement si le complexe $w=z\overline{z^{\prime }}$ vérifie $\mathrm{Re}(w)=|w|$. Or, pour $w=u+iv$, cette condition s'écrit $u=\sqrt{u^2+v^2}$, ce qui impose d'une part $u⩾0$, d'autre part, en élevant au carré, $u^2=u^2+v^2$ donc $v=0$ : elle équivaut donc à « $w$ est un réel positif ou nul ».

Supposons cette condition réalisée et posons $s=z\overline{z^{\prime }}⩾0$. Si $z=0$, la première branche de la conclusion est vérifiée. Si $z\ne 0$, alors $\overline{z^{\prime }}=\frac{s}{z}=\frac{s\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{s}{|z{|}^2}\overline{z}$, et en conjuguant cette égalité, dont le coefficient $\frac{s}{|z{|}^2}$ est réel,

$$z^{\prime }=\frac{s}{|z{|}^2}z=tz,\text{avec }t=\frac{s}{|z{|}^2}⩾0.$$

Réciproquement, si $z=0$, les deux membres valent $|z^{\prime }|$. Et s'il existe $t⩾0$ tel que $z^{\prime }=tz$, alors

$$|z+z^{\prime }|=|z+tz|=|(1+t)z|=|1+t||z|=(1+t)|z|=|z|+t|z|=|z|+|z^{\prime }|,$$

où l'on a utilisé $1+t⩾0$ et $|z^{\prime }|=|tz|=t|z|$. $\square$

Démonstration.

Point 1. En écrivant $z=(z-z^{\prime })+z^{\prime }$ et en appliquant l'inégalité triangulaire,

$$|z|⩽|z-z^{\prime }|+|z^{\prime }|,\text{donc}|z|-|z^{\prime }|⩽|z-z^{\prime }|.$$

En échangeant les rôles de $z$ et $z^{\prime }$, et en utilisant $|z^{\prime }-z|=|-(z-z^{\prime })|=|z-z^{\prime }|$, on obtient de même $|z^{\prime }|-|z|⩽|z-z^{\prime }|$. Le réel $||z|-|z^{\prime }||$ est égal à l'un des deux nombres $|z|-|z^{\prime }|$ et $|z^{\prime }|-|z|$, tous deux majorés par $|z-z^{\prime }|$ : l'inégalité annoncée en découle.

Point 2. Récurrence sur $n$. Pour $n=1$, l'inégalité s'écrit $|z_1|⩽|z_1|$, elle est vraie. Supposons-la vraie au rang $n$. Alors, en appliquant d'abord l'inégalité triangulaire à deux termes puis l'hypothèse de récurrence,

$$\left|\sum _{k=1}^{n+1}{z}_k\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^n{z}_k\right)+z_{n+1}\right|⩽\left|\sum _{k=1}^n{z}_k\right|+|z_{n+1}|⩽\sum _{k=1}^n|z_k|+|z_{n+1}|=\sum _{k=1}^{n+1}|z_k|.$$

La propriété est donc vraie pour tout entier $n⩾1$. $\square$

Démonstration. L'identité établie au début de la démonstration de l'inégalité triangulaire donne

$$|z+z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2+2\mathrm{Re}(z\overline{z^{\prime }})+|z^{\prime }{|}^2.$$

En l'appliquant au couple $(z,-z^{\prime })$, et en utilisant $\overline{-z^{\prime }}=-\overline{z^{\prime }}$, $|-z^{\prime }|=|z^{\prime }|$ ainsi que la linéarité de $\mathrm{Re}$ pour le scalaire réel $-1$,

$$|z-z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2-2\mathrm{Re}(z\overline{z^{\prime }})+|z^{\prime }{|}^2.$$

En additionnant ces deux égalités, les termes en $\mathrm{Re}(z\overline{z^{\prime }})$ se compensent et il reste

$$|z+z^{\prime }{|}^2+|z-z^{\prime }{|}^2=2|z{|}^2+2|z^{\prime }{|}^2.\square$$

Le plan complexe

Démonstration. Notons $a=x_A+i{y}_A$ et $b=x_B+i{y}_B$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A,y_B-y_A)$, donc pour affixe $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)=b-a$ : c'est le point 1. Le point 2 traduit de même le calcul des coordonnées d'une somme de vecteurs et d'un produit par un réel. Pour le point 3, la norme du vecteur de coordonnées $(x,y)$ vaut $\sqrt{x^2+y^2}$, qui est exactement le module de son affixe ; appliqué à $\overrightarrow{AB}$, cela donne $AB=\left|b-a\right|$. Enfin le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$, donc pour affixe $\frac{a+b}{2}$. $\square$

Démonstration. Pour un point $M$ d'affixe $z$, le point 3 de la propriété précédente donne $|z-a|=AM$. La condition $|z-a|=r$ signifie donc $AM=r$, ce qui est la définition du cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; les deux autres conditions s'interprètent de la même manière. $\square$

Nombres complexes de module 1, trigonométrie

L'ensemble $\mathbb{U}$

Démonstration.

Point 1. $|1|=1$ et $|-1|=1$. Un élément de module $1$ est non nul puisque seul $0$ est de module nul.

Point 2. Si $|z|=|z^{\prime }|=1$, alors $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|=1\times 1=1$.

