Devoir surveillé — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Dans tout l'exercice, on utilise librement les résultats admis à ce stade du cours : si une fonction dérivable $h$ vérifie $h^{\mathrm{\prime }}⩾0$ sur un intervalle $I$, alors $h$ est croissante sur $I$, et si de plus $h^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points de $I$, alors $h$ y est strictement croissante ; et la croissance comparée ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$, justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$, puis déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. (0,75 pt)

2. Démontrer que, pour tout $x\in D_f$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. (0,5 pt)

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$, limites comprises. En déduire que $f$ admet un maximum global sur $D_f$ : on précisera sa valeur et le point où il est atteint. (0,5 pt)

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$, puis déterminer le signe de $f(x)$ sur $D_f$. (0,5 pt)

5. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, $2e\ln x⩽x^2$, et que l'égalité a lieu si et seulement si $x=\sqrt{e}$. (0,75 pt)

6. En déduire que, pour tout réel $x>0$, $x^{2e}⩽e^{x^2}$. Que devient cette inégalité pour $x=\sqrt{e}$ ? (0,5 pt)

7. Décrire l'allure de $\mathcal{C}$ : asymptotes, point d'intersection avec l'axe des abscisses, tangente horizontale, comportement à l'infini. (0,5 pt)

Partie A. Valeurs exactes et simplifications.

1. Calculer les quatre réels suivants. On justifiera chaque réponse en vérifiant l'appartenance à l'intervalle principal de la fonction utilisée. (1 pt)

   a. $A=\mathrm{Arcsin}(\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}})$

   b. $B=\mathrm{Arccos}(\cos (-{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}))$

   c. $C=\mathrm{Arctan}(\tan {\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$

   d. $D=\mathrm{Arccos}(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})$

2. Soit $x\in [-1,1]$. Démontrer que $\cos (\mathrm{Arcsin}x)=\sqrt{1-x^2}$, puis que $\sin (2\mathrm{Arcsin}x)=2x\sqrt{1-x^2}$. Application : calculer $\sin (2\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{3}{5}})$. (0,5 pt)

Partie B. Étude d'une fonction. On pose $f(x)=\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{2x}{1-x^2}}$.

3. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$, démontrer que $f$ est impaire, puis déterminer les limites de $f$ en $1^{-}$, en $1^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$. (0,5 pt)

4. Justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$ et démontrer que, pour tout $x\in D_f$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{1+x^2}}$. (0,75 pt)

5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_f\cap [0,+\mathrm{\infty }[$, puis démontrer que $f(x)=2\mathrm{Arctan}x$ sur $]-1,1[$ et que $f(x)=2\mathrm{Arctan}x-\pi$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$. En déduire, par imparité, l'expression de $f(x)$ sur $]-\mathrm{\infty },-1[$. (0,75 pt)

Partie C. Une identité. Pour $x⩾1$, on pose $\psi (x)=2\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$.

6. Justifier que $\psi$ est définie sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ et dérivable sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ (on expliquera pourquoi la dérivabilité en $1$ n'est pas garantie par le théorème de composition). Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}$, puis démontrer que $\psi (x)=\pi$ pour tout $x⩾1$. (1 pt)

7. En déduire la valeur de $2\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$ pour $x⩽-1$, puis exprimer $\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{4}{5}}$ à l'aide de $\mathrm{Arctan}2$. (0,5 pt)

Partie A. Techniques de calcul.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en reconnaissant une dérivée de fonction composée. (0,5 pt)

   a. $x\mapsto {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

   b. $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x}{1+e^{2x}}}$ sur $\mathbb{R}$

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ${\displaystyle J={\int }_0^{1}x\mathrm{Arctan}x\mathrm{d}x}$. (0,75 pt)

3. Calculer ${\displaystyle K={\int }_1^9\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}}$ à l'aide du changement de variable $t=\sqrt{x}$. (0,75 pt)

4. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On commencera par calculer le discriminant du dénominateur. (0,75 pt)

   a. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}$ sur $]2,+\mathrm{\infty }[$

   b. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2-4x+4}}$ sur $]2,+\mathrm{\infty }[$

   c. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+5}}$ sur $\mathbb{R}$

5. En décomposant le numérateur, calculer ${\displaystyle L={\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x}$. (0,25 pt)

Partie B. Une famille d'intégrales. Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\displaystyle I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x}$.