Point 3. Si $|z|=1$, alors $z\ne 0$ et $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=1$ ; de plus $\left|\overline{z}\right|=|z|=1$.

Point 4. Soit $z\in \mathbb{U}$. La relation $z\overline{z}=|z{|}^2=1$ signifie exactement que $\overline{z}$ est l'inverse de $z$.

Point 5. Pour $n\in \mathbb{Z}$, $|z^n|=|z{|}^n=1^n=1$. $\square$

La notation $e^{i\theta }$

Démonstration du point 1. Pour tout réel $\theta$,

$$\left|e^{i\theta }\right|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\sqrt{1}=1.$$

Le point 2 est admis : il repose sur le fait que la fonction cosinus réalise une bijection de $[0,\pi ]$ sur $[-1,1]$, propriété des fonctions trigonométriques étudiée dans le chapitre consacré aux fonctions usuelles. Concrètement, si $x^2+y^2=1$, alors $x\in [-1,1]$, et l'on peut choisir $\theta$ dans $[0,\pi ]$ tel que $\cos \theta =x$ lorsque $y⩾0$, et $\theta$ dans $[-\pi ,0]$ sinon ; la relation ${\sin }^2\theta =1-x^2=y^2$ jointe au signe de $y$ donne alors $\sin \theta =y$. $\square$

Voici les valeurs remarquables à connaître par cœur.

Démonstration. Développons le produit du membre de droite en utilisant la formule du produit de deux complexes :

$$\begin{array}{rl}{e}^{ia}{e}^{ib}& =(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)\\ & =(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b)\\ & =\cos (a+b)+i\sin (a+b)\\ & =e^{i(a+b)},\end{array}$$

la troisième égalité provenant des formules d'addition du cosinus et du sinus. $\square$

Avant d'énoncer les conséquences, fixons une notation utilisée dans tout le chapitre.

Démonstration.

Point 1. Un complexe de module $1$ n'est pas nul. Comme $\cos (-\theta )=\cos \theta$ et $\sin (-\theta )=-\sin \theta$, on a $e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta =\overline{e^{i\theta }}$. Et puisque $e^{i\theta }$ appartient à $\mathbb{U}$, son inverse est son conjugué : $\frac{1}{e^{i\theta }}=\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$.

Point 2. $\frac{e^{ia}}{e^{ib}}=e^{ia}\times e^{-ib}=e^{i(a-b)}$, en utilisant le point 1 puis la propriété fondamentale.

Point 3. L'égalité $e^{i\theta }=1$ s'écrit $\cos \theta +i\sin \theta =1+i\times 0$, ce qui, par unicité de l'écriture algébrique, équivaut au système $\cos \theta =1$ et $\sin \theta =0$. Or $\cos \theta =1$ équivaut déjà à l'existence d'un entier $k$ tel que $\theta =2k\pi$ (propriété du cosinus connue depuis le lycée), et cette condition entraîne $\sin \theta =0$. Le système équivaut donc à $\theta \equiv 0[2\pi ]$.

Point 4. Comme $e^{i{\theta }^{\prime }}\ne 0$, on peut diviser :

$$e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\prime }}⟺\frac{e^{i\theta }}{e^{i{\theta }^{\prime }}}=1⟺e^{i(\theta -{\theta }^{\prime })}=1⟺\theta -{\theta }^{\prime }\equiv 0[2\pi ]⟺\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ].\square$$

Formules de Moivre et d'Euler

Démonstration. Traitons d'abord le cas $n\in \mathbb{N}$, par récurrence. Pour $n=0$, les deux membres valent $1$ (le membre de droite est $e^{i\times 0}=\cos 0+i\sin 0=1$). Supposons ${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$ pour un certain entier naturel $n$. Alors, en utilisant l'hypothèse de récurrence puis la propriété fondamentale,

$${\left(e^{i\theta }\right)}^{n+1}={\left(e^{i\theta }\right)}^n\times e^{i\theta }=e^{in\theta }\times e^{i\theta }=e^{i(n\theta +\theta )}=e^{i(n+1)\theta }.$$

La formule est donc vraie pour tout entier naturel.

Soit maintenant $n$ un entier négatif, et posons $m=-n\in \mathbb{N}$. Comme $e^{i\theta }\ne 0$, on peut écrire, en utilisant le cas positif déjà démontré puis le point 1 de la propriété précédente appliqué au réel $m\theta$ :

$${\left(e^{i\theta }\right)}^n=\frac{1}{{\left(e^{i\theta }\right)}^m}=\frac{1}{e^{im\theta }}=e^{-im\theta }=e^{in\theta }.$$

La seconde écriture s'obtient en remplaçant chaque exponentielle par sa définition. $\square$

Démonstration. Par définition, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ et $e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$. En additionnant, $e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta$, et en soustrayant, $e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta$. Il ne reste qu'à diviser par $2$ et par $2i$ respectivement, ces deux nombres étant non nuls. $\square$

Linéarisation

Expression de $\cos (n\theta )$ et $\sin (n\theta )$

La technique de l'arc moitié

Démonstration. Pour la troisième formule, on factorise par $e^{i(a+b)/2}$ :

$$\begin{array}{rl}{e}^{ia}+e^{ib}& =e^{i(a+b)/2}\left(e^{ia}{e}^{-i(a+b)/2}+e^{ib}{e}^{-i(a+b)/2}\right)\\ & =e^{i(a+b)/2}\left(e^{i(a-b)/2}+e^{-i(a-b)/2}\right)\\ & =2\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i(a+b)/2},\end{array}$$

la dernière égalité étant la formule d'Euler. Le même calcul avec une différence fait apparaître $e^{i(a-b)/2}-e^{-i(a-b)/2}=2i\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)$, ce qui donne la quatrième formule. Les deux premières en sont le cas particulier $a=\theta$, $b=0$ :

$$e^{i\theta }+1=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{i\theta /2},e^{i\theta }-1=2i\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{i\theta /2},$$

et la deuxième formule annoncée est l'opposée de cette dernière. $\square$

Sommes trigonométriques

Transformation de $a\cos t+b\sin t$

Démonstration. Posons $R=\sqrt{a^2+b^2}$ : comme $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, $R>0$. Le complexe $\frac{a}{R}+i\frac{b}{R}$ a pour module

$$\sqrt{\frac{a^2}{R^2}+\frac{b^2}{R^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{R}=1,$$

il appartient donc à $\mathbb{U}$, et le paramétrage du cercle trigonométrique fournit un réel $\phi$ tel que $\frac{a}{R}+i\frac{b}{R}=e^{i\phi }$, c'est-à-dire $a=R\cos \phi$ et $b=R\sin \phi$.

Alors, pour tout réel $t$, la formule d'addition du cosinus donne

$$R\cos (t-\phi )=R\left(\cos t\cos \phi +\sin t\sin \phi \right)=(R\cos \phi )\cos t+(R\sin \phi )\sin t=a\cos t+b\sin t.$$

Unicité. Soient $R^{\prime }>0$ et ${\phi }^{\prime }$ convenant également, de sorte que $R\cos (t-\phi )=R^{\prime }\cos (t-{\phi }^{\prime })$ pour tout réel $t$. Évaluons cette égalité en deux valeurs bien choisies. Pour $t=\phi$, comme $\cos 0=1$, elle donne $R=R^{\prime }\cos (\phi -{\phi }^{\prime })$. Pour $t={\phi }^{\prime }$, elle donne $R\cos ({\phi }^{\prime }-\phi )=R^{\prime }$, c'est-à-dire $R^{\prime }=R\cos (\phi -{\phi }^{\prime })$ puisque le cosinus est pair.

En multipliant ces deux relations, $R{R}^{\prime }=R{R}^{\prime }{\cos }^2(\phi -{\phi }^{\prime })$, et comme $R{R}^{\prime }>0$ on peut simplifier : ${\cos }^2(\phi -{\phi }^{\prime })=1$, donc $\cos (\phi -{\phi }^{\prime })=1$ ou $\cos (\phi -{\phi }^{\prime })=-1$. Le second cas donnerait $R=-R^{\prime }$, donc $R<0$, ce qui est exclu. Il reste $\cos (\phi -{\phi }^{\prime })=1$, d'où d'une part $R=R^{\prime }$, d'autre part $\phi -{\phi }^{\prime }\equiv 0[2\pi ]$. $\square$

Forme trigonométrique, module et argument

Le théorème de la forme trigonométrique

Démonstration. Existence. Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. Posons $r=|z|$ : c'est un réel strictement positif puisque $z\ne 0$. Le complexe $u=\frac{z}{|z|}$ vérifie

$$|u|=\frac{|z|}{||z||}=\frac{|z|}{|z|}=1,$$

en utilisant que $|z|$ est un réel strictement positif, donc égal à sa valeur absolue. Ainsi $u\in \mathbb{U}$, et le paramétrage du cercle trigonométrique fournit un réel $\theta$ tel que $u=e^{i\theta }$. En multipliant par $r$, on obtient $z=r{e}^{i\theta }$.

Unicité. Supposons $r{e}^{i\theta }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r>0$ et $r^{\prime }>0$. En passant aux modules et en utilisant $\left|e^{i\theta }\right|=1$ ainsi que la positivité de $r$ et $r^{\prime }$ :

$$r=r\left|e^{i\theta }\right|=\left|r{e}^{i\theta }\right|=\left|r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}\right|=r^{\prime }.$$

Comme $r=r^{\prime }>0$, on peut simplifier l'égalité de départ par $r$, ce qui donne $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\prime }}$, donc $\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]$ d'après le paragraphe 4. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=r{e}^{i\theta }$ et $z^{\prime }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r>0$, $r^{\prime }>0$.

Point 1. On a $z{z}^{\prime }=r{r}^{\prime }{e}^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=(r{r}^{\prime })e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$, et $r{r}^{\prime }>0$ : c'est donc une forme trigonométrique de $z{z}^{\prime }$, d'où $|z{z}^{\prime }|=r{r}^{\prime }$ et $\arg (z{z}^{\prime })\equiv \theta +{\theta }^{\prime }[2\pi ]$.

Point 2. De même $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}{e}^{-i\theta }$ avec $\frac{1}{r}>0$, ce qui est une forme trigonométrique ; d'où $\arg \left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\theta [2\pi ]$. La formule du quotient s'obtient en combinant avec le point 1.

Point 3. Par la formule de Moivre, $z^n=r^n{e}^{in\theta }$, et $r^n>0$ : c'est une forme trigonométrique, d'où le résultat.