Remarque : les intégrales $I_n$ dépendent d'un entier $n$, mais les suites ne sont pas encore au programme à ce stade de l'année. Aucune question de limite ni de monotonie n'est donc posée : on se limite à la relation de récurrence et au calcul explicite.

6. Calculer $I_0$, puis $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties. (0,5 pt)

7. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $I_n=n{I}_{n-1}-e^{-1}$. (0,75 pt)

8. En déduire les valeurs exactes de $I_2$ et de $I_3$. (0,25 pt)

9. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, ${\displaystyle I_n=n!(1-\frac{1}{e}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!})}$. (0,5 pt)

Partie A. Une équation linéaire du premier ordre. On considère sur l'intervalle $I=]0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation

$$(E_1):x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=x^2{e}^x\mathrm{.}$$

1. Résoudre sur $I$ l'équation homogène associée $(H_1):x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$. (0,5 pt)

2. Par la méthode de variation de la constante, déterminer l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $I$. (0,75 pt)

3. Déterminer l'unique solution $y_0$ de $(E_1)$ vérifiant $y_0(1)=0$, puis vérifier le résultat en réinjectant $y_0$ dans $(E_1)$. (0,5 pt)

Partie B. Second ordre à coefficients constants. On note $(H_2):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=0$.

4. Résoudre $(H_2)$ sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt)

5. Déterminer une solution particulière sur $\mathbb{R}$ de chacune des équations suivantes. (0,75 pt)

   a. $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=8x^2$

   b. $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=5e^x$

   c. $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=\cos x$

6. On s'intéresse à $(E_2):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=\cos (2x)$. Expliquer pourquoi aucune fonction de la forme $x\mapsto a\cos (2x)+b\sin (2x)$ n'est solution de $(E_2)$, puis déterminer une solution particulière de la forme $x\mapsto ax\sin (2x)$. Commenter le comportement de cette solution quand $x$ devient grand. (0,5 pt)

7. Résoudre le problème de Cauchy : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=8x^2+\cos (2x)$, avec $y(0)=0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. (0,5 pt)

Partie C. Un oscillateur mécanique amorti.

Un solide de masse $m$ glisse sur un banc horizontal. Il est relié à un ressort de raideur $k$ et subit une force de frottement fluide opposée à sa vitesse, d'intensité proportionnelle à celle-ci, de coefficient $h>0$. On note $x(t)$ l'écart algébrique à la position d'équilibre à l'instant $t⩾0$. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe du mouvement, s'écrit $m{x}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-kx(t)-h{x}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

Données : $m=\mathrm{0,2}\text{ kg}$, $k=5\text{ N}\cdot {\text{m}}^{-1}$, $x(0)=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$ et $x^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ (le solide est écarté puis lâché sans vitesse).

8. Écrire l'équation différentielle vérifiée par $x$, puis son équation caractéristique et le discriminant de celle-ci. (0,5 pt)

9. Démontrer qu'il existe une valeur $h_c$, à exprimer en fonction de $k$ et $m$ puis à calculer numériquement, qui sépare trois régimes que l'on nommera. On justifiera dans chaque cas que le mouvement s'amortit. (0,5 pt)

10. Cas $h=\mathrm{1,6}\text{ kg}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Résoudre le problème de Cauchy, écrire la solution sous la forme $x(t)=A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t-\phi )$ avec $A>0$ et $\phi \in ]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, puis donner la pseudo-période du mouvement. (0,75 pt)

11. Cas $h=\mathrm{2,5}\text{ kg}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Résoudre le problème de Cauchy, démontrer que $x$ ne s'annule pas sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et qu'elle y est strictement décroissante, puis déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$. (0,5 pt)