Point 4. On a $\overline{z}=\overline{r{e}^{i\theta }}=r\overline{e^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$, car $r$ est réel ; comme $r>0$, c'est une forme trigonométrique et $\arg (\overline{z})\equiv -\theta [2\pi ]$. Enfin $-1=\cos \pi +i\sin \pi =e^{i\pi }$, donc $-z=r{e}^{i\theta }{e}^{i\pi }=r{e}^{i(\theta +\pi )}$, d'où $\arg (-z)\equiv \theta +\pi [2\pi ]$. $\square$

Passer d'une forme à l'autre

Démonstration. Écrivons $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r>0$, de sorte que $z=r\cos \theta +ir\sin \theta$ est l'écriture algébrique de $z$.

Point 1. $z$ est un réel strictement positif si et seulement si $r\sin \theta =0$ et $r\cos \theta >0$, c'est-à-dire, en divisant par $r>0$, si et seulement si $\sin \theta =0$ et $\cos \theta >0$. Or $\sin \theta =0$ équivaut à $\theta \equiv 0[\pi ]$, et parmi ces valeurs celles qui donnent $\cos \theta =1>0$ sont exactement les $\theta \equiv 0[2\pi ]$, les autres donnant $\cos \theta =-1$.

Point 2. Même raisonnement avec $\cos \theta <0$, ce qui sélectionne $\theta \equiv \pi [2\pi ]$.

Point 3. $z$ est réel si et seulement si $\sin \theta =0$, c'est-à-dire $\theta \equiv 0[\pi ]$. On peut aussi voir ce point comme la réunion des cas 1 et 2, $z$ étant non nul.

Point 4. $z$ est imaginaire pur si et seulement si $r\cos \theta =0$, c'est-à-dire $\cos \theta =0$, c'est-à-dire $\theta \equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$. $\square$

Exponentielle complexe

Définition et cohérence

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ sous forme algébrique.

Point 1. Comme $z+z^{\prime }=(x+x^{\prime })+i(y+y^{\prime })$, la définition donne, en utilisant la propriété de l'exponentielle réelle puis la propriété fondamentale du paragraphe 4 :

$$e^{z+z^{\prime }}=e^{x+x^{\prime }}{e}^{i(y+y^{\prime })}=e^x{e}^{x^{\prime }}{e}^{iy}{e}^{i{y}^{\prime }}=\left(e^x{e}^{iy}\right)\left(e^{x^{\prime }}{e}^{i{y}^{\prime }}\right)=e^z{e}^{z^{\prime }}.$$

Point 3. Le réel $e^x$ est strictement positif et $e^{iy}\in \mathbb{U}$ : l'écriture $e^z=e^x{e}^{iy}$ est donc une forme trigonométrique, ce qui donne directement $\left|e^z\right|=e^x$ et $\arg (e^z)\equiv y[2\pi ]$.

Point 2. D'après le point 3, $\left|e^z\right|=e^x\ne 0$, donc $e^z\ne 0$. Ensuite, le point 1 appliqué à $z$ et $-z$ donne $e^z{e}^{-z}=e^0=1$, donc $e^{-z}$ est l'inverse de $e^z$.

Point 4. Comme $e^x$ est réel, $\overline{e^z}=\overline{e^x{e}^{iy}}=e^x\overline{e^{iy}}=e^x{e}^{-iy}$, et ce dernier nombre est par définition $e^{x-iy}=e^{\overline{z}}$. $\square$

Démonstration.

Point 1. Écrivons $z=x+iy$. Comme deux complexes égaux ont même module, l'égalité $e^z=1$ entraîne $\left|e^z\right|=1$, c'est-à-dire $e^x=1$, c'est-à-dire $x=0$ par stricte croissance de l'exponentielle réelle. Réciproquement, si $x=0$, alors $e^z=e^{iy}$. L'équation devient donc $e^{iy}=1$, qui équivaut à $y\equiv 0[2\pi ]$, c'est-à-dire à l'existence de $k\in \mathbb{Z}$ tel que $y=2k\pi$. Finalement $e^z=1$ équivaut à $z=0+i(2k\pi )=2ik\pi$ pour un certain $k\in \mathbb{Z}$.

Point 2. Comme $e^{z^{\prime }}\ne 0$, on peut diviser :

$$e^z=e^{z^{\prime }}⟺\frac{e^z}{e^{z^{\prime }}}=1⟺e^{z-z^{\prime }}=1⟺z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z},$$

en utilisant le point 2 de la propriété précédente puis le point 1 ci-dessus.

Point 3. $e^{z+2i\pi }=e^z{e}^{2i\pi }=e^z\times 1=e^z$. $\square$

Équations du second degré et racines carrées

Racines carrées d'un nombre complexe

Démonstration. Cas $a=0$. L'équation $z^2=0$ équivaut à $z\times z=0$, donc à $z=0$ puisqu'un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est.

Cas $a\ne 0$ : existence. Écrivons $a$ sous forme trigonométrique, $a=\rho e^{i\alpha }$ avec $\rho >0$, ce qui est possible car $a\ne 0$. Posons

$$z_0=\sqrt{\rho }{e}^{i\alpha /2},$$

où $\sqrt{\rho }$ désigne cette fois la racine carrée du réel strictement positif $\rho$, qui est parfaitement définie. Alors, par la formule de Moivre,

$$z_0^2={\left(\sqrt{\rho }\right)}^2{\left(e^{i\alpha /2}\right)}^2=\rho e^{i\alpha }=a.$$

Donc $z_0$ est une racine carrée de $a$, et $-z_0$ en est une autre puisque $(-z_0{)}^2=z_0^2=a$. Comme $a\ne 0$, on a $z_0\ne 0$, donc $z_0\ne -z_0$ : cela fait bien deux racines distinctes.

Cas $a\ne 0$ : il n'y en a pas d'autres. Soit $z$ une racine carrée quelconque de $a$. Alors $z^2=z_0^2$, donc

$$0=z^2-z_0^2=(z-z_0)(z+z_0).$$

Un produit de complexes étant nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, on obtient $z=z_0$ ou $z=-z_0$. $\square$

L'équation du second degré

Démonstration. Comme $a\ne 0$, on peut factoriser par $a$ et écrire la forme canonique. Pour tout $z\in \mathbb{C}$,

$$\begin{array}{rl}a{z}^2+bz+c& =a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{\delta }{2a}\right)}^2\right),\end{array}$$

où l'on a utilisé ${\delta }^2=\Delta$ à la dernière ligne. La différence de deux carrés se factorise :

$$a{z}^2+bz+c=a\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{\delta }{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{\delta }{2a}\right)=a\left(z-\frac{-b+\delta }{2a}\right)\left(z-\frac{-b-\delta }{2a}\right).$$

C'est la factorisation annoncée, avec $z_1$ et $z_2$ comme dans l'énoncé.

Comme $a\ne 0$, un produit de complexes étant nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, l'équation $(E)$ équivaut à $z=z_1$ ou $z=z_2$.

Il reste à compter les solutions. On a

$$z_1-z_2=\frac{(-b+\delta )-(-b-\delta )}{2a}=\frac{\delta }{a}.$$

Si $\Delta \ne 0$, alors $\delta \ne 0$ (car ${\delta }^2=\Delta$), donc $z_1\ne z_2$ : il y a deux solutions distinctes. Si $\Delta =0$, alors $\delta =0$ et $z_1=z_2=\frac{-b}{2a}$ : il y a une solution unique. $\square$

Somme et produit des racines

Démonstration. Sens direct. Avec les notations du théorème, et $\delta$ une racine carrée de $\Delta$,

$$z_1+z_2=\frac{(-b+\delta )+(-b-\delta )}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a},$$ $$z_1{z}_2=\frac{(-b+\delta )(-b-\delta )}{4a^2}=\frac{b^2-{\delta }^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$$

Réciproque. Supposons $z_1+z_2=s$ et $z_1{z}_2=p$. Alors, pour tout $z\in \mathbb{C}$,

$$(z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1{z}_2=z^2-sz+p,$$

donc $z_1$ et $z_2$ sont bien les solutions de $z^2-sz+p=0$. Inversement, si $z_1$ et $z_2$ sont les solutions de cette équation, le sens direct appliqué à $a=1$, $b=-s$, $c=p$ donne $z_1+z_2=s$ et $z_1{z}_2=p$. $\square$

Le cas des coefficients réels

Démonstration. Les cas 1 et 2 sont ceux du lycée : lorsque $\Delta ⩾0$, le réel $\sqrt{\Delta }$ est une racine carrée de $\Delta$ dans $\mathbb{C}$, et le théorème s'applique avec $\delta =\sqrt{\Delta }$.

Supposons $\Delta <0$. Alors $-\Delta >0$, le réel $\sqrt{-\Delta }$ est bien défini, et le complexe $\delta =i\sqrt{-\Delta }$ vérifie

$${\delta }^2=i^2{\left(\sqrt{-\Delta }\right)}^2=-(-\Delta )=\Delta .$$

C'est donc une racine carrée de $\Delta$, et le théorème donne les deux solutions annoncées. Comme $a$, $b$ et $\sqrt{-\Delta }$ sont réels, la conjugaison de $z_1$ donne

$$\overline{z_1}=\frac{\overline{-b+i\sqrt{-\Delta }}}{\overline{2a}}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}=z_2.$$

Enfin $\sqrt{-\Delta }\ne 0$, donc la partie imaginaire $\frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}$ de $z_1$ est non nulle : les solutions ne sont pas réelles. $\square$

Racines $n$-ièmes

Racines $n$-ièmes de l'unité

Démonstration. Première étape : une racine $n$-ième de l'unité est de module $1$. Soit $z$ tel que $z^n=1$. En passant aux modules, $|z{|}^n=1$. Or $|z|$ est un réel positif, et la fonction $t\mapsto t^n$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : elle prend donc la valeur $1$ pour une seule valeur positive de $t$, à savoir $t=1$. Donc $|z|=1$, et il existe un réel $\theta$ tel que $z=e^{i\theta }$.

Deuxième étape : traduction de l'équation. Pour $z=e^{i\theta }$, la formule de Moivre donne $z^n=e^{in\theta }$, donc

$$z^n=1⟺e^{in\theta }=1⟺n\theta \equiv 0[2\pi ]⟺\exists k\in \mathbb{Z},n\theta =2k\pi ⟺\exists k\in \mathbb{Z},\theta =\frac{2k\pi }{n}.$$

Les racines $n$-ièmes de l'unité sont donc exactement les nombres $e^{2ik\pi /n}$ pour $k\in \mathbb{Z}$.

Troisième étape : se ramener à $k\in \{0,\dots ,n-1\}$. Soit $k\in \mathbb{Z}$, et soit $k=qn+r$ sa division euclidienne par $n$, avec $q\in \mathbb{Z}$ et $0⩽r⩽n-1$. Alors

$$e^{2ik\pi /n}=e^{2i(qn+r)\pi /n}=e^{2iq\pi }{e}^{2ir\pi /n}=e^{2ir\pi /n},$$

car $e^{2iq\pi }=1$. Toute racine $n$-ième de l'unité est donc de la forme $e^{2ir\pi /n}$ avec $0⩽r⩽n-1$.

Quatrième étape : ces $n$ nombres sont deux à deux distincts. Soient $k$ et $k^{\prime }$ dans $\{0,\dots ,n-1\}$ tels que $e^{2ik\pi /n}=e^{2i{k}^{\prime }\pi /n}$. Alors $\frac{2k\pi }{n}\equiv \frac{2k^{\prime }\pi }{n}[2\pi ]$, donc il existe $m\in \mathbb{Z}$ tel que $\frac{2(k-k^{\prime })\pi }{n}=2m\pi$, c'est-à-dire $k-k^{\prime }=mn$. Or, puisque $0⩽k⩽n-1$ et $0⩽k^{\prime }⩽n-1$, on a $|k-k^{\prime }|⩽n-1<n$, ce qui impose $|m|n<n$, donc $m=0$ et $k=k^{\prime }$.

Enfin, $e^{2ik\pi /n}={\left(e^{2i\pi /n}\right)}^k={\omega }^k$ par la formule de Moivre, d'où la seconde écriture. $\square$

Démonstration.

Point 1. C'est la première étape de la démonstration précédente.

Point 2. Si $z^n=1$ et $z^{\prime n}=1$, alors $(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}=1$, donc $z{z}^{\prime }\in {\mathbb{U}}_n$. De plus $z\ne 0$ (car $z^n=1\ne 0$) et ${\left(\frac{1}{z}\right)}^n=\frac{1}{z^n}=1$. Enfin, en conjuguant $z^n=1$, on obtient ${\overline{z}}^n=1$.

Point 3. Supposons $n⩾2$. Alors $\omega =e^{2i\pi /n}\ne 1$ : en effet, $\frac{2\pi }{n}$ appartient à $\left]0,2\pi \right[$, donc n'est pas congru à $0$ modulo $2\pi$. La somme est géométrique de raison $\omega \ne 1$, donc

$$\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k=\frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }=\frac{1-1}{1-\omega }=0,$$

puisque ${\omega }^n=1$.

Point 4. En utilisant ${\omega }^k={\left(e^{2i\pi /n}\right)}^k$ et la propriété fondamentale de l'exponentielle,

$$\prod _{k=0}^{n-1}{\omega }^k={\omega }^{0+1+\cdots +(n-1)}={\omega }^{\frac{n(n-1)}{2}}=e^{\frac{2i\pi }{n}\times \frac{n(n-1)}{2}}=e^{i\pi (n-1)}={\left(e^{i\pi }\right)}^{n-1}=(-1{)}^{n-1}.\square$$

Démonstration. Par la formule de Moivre, $j^3=e^{3\times 2i\pi /3}=e^{2i\pi }=1$, et $|j|=\left|e^{2i\pi /3}\right|=1$. La relation $1+j+j^2=0$ est le point 3 de la propriété précédente pour $n=3$.

Comme $|j|=1$, on a $\overline{j}=\frac{1}{j}$. Et de $j^3=1$ on tire $j\times j^2=1$, donc $\frac{1}{j}=j^2$. Enfin

$$j^2=e^{4i\pi /3}=\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},$$

ce qui est bien le conjugué de $j$. $\square$

Racines $n$-ièmes d'un complexe non nul

Démonstration. Posons $z_0={\rho }^{1/n}{e}^{i\alpha /n}$. Par la formule de Moivre,

$$z_0^n={\left({\rho }^{1/n}\right)}^n{\left(e^{i\alpha /n}\right)}^n=\rho e^{i\alpha }=a,$$

donc $z_0$ est bien une solution ; en particulier $z_0\ne 0$ puisque $a\ne 0$.

Soit maintenant $z\in \mathbb{C}$. Comme $z_0\ne 0$, on peut écrire

$$z^n=a⟺z^n=z_0^n⟺{\left(\frac{z}{z_0}\right)}^n=1⟺\frac{z}{z_0}\in {\mathbb{U}}_n⟺\exists k\in \{0,\dots ,n-1\},\frac{z}{z_0}=e^{2ik\pi /n}.$$

Les solutions sont donc exactement les $z_0{e}^{2ik\pi /n}$ pour $k\in \{0,\dots ,n-1\}$, ce qui est la liste annoncée. Elles sont deux à deux distinctes : si $z_{0}u=z_0{u}^{\prime }$ avec $u,u^{\prime }\in {\mathbb{U}}_n$, alors $u=u^{\prime }$ puisque $z_0\ne 0$, et les $n$ éléments de ${\mathbb{U}}_n$ sont distincts. Il y a donc exactement $n$ solutions. $\square$

Interprétation géométrique et transformations

Dans tout ce paragraphe, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$, et les points sont notés par des majuscules, leur affixe par la minuscule correspondante : $A$ a pour affixe $a$, $M$ a pour affixe $z$, etc. Les notions d'affixe, de distance et de milieu ont été introduites au paragraphe 3.

Colinéarité et orthogonalité

Démonstration. Écrivons $u=x+iy$ et $v=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$, de sorte que $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(x,y)$ et $\overrightarrow{v}$ pour coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$. Calculons le produit $\overline{u}v$ :

$$\overline{u}v=(x-iy)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })=\left(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }\right)+i\left(x{y}^{\prime }-x^{\prime }y\right).$$

On reconnaît, dans la partie réelle, le produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$, et dans la partie imaginaire le déterminant $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y$ des deux vecteurs. Ainsi

$$\mathrm{Re}\left(\overline{u}v\right)=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v},\mathrm{Im}\left(\overline{u}v\right)=\det \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$$

Par ailleurs, comme $u\ne 0$,

$$\frac{v}{u}=\frac{v\overline{u}}{u\overline{u}}=\frac{\overline{u}v}{|u{|}^2},$$

et $|u{|}^2$ est un réel strictement positif : les complexes $\frac{v}{u}$ et $\overline{u}v$ sont donc proportionnels par un facteur réel strictement positif, ce qui entraîne que l'un est réel (respectivement imaginaire pur) si et seulement si l'autre l'est.

Il ne reste qu'à traduire les deux critères de géométrie du plan. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, c'est-à-dire $\mathrm{Im}\left(\overline{u}v\right)=0$, c'est-à-dire $\overline{u}v\in \mathbb{R}$, c'est-à-dire $\frac{v}{u}\in \mathbb{R}$. Ils sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire $\mathrm{Re}\left(\overline{u}v\right)=0$, c'est-à-dire $\overline{u}v\in i\mathbb{R}$, c'est-à-dire $\frac{v}{u}\in i\mathbb{R}$. $\square$

Démonstration. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont pour affixes $b-a$ et $d-c$, avec $b-a\ne 0$ puisque $A\ne B$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si ces vecteurs sont colinéaires, et perpendiculaires si et seulement s'ils sont orthogonaux : la propriété précédente s'applique. Pour l'alignement, on applique cette même propriété aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, d'affixes $b-a$ et $c-a$ : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si $\frac{c-a}{b-a}\in \mathbb{R}$. $\square$

Angles orientés

Démonstration. Écrivons les formes trigonométriques $u=r{e}^{i\theta }$ et $v=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r>0$ et $r^{\prime }>0$. Le vecteur $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ : le réel $\theta$ est donc une mesure de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{u}\right)$, et de même ${\theta }^{\prime }$ est une mesure de $\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{v}\right)$. Par la relation de Chasles sur les angles orientés,

$$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\equiv \left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{v}\right)-\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{u}\right)\equiv {\theta }^{\prime }-\theta [2\pi ].$$

Or $\frac{v}{u}=\frac{r^{\prime }}{r}{e}^{i({\theta }^{\prime }-\theta )}$ avec $\frac{r^{\prime }}{r}>0$ : c'est une forme trigonométrique, donc $\arg \left(\frac{v}{u}\right)\equiv {\theta }^{\prime }-\theta [2\pi ]$. $\square$

Ensembles de points classiques

Démonstration. Le premier point a été établi au paragraphe 3. Pour le deuxième, la condition $|z-a|=|z-b|$ s'écrit $AM=BM$, et la médiatrice de $[AB]$ est précisément l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$. Pour les deux derniers, si $z=x+iy$ est l'écriture algébrique de l'affixe de $M$, alors $M$ a pour coordonnées $(x,y)$, et $\mathrm{Re}(z)=k$ signifie $x=k$, équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées $(k,0)$ ; de même pour $\mathrm{Im}(z)=k$. $\square$

Transformations du plan

Avertissement de notation : dans tout ce paragraphe, la lettre $\omega$ désigne l'affixe du centre $\Omega$ d'une transformation, et non la racine $n$-ième de l'unité $e^{2i\pi /n}$ du paragraphe 8. Les deux usages sont classiques, ils ne se rencontrent jamais dans le même calcul.

Démonstration.

Point 1. $M^{\prime }$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$, ce qui, en passant aux affixes, s'écrit $z^{\prime }-z=b$.

Point 2. $M^{\prime }$ est l'image de $M$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ si et seulement si $\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}=k\overrightarrow{\Omega M}$. Les affixes de ces deux vecteurs sont $z^{\prime }-\omega$ et $z-\omega$, et $k$ est réel : la relation entre vecteurs équivaut donc à $z^{\prime }-\omega =k(z-\omega )$.

Point 3. Traitons d'abord le cas $M=\Omega$. La rotation de centre $\Omega$ laisse $\Omega$ fixe, donc $z^{\prime }=\omega$, et la formule proposée donne bien $z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }\times 0=0$.

Supposons maintenant $M\ne \Omega$, et écrivons $z-\omega =r{e}^{i\alpha }$ avec $r=\Omega M>0$. Par définition, $M^{\prime }$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ si et seulement si

$$\Omega M^{\prime }=\Omega M\text{et}\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}\right)\equiv \theta [2\pi ].$$

La première condition s'écrit $|z^{\prime }-\omega |=r$, et la seconde, d'après la propriété des angles orientés, $\arg \left(\frac{z^{\prime }-\omega }{z-\omega }\right)\equiv \theta [2\pi ]$. Réunies, elles équivalent à dire que $z^{\prime }-\omega$ a pour module $r$ et pour argument $\alpha +\theta$, c'est-à-dire

$$z^{\prime }-\omega =r{e}^{i(\alpha +\theta )}=r{e}^{i\alpha }{e}^{i\theta }=e^{i\theta }(z-\omega ).\square$$

Étude de $z\mapsto az+b$

Méthodes à retenir

Choisir la bonne écriture

Le premier réflexe, devant n'importe quel calcul de ce chapitre, est de choisir l'écriture adaptée. Le tableau suivant résume la règle.

Les réflexes

1. Un module apparaît dans une égalité à démontrer : élever au carré et écrire $|z{|}^2=z\overline{z}$. Toute la démonstration de l'inégalité triangulaire tient dans ce geste.
2. Un quotient de complexes : multiplier par le conjugué du dénominateur, ou passer en forme trigonométrique s'il s'agit d'un produit ou d'une puissance.
3. Une expression $1\pm e^{i\theta }$ ou $e^{ia}\pm e^{ib}$ : ne jamais développer, factoriser par l'arc moitié, c'est-à-dire par l'exponentielle de la demi-somme des arguments.
4. Une somme $\sum \cos (k\theta )$ ou $\sum \sin (k\theta )$ : passer par $\sum e^{ik\theta }$, somme géométrique, puis arc moitié, sans oublier de discuter le cas $\theta \equiv 0[2\pi ]$.
5. Une équation $z^n=a$ : mettre $a$ sous forme trigonométrique, trouver une solution particulière, puis multiplier par les éléments de ${\mathbb{U}}_n$. Vérifier qu'on obtient exactement $n$ solutions.
6. Une équation du second degré : discriminant, puis racine carrée du discriminant par la méthode algébrique à trois équations. Contrôler par la somme et le produit des racines.
7. Un énoncé contenant $|z|=1$ : écrire aussitôt $\overline{z}=\frac{1}{z}$.
8. Un énoncé de géométrie avec trois points : calculer $\frac{c-a}{b-a}$ et lire son module (rapport de longueurs) et son argument (angle).
9. Une transformation $z\mapsto az+b$ : chercher le point fixe, soustraire, factoriser, lire $|a|$ et $\arg (a)$.
10. Un calcul long : contrôler sur un cas particulier ($\theta =0$, $z=1$, $z=i$, $n=1$), ou vérifier un ordre de grandeur. Un contrôle coûte dix secondes et rattrape la plupart des erreurs de signe.

Les erreurs à ne jamais commettre

1. Écrire une inégalité entre complexes ($z⩽z^{\prime }$, « $z$ positif ») : seuls les modules et les parties réelles ou imaginaires se comparent.
2. Confondre $|z{|}^2$ et $z^2$ : la bonne formule est $|z{|}^2=z\overline{z}$.
3. Lire un module sur une écriture $\lambda e^{i\alpha }$ sans avoir vérifié que $\lambda >0$. Le module de $-3e^{i\pi /4}$ est $3$, et son argument $\frac{5\pi }{4}$.
4. Écrire $\sqrt{z}$ ou $\sqrt{-4}$ : la notation racine carrée n'existe pas dans $\mathbb{C}$. On dit « une racine carrée de $-4$ », par exemple $2i$.
5. Passer de $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\prime }}$ à $\theta ={\theta }^{\prime }$ : la conclusion correcte est $\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]$. Cette faute fait perdre des solutions dans $z^n=a$.
6. Écrire $\arg (z)=\theta$ au lieu de $\arg (z)\equiv \theta [2\pi ]$, ou parler de l'argument de $0$.
7. Oublier le cas $\theta \equiv 0[2\pi ]$ dans une somme géométrique de raison $e^{i\theta }$, ou le cas $z=0$ dans un raisonnement par forme trigonométrique.
8. Oublier l'équation des modules $x^2+y^2=|a|$ dans le calcul des racines carrées, ou oublier l'appariement des signes par $2xy=\beta$.
9. Croire qu'une équation du second degré à coefficients complexes a des racines conjuguées : cela n'est vrai que si les coefficients sont tous réels.
10. Sortir un facteur d'un module sans valeur absolue : $|2z+4i|=2|z+2i|$, et non $|z+4i|$.
11. Écrire $\mathrm{Re}(\lambda z)=\lambda \mathrm{Re}(z)$ avec $\lambda$ non réel, ou $\mathrm{Re}(z{z}^{\prime })=\mathrm{Re}(z)\mathrm{Re}(z^{\prime })$, qui est faux.
12. Employer le vocabulaire des structures algébriques à propos de $\mathbb{U}$ ou de ${\mathbb{U}}_n$ : ce sont des ensembles stables par produit et par passage à l'inverse, et c'est tout ce qu'on en dit à ce stade de l'année.